文档内容
2023 届高三考试
数学试题(理科)
考生注意:
1.本试卷共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1. 已知全集 , 则
A. B. C. D.
2. 若 , 则
A. B. C. D.
3. 设等比数列 的前 项和为 , 且 , 则
A. 28 B. 42 C. 49 D. 56
4. 函数 在 上的图象大致为
5. 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 再向右平移 个单
位长度, 得到函数 的图象, 若 为奇函数, 则 的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 已知函数 , 则不等式 的解集是
A. B. C. D.
7. 如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为 1 , 则该多面体的体积为A.
B. 8
C.
D. 10
8. 某市教育局为得到高三年级学生身高的数据, 对高三年级学生进行抽样调查, 随机抽取了1000
名学生,他们的身高都在 五个层次内,分男、女生统计得到以下样本分布统计图, 则下列
叙述正确的是
A. 样本中 层次的女生比相应层次的男生人数多
B. 估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C. 层次的女生和 层次的男生在整个样本中频率相等
D. 样本中 层次的学生数和 层次的学生数一样多
9. 已知三棱锥 的底面是正三角形, 平面 , 且 , 则直线 与平面
所成角的正弦值为
A. B. C. D.
10. 5名志愿者要到 三个社区进行志愿服务, 每个志愿者只去一个社区, 每个社区至少一名
志愿者, 若恰有两名志愿者去 社区, 则不同的安排方法共有
A. 30 种 B. 40 种 C. 50 种 D. 60 种
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 , 过右焦点 且不与 轴垂直的
直线交 的右支于 两点, 若 , 且 , 则 的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知 为自然对数的底数, 则
A. B. C. D.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.13. 设 是等差数列, 且 , 则 _____.
14. 已知向量 满足 , 且 , 则 _____.
15. 已知抛物线 的焦点是 是 的准线上一点, 线段 与 交于点 , 与 轴
交于点 , 且 ( 为原点), 则 的方程为_____.
16. “康威圆定理”是英国数学家约翰 康威引以为豪的研究成果之一. 定
理的内容如下: 如图, 的三条边长分别为
. 延长线段 至点 , 使得 , 延长线 段
至点 , 使得 , 以此类推得到点 , 那么这六个 点
共圆, 这个圆称为康威 圆. 已知 , 则由 生成的 康
威圆的半径为_____.
三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题,每个
试题考生都必须作答. 第 22 、23 题为选考题, 考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. (12 分)
的内角 的对边分别是 , 且 .
(1)求 ;
(2) 若 的面积为 , 且 , 求 的周长.
18. (12 分)
第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举行, 而北京也成为
全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城. 某学校为了庆祝北京冬奥会的召开, 特举行
奥运知识竞赛. 参加的学生从夏奥知识题中抽取 2 题, 冬奥知识题中抽取 1 题回答, 已知学生
(含甲) 答对每道夏奥知识题的概率为 , 答对每道冬奥知识题的概率为 , 每题答对与否不影响后
续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少?
(2) 求学生甲答对的题数 的分布列和数学期望.
19. (12 分)
如图, 在多面体 中, 平面 , 四边形 是平
行四边形. 为 的中点.
(1)证明: 平面 .(2) 若 是棱 上一点, 且 , 求二面角 的余弦值.
20. (12 分)
已知椭圆 的右顶点是 , 离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2) 过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 , 点 关于 轴的对称点为 , 问直线 是
否过定点? 若是, 求出该定点的坐标; 若不是, 请说明理由.
21. (12 分)
已知函数 有两个零点 .
(1) 求 的取值范围;
(2)证明: .
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22 、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 的极坐标方程为 .
(1) 求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程;
(2) 若直线 过点 且与直线 平行, 直线 交曲线 于 两点, 求 的值.
23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分)
已知 均为正数, 且 , 证明:
(1) ;
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