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仿真模拟卷 1
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．(2022·东北三省三校联考)设A＝{x|y＝log
2
(x＋1)}，B＝{x|x2≥4}，则A∩(∁R B)等于( )
A．(－1,2) B．[－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 A
解析 因为A＝{x|y＝log (x＋1)}＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，
2
B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，
故∁R B＝{x|－20，b>0)的一条渐近线方程为x＋2y＝0，则
双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 渐近线方程可化为y＝－x＝－x，
故a＝2b，c＝＝b，
故离心率为＝.
3．(2022·南通调研)已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔 1天去一次，乙
每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼
的日期是( )
A．2月25日 B．2月26日
C．2月27日 D．2月28日
答案 B
解析 甲去的时间：2月14日，2月16日，2月18日，2月20日，2月22日，2月24日，
2月26日，2月28日，
乙去的时间：2月14日，2月17日，2月20日，2月23日，2月26日，
丙去的时间：2月14日，2月18日，2月22日，2月26日，
所以下一次共同去锻炼的日期是2月26日．
4．(2022·青岛模拟)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a>0 B．a≥0C．a≤0 D．a≤1
答案 B
解析 依题意，命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，
当a＝0时，1≥0成立，
当a>0时，ax2＋1≥0成立，
当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．
综上所述，a≥0.
5．(2022·宜春模拟)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )
A．8＋ B．8＋2π
C．4＋ D．4＋2π
答案 A
解析 根据三视图可知，该几何体是一个圆锥和正方体的组合体．
圆锥的体积为π×12×2＝，正方体的体积为8，故几何体的体积为8＋.
6．(2022·十堰模拟)已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则AP·BP的最小值为(
)
A．2 B．1 C．－2 D．－1
答案 D
解析 如图，记|BP|＝x，
x∈[0,4]，
因为AP＝BP－BA，
所以AP·BP＝BP2－BA·BP＝|BP|2－2|BP|
＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1.
7.(2022·泸州模拟)已知甲、乙两家快递公司一天内在4个居民小区接收的快递数量如茎叶图所示．其中有一个数字被损坏，无法识别，假设这个数字具有随机性，现用a表示，则甲公
司快递数量的中位数不低于乙公司快递数量的中位数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 甲公司快递数量为76,80,82,89，其中位数是＝81；
乙公司快递数量为73,75,80＋a,89，其中位数是＝77.5＋，
由81≥77.5＋得a≤7，
因为a∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以a的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7，
故所求概率为＝.
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(x＋φ)＝f(φ－x)，则要得到函数f(x)
的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 D
解析 由已知得ω＝＝2，
由f(x＋φ)＝f(φ－x)可知直线x＝φ是函数f(x)的一条对称轴，
∴3φ＝kπ＋(k∈Z)，又∵0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin＝cos
＝cos，
∴要得到函数f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
9．(2022·济宁模拟)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥
的侧面积的比为( )
A．2∶3 B．3∶2 C．1∶2 D．3∶4
答案 A
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的高为h，内切球的半径为R，其轴截面如
图所示，设O为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，得l＝2r，即PA＝PB＝2r，
所以PD＝＝＝r，
所以PO＝PD－OD＝r－R，
因为△POE∽△PBD，
所以＝，
所以＝，
得R＝r，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为4πR2∶πrl＝4π·r2∶2πr2＝2∶3.
10．(2022·南通调研)若a＝log 3－1,2b＝，则下列结论正确的是( )
2
A．a＋b>2 B．a－b<－1
C.＋>2 D．ab>1
答案 C
解析 由题意可得a＝log 3－1＝log ，
2 2
b＝log ，
2
对于A，a＋b＝log ＋log
2 2
＝log ＝log 4＝2，所以A错误；
2 2
对于B，因为a－b＝(log 3－1)－(log 8－log 3)＝2log 3－4，
2 2 2 2
所以a－b＋1＝2log 3－3＝log 9－log 23＝log 9－log 8>0，
2 2 2 2 2
所以a－b>－1，所以B错误；
对于C，因为a>0，b>0，a＋b＝2，
所以＋＝(a＋b)
＝≥＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，
而a≠b，所以取不到等号，
所以＋>2，所以C正确；
对于D，因为<<2，
所以log b>0)，设直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于
C，D两点，记椭圆E的离心率为e，直线l的斜率为k，若C，D恰好是线段AB的两个三等
分点，则( )
A．k2－e2＝1 B．k2＋e2＝1
C.－e2＝1 D.＋e2＝1
答案 B
解析 如图，当l在①处时，设A(x ，y)，B(x ，y)，∵C，D分别是线段AB的两个三等分
1 1 2 2
点，
∴C(－x，0)，D，
1
则B，得
k＝＝＝·，
利用点差法两式相减得＋＝0，
整理得到＝，即＝4k2⇒＝k2，
即k2＋e2＝1.
当直线l在②处时，设A′(x ，y)，B′(x ，y)，则C′，D′(0，－y)，则B′，同理得，
3 3 4 4 3
k＝，＝，即k2＋e2＝1.
同理，当直线l分别在③和④处时，仍得k2＋e2＝1.
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝若关于x的方程f2(x)－(a＋1)f(x)＋a
＝0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为( )
A．－4 B．4
C．8 D．－4或8
答案 D
解析 作出函数在x≥0时的图象，如图所示，
设f(x)＝t，
则关于x的方程f2(x)－(a＋1)f(x)＋a＝0(a∈R)的方程等价于 t2－(a＋1)t＋a＝0，
解得t＝a或t＝1，
如图，当t＝1时，即f(x)＝1对应一个交点为x＝2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
1
①t＝a＝，即f(x)＝对应3个交点，且 x＋x＝2，x＝4，
2 3 4
此时4个实数根之和为8.
