文档文本内容
26.1.2 反比例函数的图象与性质（第二课时）导学案
学习目标
1 通过图象探索反比例函数的主要性质.
2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．
重点难点突破
★知识点1：反比例函数比例系数k的几何意义：
k
在反比例函数y= 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），
x
1）与坐标轴所围成的矩形的面积S = |k|．
矩形
1
2）与坐标轴所围成的三角形的面积S = |k|．
三角形
2
核心知识
反比例函数比例系数k的几何意义：
k
在反比例函数y= 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），
x
1）与坐标轴所围成的矩形的面积S = _______．
矩形
2）与坐标轴所围成的三角形的面积S = ___________．
三角形
复习巩固
【提问一】回顾反比例函数的图象与性质？
【提问二】k的正负决定了什么？新知探究
【问题一】已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
2）点B(3，4)，C(-2.5,-4.8)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
m−5
【问题二】如图，它是反比例函数y= 图象的一支，根据图象，回
x
答下列问题：
1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
2）在这个函数图象的某一支上任取点A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如
果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
典例分析
2k+1
例1 已知反比例函数y= ．
x
1）如果这个函数的图像经过点（2，-1），求k的值；
2）如果在这个函数图像所在的每个象限内， y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【针对训练】
k
1.已知反比例函数y= 的图象经过点 A (2，3)．
x
1）求这个函数的表达式.
2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由.3）当－3<x<－1时，求y的取值范围．
6
2.已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（ ）
x
A．3 B．4 C．5 D．6
新知探究
【问题三】在一个反比例函数图象上任意取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴和y轴的平行线，与坐标轴围
成的矩形面积分别记为S 和S，则S 和S 之间有什么关系？说明理由．
1 2 1 2
典例分析
3
例2 如图，点P是反比例函数y= 图象上的一点， PA⊥x轴于点A, PB⊥y轴于点B.则长方形PAOB的面
x
积为 .
【针对训练】
1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（ ）
A.3 B. -1.5 C. -3 D. -61
2.如图，在函数y= (x＞0)的图象上有三点A，B，C过这三点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的
x
两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为S ，S，S，则 ( )
A B C
A. S >S>S B. S<S<S
A B C A B C
C. S =S=S D. S<S<S
A B C A C B
4
3. 如图，A、B 两点在双曲线 y= 上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S =1，则 S+S=
阴影 1 2
x
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4 2
4．如图，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点
1 2 1
x x
A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算k
5．如图，直y=mx与双曲线y= 交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S ABM=1，则
△
x
k的值是（ ）
A．1 B．m﹣1 C．2 D．m
k
6. 如图，点A在反比例函数y= 的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数
x
的表达式．
k
【问题】在反比例函数y= 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），
x
1）与坐标轴所围成的矩形的面积是多少．
2）与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？
能力提升k
1.如图，点A，B是反比例函数y= （x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于
x
点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S BCD=3，则S AOC=__．
△ △
感受中考
2 3
1．（2023·湖南湘西中考真题）如图，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在函数y=
x x
(x>0)的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y= (k为常数，k>0，
x
19
x>0)的图象上，过点 A作 x轴的垂线，垂足为 B，连接OA．若△OAB的面积为 ，则k=
12
．
课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述反比例函数的性质？
k
3.在反比例函数y= 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），
x
1）与坐标轴所围成的矩形的面积是多少．
2）与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？
【参考答案】
新知探究
【问题一】已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
2）点B(3，4)，C(-2.5,-4.8)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x
的增大而减小.
k k
2）设这个反比例函数的解析y= ，而点A在函数图象上，则6= ，解得k=12 ∴ 这个反比例函
x 2
12
数的解析式为y=
x
因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在
这个函数的图象上.
m−5
【问题二】如图，它是反比例函数y= 图象的一支，根据图象，回答下列问题：
x
1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
2）在这个函数图象的某一支上任取点A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那
么y1和y2有怎样的大小关系？
解：由图可知这个函数的图象一支位于第一象限，
所以该函数的另一支位于第三象限
∵该函数位于第一、三象限∴m-5>0，则m>5
∵m－5＞0
∴在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，∴当x＞x 时， y＜y.
