冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练专题23导数的综合问题（单选+填空）（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】 专题23 导数的综合问题（单选+填空）（新高考通用） 一、单选题 1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域都 为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及 ，再利用复合函数 的导数推出 的周期以及 ，进而可求解. 【详解】因为 为偶函数，所以 ， 即 ，即函数图象关于 对称，则 ， 因为 为奇函数，所以 ， 即函数图象关于点 对称， 则 ， 所以 ，则 ，所以函数以4为周期， ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ， 也即 ， 令 ，则有 ，所以 ，由 得 ，所以 以4为周期， 所以 ， 所以 ，C正确， 对于其余选项，根据题意可假设 满足周期为4， 且关于点 对称， ，故A错误； ，B错误； ，D错误， 故选:C. 2．（2023·江苏泰州·统考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切 点分别为 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点 ，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点 ，结合韦达定理可得 的关系，进而可得 的关系，再利用导数即可得出 答案. 【详解】设切点 ， 则切线方程为 ， 又切线过 ，则 ，有两个不相等实根 ， 其中 或 ， 令 或 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上递增，在 上递减， ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 ， 即 . 故选：D. 3．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为不等式 等价于 ，故考虑构造函数 ，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】令 ，函数 的定义域为 ， 因为 所以， 故故 在R上单调递减， 又因为 所以， ， 所以不等式 可化为 ， 所以 ， 所以 的解集为 故选：B. 4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得 ，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最 值的步骤，但要注意对参数 进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意可知， 的定义域为 ， 因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得 ， 所以函数 在 上没有最小值， ， 当 时，当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 时， 取得最大值为 ，值域为 ， 在 内无最小值，因此 . 当 时，令 ， ， ， 当 时， ； 当 时， ； 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 时， 取得最大值为 ，显然 ， 即 ， 在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图所示 当 时， 有两个根 ，不妨设 ， 当 或 时， ；当 或 时， ； 所以 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增. 所以 在 与 处都取得极小值， ，不符合题 意， 当 时， ，当且仅当 ， 时取到等号， 当 时， ； 当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 当 时， 取得最小值为 ，不符合题 意， 综上所述，实数a的取值范围为 故选：D. 【点睛】解决本题的关键是将问题转化为求函数 没有最小值，利用导数法求函数 的最值步骤，但在研究 与 的大小关系时，借住函数的图象，得出对 分 和 两种情况讨论即可求解. 5．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得 的取值范围. 【详解】 的定义域是 ， ， 令 ， 所以 在区间 递减；在区间 递增. 要使 有两个极值点，则 ， 此时 ， 构造函数 ， 所以 在 上递增，所以 ， 所以 ， 所以实数a的取值范围 . 故选：D 【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用 二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系. 6．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数 和函数 ， 具有相同的零点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点定义可整理得到 ，令 ，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定 在 上单调递减，在 上单调递增，并得到 ， ，由可确定 ，由此化简所求式子即可得到结果. 【详解】由题意知： ， ， 联立两式可得： ， 令 ，则 ； 令 ，则 在 上单调递增， 又 ， ， 在 上存在唯一零点 ，且 ， ， ； 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 又 ， ， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解 题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量 关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子. 7．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 （e是自然对数的底数），若 存在 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】由 ，得到 ，再研究函数 的单调性，得到 ，将 表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可. 