②t＝a＝－，即f(x)＝－对应3个交点，且 x＋x＝－2，x＝－4，
2 3 4
此时4个实数根之和为－4.
综上，这4个实数根之和为8或－4.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·广东大联考)曲线f(x)＝ex＋sin x在点(0，f(0))处的切线方程为______________．
答案 y＝2x＋1
解析 因为f(x)＝ex＋sin x，
所以f(0)＝e0＋sin 0＝1，f′(x)＝ex＋cos x，
则f′(0)＝e0＋cos 0＝2，
即切点为(0,1)，切线的斜率为2，
所以切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.
14．(2022·山东联考)设复数z满足|z|＝|z＋1|，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数z＝
________.
答案 －＋i
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z|＝|z＋1|，
可得x2＋y2＝(x＋1)2＋y2，
解得x＝－，
又是纯虚数，
设＝ti(t∈R且t≠0)，
则－＋yi＝－ty＋ti，
则
解得y＝±，
所以z＝－＋i或z＝－－i.
15．(2022·南京模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x)．若g(x＋
1)是偶函数，则g(－0.5)＝________.
答案 3解析 g(x＋1)为偶函数，g(x＋1)＝xf(x＋1)，
∴f(x＋1)为奇函数，
∴f(x)关于点(1,0)对称，
又f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(x)的周期为4，
∴f(5.5)＝f(1.5)＝－f(0.5)＝2，
∴f(0.5)＝－2，
∴g(－0.5)＝－1.5f(－0.5)＝－1.5f(0.5)＝3.
16．(2022·山东联考)如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为12 dm的正方形
铝板制作一个无底面的正n棱锥(侧面为等腰三角形，底面为正n边形)道具，他们以正方形
的几何中心为圆心，6 dm为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出 m份，再
从中取n份，并以O为正n(n≥3)棱锥的顶点，且O落在底面的射影为正n边形的几何中心
O ，∠AOA ＝，侧面等腰三角形的顶角为∠AOA ＝α，当cos∠AOA ＝2cos α－1时，设
1 1 1 2 1 2 1 1 2
正棱锥的体积为V dm3，则的最大值为__________．
答案 9
解析 设AO＝b，由题意知，
1 1
b2＋b2－2b2cos
＝62＋62－2×62cos α，
b2＝62×(1－cos α)，
得bsin ＝6sin ，①
＝××b2×sin ×，②
将①代入②，可得
＝××b2×sin ×
＝72××cos ×.
因为cos∠AOA＝2cos α－1，
1 1 2
所以cos ＝2cos α－1，
则cos2＝cos α，
＝36××＝36
＝36
＝36，
当cos α＝时，取得最大值9.
三、解答题(本题共70分．第17～21题为必考题，第22,23题为选考题)
(一)必考题(共60分)
17．(12分)(2022·湖北联考)已知数列{a}的前n项和为S ，且对任意的n∈N*，都满足a
n n n＋1
＝2a，S＋2＝4a.
n 3 2
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，求数列{b}的最小项的值．
n n
解 (1)由a ＝2a，S＋2＝4a 知，
n＋1 n 3 2
a＋2a＋4a＋2＝8a，
1 1 1 1
解得a＝2，＝2，
1
∴数列 {a} 是以2为首项，2为公比的等比数列．
n
∴a＝2n，n∈N*.
n
(2)∵b＝＝，
n
易知b>0，b ＝，
n n＋1
∴＝＝2，
当>1时，n>＋1，
即当n≥3时，b0，
则q(x)在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，q(x)>q(1)＝0，
即ln x>，所以f(x)＝>.
综上，0)，点F为其焦点，P为T上的动点，Q
为P在动直线x＝m(m<0)上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为16.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和点
C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值．
解 (1)抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线x＝－，
△PQF为等边三角形，则有|PQ|＝|PF|，而Q为P在动直线x＝m(m<0)上的投影，
则m＝－，
由S ＝|PF|2sin 60°＝16，
△PQF
解得|PF|＝8，设P，
则点Q，
于是由
得解得p＝4，
所以抛物线T的方程为y2＝8x.
(2)显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB的方程为x＝ty＋a，
则直线CD的方程为x＝－y＋a，
由
消去x并整理得y2－8ty－8a＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝8t，
1 2
于是得弦AB的中点H(4t2＋a,4t)，
|EH|＝|y －y |＝4|t|，
H E同理得|EK|＝4
＝4，
因此，Rt△EHK的面积S＝|EH|·|EK|
＝·4|t|·4
＝8
＝8≥8＝16，
当且仅当t2＝，即t＝±1时取“＝”，
所以△EHK面积的最小值为16.
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分)
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22．(10分)(2022·广安模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为ρsin＝2.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：|PA|·|
PB|为定值．
(1)解 由得x2＋y2＝4，
由ρsin＝2得ρsin θ＋ρcos θ－2＝0，
因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以x＋y－4＝0，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝4，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)证明 由(1)知P(0,4)，
设m的参数方程为(t为参数)，
代入C的普通方程得t2＋8sin θ·t＋12＝0，
设方程的两根为t，t，则t·t＝12，
1 2 1 2
所以|PA|·|PB|＝|tt|＝12，
12
所以|PA|·|PB|为定值．
[选修4－5：不等式选讲]
23．(10分)设函数f(x)＝|x＋5|＋2|x＋2|的最小值为t.
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝，求证：＋＋≥.
(1)解 f(x)＝|x＋5|＋2|x＋2|
＝
当x≤－5时，f(x)≥6；当－5
