文档内容
专题 01 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、全等三角形之一线三等角模型..................................................................................................................1
题型二、全等三角形之倍长中线模型......................................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、全等三角形之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与
直线 交于点G．求证：点G是 的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，则有
________ （填“ 、 、 ”）
【答案】（1） ， ，（2）见解析，（3） ，理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三
角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作 于点H， 于点Q，进而可得 ，然后可证
，则有 ，进而可得 ，通过证明 可求解问题；
（3）过点 作 交 于 ，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 交 延
长线于 由题意易得 ， ， 然后可得 ，则有
， ，进而可得 ，通过证明 及等积法可进行求
解问题．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为 ，
（2）分别过点D和点E作 于点H， 于点Q，如图所示：∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点；
（3） ，理由如下：
如图所示，过点 作 交 于 ，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 交
延长线于
∵四边形 与四边形 都是正方形
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可以证明 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
故答案为： ．
例2．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ．求证： ， ．
我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
请运用图1的模型解决下列问题：
图1
【模型应用】（2）如图2， 且 ， 且 ，请按图中所标注的数据，计算图
中实线所围成的图形的面积为______．
【深入探究】（3）如图3， ， ， ，连接 、 ，且 于
点 ， 与直线 交于点 ．求证：点 是 的中点．图3
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键．
（1）利用全等三角形的性质解答即可；
（2）由“K字”模型可知， ，推出
，推出 ，再根据图中面
积进行计算即可；
（3）作 于点 ， 于点 ，证明 ，则 ，即可得出结论．
【详解】解：（1） ， ， ，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）由“K字”模型可知， ，
，
，
图中实线所围成的图形的面积
梯形 的面积
；
故答案为： ．
（3）作 于点 ， 于点 ，由“K字”模型可知， ，
，
同理， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
即点 是 的中点．
题型二、全等三角形之倍长中线模型
【常见模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例3．方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长 到点E，使 ，
连接 ．可以判定 ，得出 ，这样就能把线段 、 集中在 中，利
用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在 中，点D、E在 上，且 ，过E作 与 相交于点F，且 ．
求证： 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系
等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长 到点E，使 ，连接 ．可以判定 ，得出 ，这样就能把线
段 、 集中在 中，利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围，
（2）延长 到点M，使 ，连接 ．证明 ，得出 ，
得出 ，由 可得 ，从而可得 ，故可得 平分 ．
【详解】（1）解： 是 的中点，
，在 和 中，
，
，
，
在 中，
，
即 ，
中线 的取值范围是： ；
（2）证明：延长 到点M，使 ，连接 ．
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 平分 ．
例4．【综合与实践题】【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延
长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形 中， ，E是 的中点， 平分 ，试判断 ， ，
之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长 、 的相交于点F，构造 和等腰三角形 即可判断．
【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断 ， ， 之间的等量关系，并说明理由．
【自主探究】（2）如图③，在 中，D是 的中点，点E在 上，连接 交 于点F，
，试说明： ．
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形 中， ， ， ，点F在 上且满足
， ，求 的长．
【答案】（1） ，见解析；（2）见解析；（3）3.4
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长 、 相交于点F，证明 和 全等得 ，再根据 平分 得
，则 ，由此可得出 ， ， 之间的等量关系；
（2）延长 至点H，使 ，连接 ，证明 和 全等得 ， ，
再根据 ， 得 ，进而得 ，由此即可得出结论；
（3）过点延长 、 相交于点 ，根据三角形面积公式及 得 ，证明 和
全等得 ，则 ，再根据 ， 得
，进而可得答案．
【详解】解：（1） ， ， 之间的等量关系是： ，理由如下：
如图，延长 、 相交于点F，
，
， ，
是 的中点，
，在 和 中，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
（2）延长 至点H，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
（对顶角相等），
，
，
；（3）延长 、 相交于点 ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
， ，
，
，
因此， 的长为3.4．
一、填空题
1．如图， 中， ，点D为 的中点，则 的取值范围 ．
【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长 至点E，使 ，
连接 ，证明 ，可得 ，然后在 中，利用三角形的三边关系解答，即可
求解．
【详解】解：如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
∵点D为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
2．如图，直角坐标系中， 的顶点 ， 分别在坐标轴上，且 ， ，若点 、
的坐标分别为 、 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】过 作 轴于点 ，由 ， 可得 ，
从而证明 ，再根据全等三角形的性质即可求出 ， ，通过线段和
差与点 在第四象限即可求解．
【详解】如图，过 作 轴于点 ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的
垂线模型．
3．如图，在 中，D是边 的中点， ，则 的取值范围是
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明 是本题的关键．
延长 到 ，使得 ，连接 ， ．由“ ”可证 ，推出 ，利用
三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ， ．是边 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ．
4．如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，连接 ，若 ，则
的长为 ．
【答案】3
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，则 ，然后根据
求 即可．
【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，，
，
，
，
，
．
故填 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形
证得 成为解答本题的关键．
5．如图，在 中，以 ， 为腰作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，连接 ，
为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：① ；② ；③
；④ ，其中正确的有 （写上序号）
【答案】①③④
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作 ，交
于点H， ，交 延长线于点K，构造三对全等三角形： ， ，
，根据全等三角形的面积相等，即可得出 ， ， ，根
据 ，即可得出结
论③；最后根据 ，得出 即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 与 不一定相等，∴ 与 不一定全等，故②错误；
作 ，交 于点H， ，交 延长线于点K，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ，故③正确；∵ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①③④．
二、解答题
6．（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点 直线 ， 直线 ，
垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出
△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥ ，CE⊥ ，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