【详解】 ， ， ， ， ， 当 时， ， ， 由 得 ，由 得 ，所以 在 上递增，在 上 递减， 在 处取得最小值 ， ， ， 令 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值0， 所以 的取值范围是 . 故选：A 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值 范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰 到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求 解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．8．（2023·湖南邵阳·统考二模）若不等式 对任意 恒成立，则正实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得 恒成立，令 ，则 恒成立，利用 的单调性可得 在 时恒成立， 即 恒成立，构造函数 ，由其单调性得 ，即可得出答案. 【详解】因为 ， 恒成立， 即 恒成立． 令 ，则 恒成立． 因为 恒成立，故 单调递增， 所以 在 时恒成立， ∴ 恒成立． 令 ， ． 令 ，则∴ 单调递减．∴ ，即 ， ∴ 单调递减，故 ． 则正实数 的取值范围是 . 故选：B． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数法：分离出函数中的参 数，问题转化为求新函数的最值或范围．若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 ；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 ；③分段讨论法： 对变量 进行分段讨论，然后再综合处理． 9．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ，直线 ， 若有且仅有一个整数 ，使得点 在直线l上方，则实数a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义域得 为正整数，由导数法研究 的图象，直线l过定点 ，由数形结合可判断 的值，进而列不等式组确定参数范围.【详解】点 在直线l上方，即 ，因为 ，所以 有且仅有一个正整数解. 设 ，则 单调递增； 单调递减，所以 . 又 ，故可得 图象如下图， 直线 过定点 ， 当 ， 有无数个正整数解，不合题意，故 ， 又 有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即 . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足 条件，可由导数法研究 的图象，由数形结合列式求解. 10．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且为奇函数， ， ，则 （ ） A．13 B．16 C．25 D．51 【答案】C 【分析】根据题意利用赋值法求出 、 、 、 的值，推出函数 的周期，结合 ，每四个值 为一个循环，即可求得答案. 【详解】由 ，令 ，得 ，所以 ． 由 为奇函数，得 ，所以 ， 故 ①． 又 ②， 由①和②得 ，即 ， 所以 ，③ 令 ，得 ，得 ， 令 ，得 ，得 ． 又 ④， 由③-④得 ，即 ， 所以函数 是以8为周期的周期函数， 故 ， 所以 ， 所以， 故选：C． 【点睛】方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶 性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法 求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题. 11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设 ，函数 满足 ，则α落于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点 存在性定理，可得答案. 【详解】由题意，可知函数 在 上当 时取得最大值， 且 ， 由于 ，则 ， 由 ， ， ， ， 根据零点存在性定理，可知 ， 故选：C. 二、填空题 12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在 上可导函数 ，对于任意的实数x 都有 成立，且当 时，都有 成立，若 ，则实数m的取值范围是__________．【答案】 【分析】构造函数 ，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调 性和奇偶性解不等式. 【详解】令 ， 则易得 ， 即 为偶函数， 当 时，有 ， 即函数 在 上单调递减，故在 上单调递增， 由 得 ， 即 ， 由 为偶函数得 ， 又在 上单调递增，所以 ， 故答案为： ． 13．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知不等式 ，对 恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据已知得出 ，对 恒成立，而在 ， 上 ， ，可得 ，将 化为，令 ，根据导数得出其单调性，则 可化为 ，即可根据单调 性得出 ，令 ，根据导数得出 ，即可得 出 ，即可得出答案. 【详解】 ，对 恒成立， 则 ，对 恒成立， ， ， ， ， 则要满足 ，则 ，即 ， 化为： ， 两边乘 得： ， 令 ，则 ， 令 ，解得 ， 则 在 上单调递增， 不等式 ，对 恒成立， 即 时， 恒成立， 则 可化为： ， 当 ， 时， ， ， 则根据单调性可得 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，解得 ，即 在 上单调递增， 令 ，解得 ，即 在 上单调递减， 则 ， 则 ，即 ， ， 综上 ， 故答案为 . 14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解. 【详解】 ，所以 是奇函数， 又 ， 在R的范围内是增函数， 有解等价于 ， 有 解， 令 ，当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意； 当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， ； 令 ，则 ，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， 并且当 时， ， ， 当 时 ，即当 时， 满足题意， 所以a的取值范围是 ； 故答案为： . 