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专项训练5 平行线与数学思想方法
一．转化思想
1．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，
则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S
阴影
＝S直角梯形BEFH ，即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影 ＝S直角梯形
，
BEFH
∴BH＝BC﹣CH＝3cm，
∴S阴影 ＝S直角梯形BEFH
1
＝（3+5）×2×
2
＝8（cm2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积
是解题的关键．
2．平行线的判定定理和性质定理可以实现“角度的数量关系”与“直线的位置关系”之间的转化，请补
全以下推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点
G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ EAD ．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠B＝∠BDH．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（ 垂直的定义 ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝ 4 0 °．（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】先证明 AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得 AE∥HG，则∠B＝
∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；
内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及补角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解
题的关键．
3．【阅读理解】
如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）请将下面推理过程补充完整；
解：如图①，过点A作ED∥BC，
则∠B＝∠EAB，∠C＝ ∠ DAC ．
因为 ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ DAC ＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，
∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图②，已知AB∥ED，试说明：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．
【深化拓展】
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交
于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图③，若点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
②如图④，若点B在点A的右侧，∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．
【分析】[阅读理解]（1）根据平行线的性质可得∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，结合平角的性质即可求
解；
[方法运用]（2）如图所示，过点C作CM∥AB，可得AB∥CM∥DE，根据平行线的性质可得∠ABC＝
∠BCM，∠DCM+∠D＝180°，由此即可求解；
[深化拓展]（3）①如图所示，过点E作EN∥AB，可得AB∥EN∥CD，根据平行线的性质可得∠ABE
＝∠BEN，∠CDE＝∠DEN，再根据角平分线的性质即可求解；
②如图所示，过点E作EH∥AB，同理可得，AB∥EH∥CD，根据平行线，角平分线的性质即可求解．
【解答】解：[阅读理解]（1）如图所示，过点A作ED∥BC，则∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
[方法运用]（2）如图2所示，过点C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠B＝∠BCM，∠D+∠DCM＝180°，
∵∠BCD＝∠BCM+∠DCM，
∴∠DCM＝∠BCD﹣∠BCM＝∠BCD﹣∠B，
∴∠D+∠DCM＝∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
[深化拓展]（3）①如图3所示，过点E作EN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN，∠CDE＝∠DEN，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵BE平分∠ABE，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC=25°，∠CDE= ∠ADC=30°，
2 2
∴∠BED＝25°+30°＝55°；
②如图4所示，过点E作EH∥AB，
同理可得，AB∥EH∥CD，
∴∠ABE+∠BEH＝180°，∠CDE＝∠DEH，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°
1 1
∴∠ABE= ∠ABC=50°，∠CDE= ∠ADC=30°，
2 2
∴∠BEH＝180°﹣∠ABE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠BEH+∠CDE＝130°+30°＝160°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，角的计算，关键是角的和差计算方法的掌握．
二．分类讨论思想
4．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40 ° 或 140 ° ．
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识
点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后
计算．
5.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺
5
时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD＝15°时，
BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为 45 ° ， 60 ° ， 105 ° ， 135 ° ．
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：如图①，当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；如图②，当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
图① 图②
如图③，当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
图③ 图④
如图④，当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故答案为：45°，60°，105°，135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的
性质求解是解答此题的关键．
6．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜ ＜90°）．小安将一
个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线ABα、CD上α，且在点G、H的右
侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥αEF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含 的式子表
示）． α【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可
求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝
60°，再利用平行线的性质可求解；
②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴ ＝∠NOM＝60°；
②α点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
α∴∠NMD＝60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+ ，
∵NO平分∠ANM， α
1 1
∴∠ANO= ∠ANM＝30°+ ，
2 2
α
∵AB∥CD，
1
∴∠MON＝∠ANO＝30°+ ，
2
α
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
1 1
∴∠BNO= [180°﹣（60°+ ）]＝60°− ，
2 2
α α
1
∴∠MON＝60°− ，
2
α
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ 或60°− ．
2 2
α α
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ 或60°− ．
2 2
α α
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
三．方程思想
7．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋
转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针
旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是
每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 6 0 °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜30时，根据4t＝2×
（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55；
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜45时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴4t＝2×（15+t），
解得：t＝15；
②当45＜t＜75时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°，解得：t＝55；
综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行.
8．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分
∠CBF．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求
出其度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；
1
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=
2
∠ABC，即可求得∠DBE的度数．
（3）首先设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直
线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝
80°﹣x°，解此方程即可求得答案．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
1 1 1
∴∠DBE= ∠ABF+ ∠CBF= ∠ABC＝40°；
2 2 2
（3）存在．
设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．
∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ADB＝80°﹣x°．
若∠BEC＝∠ADB，
则x°+40°＝80°﹣x°，
得x°＝20°．
∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．
【点评】此题考查了平行线的性质与平行四边形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直
线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．
9．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠AFE＝∠C+∠CEF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线 AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝
35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得
出即可；
（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠AFM＝∠C，∠CEF＝∠EFM，
即可求出答案；
（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分
1 1
线的定义得出∠BAE= ∠BAC＝90°− x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程
2 2
1
90− x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．
2
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠AFM＝∠C，∠CEF＝∠EFM，
∴∠AFE＝∠AFM+∠EFM＝∠C+∠CEF，
即∠AFE＝∠C+∠CEF；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠BAE= ∠BAC＝90°− x°，
2 2
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
1
∴90− x+x−35+2x=180，
2
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判
定进行推理是解此题的关键．
四．类比迁移思想
10．【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝ ，∠PCD＝ ，当点P在B、D两点之间运动
时，问∠APC与 、 之间有何数量关系？请说明理由；α β
【问题应用】：α β
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直
接写出∠APC与 、 之间的数量关系．
【分析】（1）过αPβ作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入
∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠ ＝∠APE，∠ ＝
∠CPE，即可得出答案； α β
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠
＝∠APE，∠ ＝∠CPE，即可得出答案． α
【解答】（1）β解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠ +∠ ，
理由：如图2，过αP作βPE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，
∴∠ ＝∠APE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αAPC＝∠APE+∠β CPE＝∠ +∠ ；
（3）如左图所示，当P在BDα延长线β 上时，
∠CPA＝∠ ﹣∠ ；
如右图所示α，当Pβ在DB延长线上时，
∠CPA＝∠ ﹣∠ ．
β α
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典
型的题目，解题时注意分类思想的运用．