7．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型
图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作其
垂线，垂足分别为E，F，求证： ；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说
明理由；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是
解题的关键．
（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，根据全等三角形的性质推出 ；
（2）根据余角的性质得到 根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换得到
结论；
（3）由（2）得 且 ，得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： ，，
又 ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
（2）解： ，理由如下：
， ，
，
又 ，
∴ ，
， ，
，
即 ；
（3）解：由（2）得 且 ， ，
∴ ，
∴
，
∴ ，则 ，
∴ ．
8．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．【问题解决】
（1）如图1， 是 的中线，且 ，延长 至点E，使 ，连接 ，可证得
，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2， 是 的中线，点E在 的延长线上， 平分 ， ，试探究线段
与 的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3， 是 的中线， ， ， ，试探究线段 与
的数量关系和位置关系，并加以说明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
（3） ， ，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据中线的定义得 ，进而可依据“ ”判定 和 全等，由此即可得出答案；
（2）延长 到F，使 ，连接 ，则 ，同（1）证明 和 全等得
，再依据“ ”判定 和 全等得 ，由此即可得出线段 与
的数量关系；
（3）过点C作 于点H，证明 和 全等得 ， ，则 ，证
明 ，进而依据“ ”判定 和 全等得 ， ，据
此即可得出线段 与 的数量关系和位置关系．
【详解】解：（1）∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2）线段 与 的数量关系是： ，理由如下：
延长 到F，使 ，连接 ，如图所示：则 ，
同（1）证明： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）线段 与 的数量关系是： ，位置关系是： ，理由如下：
过点C作 于点H，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
9．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ，点D为 边的中点，求 边上的中线 的取值范围．解决
此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 ，可证 ，从而把
集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即
可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是 的中点， 于点D， 交 于点E， 交 于F，连接 ，
判断 与 的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F、点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）由已知得出 ，即 ， 为 的一半，即可得出答
案；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ， ，可得 ，得出 ，由线段
垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）延长 ， 交于点 ，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从而可得
，即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所
以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：（1）如图①，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图②所示．同（1）得： ，
，
， ，
，
在 中，由三角形的三边关系得：
，
；
（3） ，理由如下：
如图③，延长 ， 交于点 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
．
10．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 _____， _____， _____．我们把这个数学模型称为“ 字”模型或“一线三等角”
模型；
(2)如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点 ， 与直
线 交于点 ．求证：点 是 的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图2， ， ， ，连接 ， ， 的面积为 ，
的面积为 ， ，求 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3)1012
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条
件、证明过程及结论是解题关键．
（1）证明 ，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，利用“K字模型”的结论可得 故可
推出 ，同理可得 ，再证 即可证明结论；
（3）过 作 于 ，交 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，利用“K字模
型”的结论可得 ， ，进一步可证 ，再求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
， ，
，故答案为： ， ；
（2）证明：如图2，过 作 于 ，过 作 于 ，
由“ 字”模型得： ，
，
同理： ，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
点 是 的中点；
（3）解：如图3，过 作 于 ，交 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
， ， ，
由“ 字”模型得： ， ，
， ，
由（2）知：点 是 的中点，
得 ，
，，
即 ，
，
的值为1012．
11．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
（1）如图1，在 中， ， ，P为 上一点，当 的长为 时， 与
为偏等积三角形．
理解运用
（2）如图2， 与 为偏等积三角形， ， ，且线段 的长度为正整数，过点C作
，交 的延长线于点E，求 的长．
综合应用
（3）如图3，已知 和 为两个等腰直角三角形，其中 ， ，
，F为 的中点．请根据上述条件，回答以下问题：
① 的度数为 ；
②试探究线段 与 的数量关系，并写出解答过程．
【答案】（1）3;（2） ;（3）①180；② ，理由见解析
【分析】（1）根据新定义，当 为 的中点时，满足条件，从而可得答案；
（2）由 与 为偏等积三角形，证明 ，再证明 ，可得 ，
，再利用三角形三边的关系求解 ，结合 为正整数，求解 ，从而可得答案；
（3）①由周角的定义可得出答案；
②延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，证明 ， 由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论．
【详解】解：（1）如图，连接
当 时， ，与 不全等，
与 为偏等积三角形，
故答案为 ．
（2） 与 为偏等积三角形，
．
，
．
，
，
， ，
，
，
，
．
为正整数，
，
．
（3）①∵ ，
∴ ．
② ，理由如下：延长 至G，使 ，连接 ，如图所示：
∵F为 的中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由①得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， ， ， 是
的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长 到点 ，使
，连接 ．根据 可以判定 ，得出 ． 这样就能把线段
集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是______________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在 中， 是 边上的一
点， 是 的中线， ， ，试说明： ；
【问题拓展】（3）如图3，点 是 边上的一点，连接 ，过点 分别向外作 、 ，使得 ， ，若 ，求证： 且 为 的中线．
【答案】[方法探究]（1） ；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解
【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构
造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
[方法探究]（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，运用“边角边”证明 得到
，由三角形三边数量关系即可求解；
[问题解决]（2）根据题意可得点 是 中点，如图所示，延长 到点 ，使得 ，可证
，得到 ，再证 ，得到 ，由此即可求解；
[问题拓展]（3）如图所示，延长 交 于点 ，延长 到点 ，使得 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，可证 ， ，
，得到 ，即点 是 的中点，再证 ，得到
，证明 ，得到 ，由此即可求证．
【详解】解：[方法探究]（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
[问题解决]（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点 是 中点，
如图所示，延长 到点 ，使得 ，
∵点 是 中点，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
[问题拓展]（3）如图所示，延长 交 于点 ，延长 到点 ，使得 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，点 共线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