15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点 与 ，若 ，则实数a＝____________. 【答案】4 【分析】由 得 ，所以 ，根据 解方程即可求出结果． 【详解】因为函数 有两个极值点 与 由 ，则 有两根 与 所以 ，得因为 ， 所以 ，又 则 ， 所以 故答案为： 16．（2023·湖北·统考模拟预测）函数 ，若关于x的不 等式 的解集为 ，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分 和 两种情况讨论，当 时，根据二次函数的图象得到 ， 当 时，分 和 两种情况讨论， 时，将 转化为 ，然 后借助函数的单调性和最值解不等式即可. 【详解】由题意知，当 时， ； 当 时， ；当 时， ． 当 时， ， 结合图象知 ；当 时， ，当 时，显然成立； 当 时， ， 令 ，则 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 ，所以 ． 综上，实数a的取值范围为 ．故答案为： ． 17．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且满足 在 上恒成立，则不等式 的解集是 ____________． 【答案】 【分析】构造函数 ，再将 转化为 ，进而根据 的单调性求解即可. 【详解】令 ，则 ，所以 在 上单调递 增， 由 ，得 ，即 ， 所以 ，解得 . 所以不等式 的解集是 . 故答案为： . 18．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围__________. 【答案】 【分析】令 ，分 ， ， ，利用导数法讨论求 解. 【详解】解：令 ，则 ， ①当 时， ，不符合题意； ② 时， 在区间 上恒为负，在区间 上恒为正， 则需 在区间 上恒为负，在区间 上恒为正， 因为 在区间 上单调递增，则需 ，此时 ，符合题意； ③当 时， 在区间 上恒为负， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，故 在 时取得极大值也是最大值， ，解得 . 所以实数 的取值范围是 . 故答案为： 19．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数， 的 零点为______. 【答案】 ## 【分析】只用求方程 的零点，讨论左右两个函数的最值即可求解. 【详解】由 得 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，取等号， 令 ， ， 令 解得 ；令 解得 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 ， 所以要使 ，只能 ， ， 所以 零点为 ， 故答案为: . 20．（2023·广东湛江·统考一模）若函数 存在两个极值点 ，且 ，则 ______． 【答案】 【分析】求导得到 ， ， ， ，则 ，解得答案. 【详解】 ，定义域为 ，所以 ， 故 ， ；又 ，所以 ． 又 ，故 ，所以 ，所以 ． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化 能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键. 21．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知曲线 与 的两条公切线的夹角正切值为 ，则 ________． 【答案】 【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性质及正切函数倍角公式，可求得两条公 切线的夹角一半的正切值，即可求得直线AD的斜率.设点A的横坐标为 ，切点D的 横坐标为 ，由导数法分别就A、D两点求同一条切线方程，从而建立方程，化简求 值. 【详解】 与 互为反函数，图像关于直线 对称，如图所示， 由题意，两条公切线的夹角正切值为 ，解得 或 ，又 为锐角，所以 . 由对称性，不妨取AD直线进行研究，则直线AD的倾斜角 ， . 设点A的横坐标为 ，切点D的横坐标为 ， 则 ， ，∴ ，即 . 所以 ， ， ，即 .∴ ，则 ，即 ，则 ，所以 ，即 ，所以 . 故答案为： . 【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用 两切线为同一条切线得出方程，从而进一步求解. 22．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意 ，关于x的不等式 恒成立，则实数a的最大值为________． 【答案】 ##0.75 【分析】不等式化为 恒成立， 由于 都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加： 和 ，后者设 ，由导数求得其最小值， 前者由二次函数性质得最小值，两者相加即得最小值，从而得 的范围，得出结论． 【详解】原不等式化为 恒成立， 由于 是任意实数， 也是任意实数，∴ 与 是任意实数，它们之间没有任 何影响， ，当且仅当 时等号成立， 设 ，则 ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 所以 ， 所以 的最小值是1， 所以 的最小值是 ，从而 ， 的最大值是 ． 故答案为： ． 【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为 求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于 都是任意 实数，因此题中 与 可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两 个函数的和，分别求出其最小值后得出结论． 23．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）函数 ，当 时， ，则 的取值范围是__________. 【答案】 【分析】当 时， ，不合题意；若 ，当 时，可证得 ， ，满足题意. 【详解】 ，当 时，由 ，有 . ， 时， ； 时， . ， 时， ； 时， . 则当 时，不满足 . 若 ， ， 设 ， ， 解得 ， 解得 ， 在 上单调递减，在 上单 调递增， 则 ，∴当 时， ，有 ，可得 所以若 ，当 时，若 ， 设 ， ， 解得 ， 解得 ， 在 上单调递减，在 上单 调递增， ， 所以若 ， . 综上可得：若 ，当 时， 恒成立. 