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第十七章 勾股定理
教学目标：
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理
教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：
一、出示目标
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
二、知识结构图
定理：
直角三角形的性质:勾股定理
应用:主要用于计算
勾
股
定
理
直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足 则它
是一个直角三角形.
三、知识点回顾
1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其
主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这
里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
a2 c2 b2,b2 c2 a2,c a2 b2 a c2 b2,b c2 a2
, ．
第 1 页 共 6 页勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形
面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c）
（2） 验证 与 是否具有相等关系
（3） 若 = ，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若 ≠
， 则△ABC不是直角三角形。
3、三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a2 b2 c2
，则三角形是直
角三角形；若a2 b2 c2 ，则三角形是锐角三角形；若a2 b2 c
，则三角形是
钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边
4、勾股数 满足 = 的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
四、典型例题分析
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形
的周长和面积分别是多少?
分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三
条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，
因此要分两种情况讨论．
例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为
15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
第 2 页 共 6 页A B A B
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的 1 、 2 ，但它
们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A
点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．
29
例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为 ．
29 29
分析： 是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为 的线段，但由
29
勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为 .
例4：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且 ．
求证：△AEF是直角三角形．
分析：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证
即可．
_________________________________________
例5：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：
AD⊥BD．
第 3 页 共 6 页分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC
为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，
那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析
可以）
第 4 页 共 6 页分析：将点A与点B展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。”再根据
“勾股定理”求出最短路线
五、补充本章注意事项
勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，
要注意以下几点：
1、要注意正确使用勾股定理
例1 在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，a=1，b 3 ，求c。
2、要注意定理存在的条件
例2 在边长为整数的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的长。
3、要注意原定理与逆定理的区别
例3 如图1，在△ABC中，AD是高，且AD2 BDCD，求证：△ABC为直角三角
形。
4、要注意防止漏解
例4 在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c。
5、要注意正逆合用
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判
定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视
具体情况而言。
第 5 页 共 6 页例5 在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么
DC=_________。
6、要注意创造条件应用
例6 如图3，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DE，DE、DF分别交
AC、BC、于E、F，求证：EF2 AE2 BF2
分析 因为EF、AE、BF不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，
必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF
相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED到G，使DG=DE，连结BG、FG，则
易证明信BG=AE，GF=EF，
∠ DBG=∠DAE=∠BAC ， 由 题 设 易 知 ∠ ABC+∠BAC=90° ， 故 有
∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt△FBG中，由勾股定理有：
FG2 BF2 BG2，从而EF2 AE2 BF2。
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