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仿真模拟卷 1
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．(2022·东北三省三校联考)设A＝{x|y＝log
2
(x＋1)}，B＝{x|x2≥4}，则A∩(∁R B)等于( )
A．(－1,2) B．[－1,2)
C．(2，＋∞) D．(－1，＋∞)
2．(2022·湖北八市联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋2y＝0，则
双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
3．(2022·南通调研)已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔 1天去一次，乙
每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼
的日期是( )
A．2月25日 B．2月26日
C．2月27日 D．2月28日
4．(2022·青岛模拟)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a>0 B．a≥0
C．a≤0 D．a≤1
5．(2022·宜春模拟)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )
A．8＋ B．8＋2π
C．4＋ D．4＋2π
6．(2022·十堰模拟)已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则AP·BP的最小值为(
)
A．2 B．1 C．－2 D．－1答案 D
7.(2022·泸州模拟)已知甲、乙两家快递公司一天内在4个居民小区接收的快递数量如茎叶图
所示．其中有一个数字被损坏，无法识别，假设这个数字具有随机性，现用a表示，则甲公
司快递数量的中位数不低于乙公司快递数量的中位数的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(x＋φ)＝f(φ－x)，则要得到函数f(x)
的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
9．(2022·济宁模拟)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥
的侧面积的比为( )
A．2∶3 B．3∶2 C．1∶2 D．3∶4
10．(2022·南通调研)若a＝log 3－1,2b＝，则下列结论正确的是( )
2
A．a＋b>2 B．a－b<－1
C.＋>2 D．ab>1
11．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，设直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于
C，D两点，记椭圆E的离心率为e，直线l的斜率为k，若C，D恰好是线段AB的两个三等
分点，则( )
A．k2－e2＝1 B．k2＋e2＝1
C.－e2＝1 D.＋e2＝1
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝若关于x的方程f2(x)－(a＋1)f(x)＋a
＝0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为( )
A．－4 B．4
C．8 D．－4或8
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·广东大联考)曲线f(x)＝ex＋sin x在点(0，f(0))处的切线方程为______________．
14．(2022·山东联考)设复数z满足|z|＝|z＋1|，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数z＝
________.
15．(2022·南京模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x)．若g(x＋
1)是偶函数，则g(－0.5)＝________.
16．(2022·山东联考)如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为12 dm的正方形
铝板制作一个无底面的正n棱锥(侧面为等腰三角形，底面为正n边形)道具，他们以正方形的几何中心为圆心，6 dm为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出 m份，再
从中取n份，并以O为正n(n≥3)棱锥的顶点，且O落在底面的射影为正n边形的几何中心
O ，∠AOA ＝，侧面等腰三角形的顶角为∠AOA ＝α，当cos∠AOA ＝2cos α－1时，设
1 1 1 2 1 2 1 1 2
正棱锥的体积为V dm3，则的最大值为__________．
三、解答题(本题共70分．第17～21题为必考题，第22,23题为选考题)
(一)必考题(共60分)
17．(12分)(2022·湖北联考)已知数列{a}的前n项和为S ，且对任意的n∈N*，都满足a
n n n＋1
＝2a，S＋2＝4a.
n 3 2
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，求数列{b}的最小项的值．
n n
18．(12分)(2022·新余模拟)某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱城市，护环境”的知
识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分
取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计．按照
[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如图1所示的频率分布直方图，并作
出如图2所示的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的两组学生中按分层抽样的方法抽取5名学生，
再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生去参加环保知识宣传活动，求这2名学生的分数
都在[80,90)中的概率．19.(12分)(2022·银川模拟)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面
互相垂直，FD⊥平面ABCD.
(1)求证：平面ACF⊥平面BDF；
(2)若∠CBA＝60°，求三棱锥E－BCF的体积．
20．(12分)(2022·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝，x∈(1，＋∞)．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)证明：0)，点F为其焦点，P为T上的动点，Q
为P在动直线x＝m(m<0)上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为16.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和点
C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值．
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分)
[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)(2022·广安模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为ρsin＝2.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：|PA|·|
PB|为定值．
[选修4－5：不等式选讲]
23．(10分)设函数f(x)＝|x＋5|＋2|x＋2|的最小值为t.
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝，求证：＋＋≥.