则 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参 函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二 是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题 过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许 多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 24．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知实数 ， ， 满足 （其中 为自然对数的底数），则 的最小值是 _________． 【答案】 ## 【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出 的关系，再利用 导数求出函数的最值作答. 【详解】 ， 令函数 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，即 ， ，于是 ，即 ， 当且仅当 ，即 时取等号，依题意， ， ， 令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ， 从而函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，所以 的最小值是 . 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利 用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 25．（2023·福建泉州·统考三模）已知函数 有两个零点，则实数a的 取值范围为___________． 【答案】 【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可. 【详解】 有两个零点 有两个根，即图像有两个交点； ① 时，设 ， 若有两个交点，则 ；② 时，只有一个交点； ③ 时，设 ， 若有两个交点， 综上可得，实数a的取值范围为 故答案为： 26．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，则 的最大值是______． 【答案】 【分析】作出 的函数图象，得出 ， ，将 化 简为 ，构造函数 ， ，由 得出 单调递增， 求出 的最大值，即可求得答案． 【详解】解：作出 的函数图象如图所示： ∵存在实数 ，满足 ， ， ， 由图可知， ， ， 设 ，其中 ， ，显然 在 单调递增， ， ， ，在 单调递增， 在 的最大值为 ， 的最大值为 ， 故答案为： ． 27．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）若关于 的不等式 有解， 则 的取值范围是__________.（其中 ） 【答案】 【分析】根据题意，将式子变形为 ，结合 ，即可得到 结果. 【详解】关于 的不等式 有解，则 有解， 设 ，则 ， 当 时， ，当 时， ； 所以 在 上递减，在 上递增， 所以 ，即 ， 又 ， 当 时（ 与 显然在 有交点，故此方程有解），等号成 立， 所以 . 故答案为: 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将 改写成 ，再利用常见不等式放缩得到. 28．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知不等式 恒 成立，则实数 的最大值为___________. 【答案】 【分析】将不等式转化为 ，构造函数 ， 研究函数单调性，将问题转化为 恒成立，再运用分离参数法求最值即 可. 【详解】因为 ，所以 ， . 即 . 令 ，易知 在 上单调递增， 又 ， 所以 恒成立，即 恒成立. 所以 . 令 ， ，则 ， ， 由 ， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，即 ， 故实数 的最大值为 . 故答案为： . 【点睛】同构法的三种基本模式： ①乘积型，如 可以同构成 ，进而构造函数 ；②比商型，如 可以同构成 ，进而构造函数 ； ③和差型，如 ，同构后可以构造函数 或 . 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略： （1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （2） 恒成立 ； 恒成立 ； 能成立 ； 能成立 . 29．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数 在 处取得极大值，则实数a的范围是______． 【答案】 【分析】由题可得 ，又令 ， 可得 ，易得 ，不合题意.令 ，可得 ，后通过讨论 与0的大小，利用导数研究 的单调性与正负性，从而可得 在 处 的极值情况. 【详解】 ，可得 ， 令 ，则 ． ①当 时， 在 上单调递增. 又 ，则当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增. 所以 在 处取得极小值，不合题意； ②当 时， ，令 ， 解得 在 上单调递增.又 ， . 可得当 时， ，从而 在 上单调递减； 当 时， ，从而 ， 在 上单调递增， 所以 在 处取得极小值，不合题意； ③当 时， ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得极大值，也是最大值，所以 ，从而 ， 所以 在 上单调递减，不合题意； ④当 时， ，令 ， 解得 在 上单调递减. 又 ,故当 时， ， 从而 在 上单调递增， 当 时， ，从而 在 上单调递减． 所以 在 处取得极大值，符合题意. 综上，实数a的范围为 ． 故答案为： . 【点睛】结论点睛：本题涉及函数极值点，难度较大，涉及相关结论如下： 若 在 处取极大值，则 ； 若 在 处取极小值，则 .30．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线 与 的公共切线的条数为________． 【答案】2 【分析】设公切线关于两函数图像的切点为 ，则公切线方程为： ，则 ，则公切线条数为 零点个数. 【详解】设公切线关于两函数图像的切点为 ，则公切线方程为： ，则 ， 注意到 ， ，则由 ，可得 . 则公切线条数为方程 的根的个数， 即函数 的零点个数. ，令 ，则 ， 得 在 上单调递增.因 ， 则 ，使得 .则 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ， 又注意到 ， ，则 ，使得 ，得 有2个零点，即公共切线的条数为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大. 本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题 有范围，故选择消 掉 ，构造与 有关的方程与函数.