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18．2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩 形
第 1 课时 矩形的性质
四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即
矩形，如图所示．
1．理解并掌握矩形的性质定理及推论； 二、合作探究
(重点) 探究点一：矩形的性质
2．会用矩形的性质定理及推论进行推 【类型一】 运用矩形的性质求线段或角
导证明；(重点) 在矩形ABCD中，O是BC的中点，
3．会综合运用矩形的性质定理、推论以 ∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，
及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难 则AB长为( )
点) A．1cm B．2cm C．2.5cm
D．4cm
解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，
∠ AOD ＝ 90°. 根 据 矩 形 的 性 质 得 到
△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，
一、情境导入 所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩
如图，用四段木条做一个平行四边形的 形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝
活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点 24cm，解得AB＝4cm.故选D.
D，你会发现什么？ 方法总结：解题时矩形具有平行四边形
的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩
形具备而一般平行四边形不具备的性质．
【类型二】 运用矩形的性质解决有关面
积问题
可以发现，角的大小改变了，但不管如
何，它仍然保持平行四边形的形状．
如图，矩形ABCD的对角线的交
点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点
E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD
我们若改变平行四边形的内角，使其一 的面积的( )
个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行 A. B. C. D.
第 1 页 共 3 页解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB ＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋
＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF ∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED
中，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S ＝ ＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝
△BOE
S ，∴S ＝S ＝S .故选B. ∠ EDC. 在 △ EBF 与 △ DCE 中 ，
△DOF 阴影 △AOB 矩形ABCD
方法总结：运用矩形的性质，通过证明 ∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE
全等三角形进行转化，将求不规则图形的面 ＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝
积转化为求简单图形面积是解题的关键． 45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
【类型三】 运用矩形的性质证明线段相 方法总结：矩形的问题可以转化到直角
等 三角形或等腰三角形中去解决．
探究点二：直角三角形斜边上的中线的
性质
如图，在矩形ABCD中，以顶点B
为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点
E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：
BF＝AE. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F
解析：利用矩形的性质得出AD∥BC， 分别是AB、AC的中点．
∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出 (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF
△BFC≌△EAB，进而得出答案． 的周长；
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A (2)求证：EF垂直平分AD.
＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE. 解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中
在 △ BFC 和 △ EAB 中 ， 线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝AB，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE. DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式
方法总结：涉及与矩形性质有关的线段 计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离
的证明，可运用题设条件结合三角形全等进 相等的点在线段的垂直平分线上”证明即
行证明，一般是将两条线段转化到一对全等 可．
三角形中进行证明． (1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别
【类型四】 运用矩形的性质证明角相等 是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10
＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形
AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5
＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F
如图，在矩形ABCD中，E、F分别 在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分
是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED. AD.
求证：AE平分∠BAD. 方法总结：当已知条件含有线段的中点、
解析：要证AE平分∠BAD，可转化为 直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜
△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又AB 边上的中线的性质进行求解．
＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形 三、板书设计
的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形 1．矩形的性质
的性质，即可求证． 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B 相等．
第 2 页 共 3 页2．直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半．
通过多媒体演示知识的探究过程，让学
生在体验、实践的过程中有更直观地认识，
扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行
四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，
使课堂教学真正落实到学生的发展上．
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