1 2 1 2
典例分析
2k+1
例1 已知反比例函数y= ．
x
1）如果这个函数的图像经过点（2，-1），求k的值；
2）如果在这个函数图像所在的每个象限内， y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
2k+1
解：1）把x=2，y=-1代入y= 的左右两边解得k=-1.5；
x
2）∵在这个函数图像所在的每个象限内， y的值随x的值增大而减小，
1
∴2k+1>0，解得：k>− ．
2
【针对训练】
k
1.已知反比例函数y= 的图象经过点 A (2，3)．
x
1）求这个函数的表达式.
2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由.
3）当－3<x<－1时，求y的取值范围．
k
解：∵ 反比例函数y= 的图象经过点 A(2，3)
x
k
∴ 把点A的坐标代入表达式，得3= ，解得 k = 6.
2
6
∴ 这个函数的表达式为 y= .
x
2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该
解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．
∵当x= -3时，y=-2；
当x= -1时，y=-6，且 k>0，
∴当x<0 时，y随x的增大而减小，
∴当-3<x<-1 时，-6<y<-2.
6
2.已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（ A ）
x
A．3 B．4 C．5 D．6新知探究
【问题三】在一个反比例函数图象上任意取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴和y轴的平行线，与坐标轴围
成的矩形面积分别记为S 和S，则S 和S 之间有什么关系？说明理由．
1 2 1 2
S=S
1 2
设P点坐标为（a，b） Q点坐标为（c，d）
k
且这个反比例函数的解析式为y= ，
x
S=|a|*|b|=k，S=|c|*|d|=k
1 2
所以S= S
1 2
典例分析
3
例2 如图，点P是反比例函数y= 图象上的一点， PA⊥x轴于点A, PB⊥y轴于点B.则长方形PAOB的面
x
积为 3 .
【针对训练】
1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（ C ）
A.3 B. -1.5 C. -3 D. -6
1
2.如图，在函数y= (x＞0)的图象上有三点A，B，C过这三点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的
x
两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为S ，S，S，则 ( C )
A B C
A. S >S>S B. S<S<S
A B C A B C
C. S =S=S D. S<S<S
A B C A C B4
3. 如图，A、B两点在双曲线 y= 上，分别经过 A、B两点向轴作垂线段，已知 S =1，则S+S=（
阴影 1 2
x
D ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4 2
4．如图，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点
1 2 1
x x
A，交C 于点B，则△POB的面积为（ A ）
2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
k
5．如图，直y=mx与双曲线y= 交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S ABM=1，则
△
x
k的值是（ A ）
A．1 B．m﹣1 C．2 D．mk
6. 如图，点A在反比例函数y= 的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且△AOC 的面
x
积为2，求该反比例函数的表达式．
解：设点 A 的坐标为(x，y)
A A
k
∵点 A 在反比例函数y= 的图象上
x
1
∴ x·y＝k∴ S ＝ ·k＝2
A A △AOC
2
4
∴ k＝4∴反比例函数的表达式为y=
x
k
【问题】在反比例函数y= 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），
x
1）与坐标轴所围成的矩形的面积是多少．
2）与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？
1）与坐标轴所围成的矩形的面积S = |k|．
矩形
1
2）与坐标轴所围成的三角形的面积S = |k|．
三角形
2
能力提升
k
1.如图，点A，B是反比例函数y= （x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于
x
点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S BCD=3，则S AOC=_5_．
△ △感受中考
2 3
1．（2023·湖南湘西中考真题）如图，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在函数y=
x x
(x>0)的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y= (k为常数，k>0，
x
19 19
x>0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为 ，则k=
12 6
．
