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17．2 勾股定理的逆定理
第 1 课时 勾股定理的逆定理
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个 解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝
三角形是否为直角三角形；(重点) ＝5，AC＝＝3，AB＝＝.在△ABC中，∵BC2＋
2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决 AC2＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝
问题；(难点) AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念 方法总结：要判断一个角是不是直角，
及关系．(重点) 可构造出三角形，然后求出三条边的大小，
用较小的两条边的平方和与最大的边的平
方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；
否则不是．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明
一、情境导入 垂直关系
如图，已知在正方形ABCD中，
AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF.
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将 解析：根据题设提供的信息，可将需证
一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩 明垂直关系的两条线段转化到同一直角三
钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个 角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
角便是直角． 证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵
你知道这是什么道理吗？ 四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝
二、合作探究 DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝
探究点一：勾股定理的逆定理 BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝
【类型一】 判断三角形的形状 12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝
如图，正方形网格中的△ABC，若 25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角
小方格边长为1，则△ABC的形状为( ) 形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以
判断一个三角形是否为直角三角形，所以此
定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
【类型三】 勾股数
第 1 页 共 2 页判断下列几组数中，一定是勾股 两直线平行；
数的是( ) (3)相等的角是内错角；
A．1，， B．8，15，17 (4)有一个角是60°的三角形是等边三角
C．7，14，15 D.，，1 形．
解析：选项A不是，因为和不是正整数； 解析：求一个命题的逆命题时，分别找
选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17 出各命题的题设和结论将其互换即可得原
是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152； 命题的逆命题．
选项D不是，因为与不是正整数．故选B. 解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真
方法总结：勾股数必须满足：①三个数 命题；
必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线
＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是 垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；
勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得 (3)内错角相等，假命题；
到三个数仍是一组勾股数． (4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
【类型四】 运用勾股 定理的逆定理解决 方法总结：判断一个命题是真命题需要
面积问题 进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需
如图，在四边形ABCD中，∠B＝ 要举出反例即可．
90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四 三、板书设计
边形ABCD的面积． 1．勾股定理的逆定理及勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2
＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．互逆命题与互逆定理
解析：连接AC，根据已知条件可求出
AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角 在本课时教学过程中，应以师生共同探
形，然后可分别求出两个直角三角形的面积， 讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求
两者面积相加即为四边形ABCD的面积． 知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教
解：连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为 学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨
直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝ 过程中也加深了对知识的理解和记忆．
102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝
100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋
CD2＝AD2，∴△ACD 为直角三角形，且
∠ACD＝90°.∴S ＝S ＋S ＝
四边形ABCD △ABC △ACD
×6×8＋×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题可转
化为求两个直角三角形面积和的问题，解题
时要利用题目信息构造出直角三角形，如角
度，三边长度等．
探究点二：互逆命题与互逆定理
写出下列各命题的逆命题，并判
断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的
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