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微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭
圆 上，满足 ，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 ，点A，B在椭圆 上，点N在直线 ： ，满足 ， ，试问
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆 的焦距为2且过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定
点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E： 的离心率为2，左、右焦点分别
为 ，点 为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C： 的一条
切线AM，切点为M，且 ．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线 与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为 ，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点
分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
例4．（2023·山西·统考一模）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，焦点到渐近
线的距离为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，证明直线 过定点.
例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分
别为 ，右焦点为 ，且 ，以 为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；
（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所
在定直线方程.
例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆 （a＞b＞0），左顶点为A，上顶
点为B，且 ，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且 ，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到
这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点且与
轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，且 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 的坐标为 ，且 轴，探究：直线
是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦
点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若双曲线 的右顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点 不是左右顶点），且
.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【过关测试】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点 的距离与C到定直线l： 的
距离之比为常数 .
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点 ，记直线PM，PF，PN的斜率分别为 ， ， ，证明： 为定值.
2．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆 和定
点 P是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交 于点M，设动点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设 ，过 的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分
别为 ，求证： 为定值．
3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，上顶
点为 ，点 是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与直线 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：直线 恒过某定点，并求出该定
点.4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆 和圆
，已知圆 将椭圆 的长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的
下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定点．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线 的左、
右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为 ，焦距为 ．
(1)求双曲线E的方程；
(2)P为直线 上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线
CD过定点．
6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆 的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点， （e为椭圆的离心率）， 的面积为 ．
(1)求E的方程；
(2)设四边形 是椭圆E的内接四边形，直线 与 的倾斜角互补，且交于点 ，求证：直线
与 交于定点．
7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 ， 的动直线 ， 分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线
段 、 中点，若 ，试判断直线 是否经过定点，并说明理由．
8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，离心率 ，P为椭圆上
一点， 分别为椭圆的左、右焦点，若 的周长为 ，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，M，N为椭圆上不同的两点，且 ，证明椭圆上存在定点Q使得四边形 为
平行四边形．9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点 ，定直线 ，P为平面内一动点，作 ，
垂足为Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段 的垂直平分线交x轴于点R，试判
断 是否为定值．
10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点 在椭圆 上， 的长
轴长为 ，直线 与 交于 两点，直线 的斜率之积为 .
(1)求证： 为定值；
(2)若直线 与 轴交于点 ，求 的值.
11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 满足
，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；(2)设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和，并求出该定值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以 为直径的圆经过点
D，且 于点G，证明：存在定点H，使 为定值．
13．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为
F，双曲线C上一点 关于原点的对称点为 ，满足 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与坐标轴不垂直，且不过点 及点 ，设 与 交于 、 两点，点 关于原点的对称点为 ，若
，证明：直线 的斜率为定值.
14．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，其右焦点为 ，焦距为4，直线 过点 ，且当直线 的倾斜角为 时，恰好与双曲线 有一个交点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 交双曲线 于 两点，交 轴于 点，且满足 ，判断
是否为常数，并给出理由.
15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线
与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 ， 为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线 与直
线 的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
16．（2023·浙江·高三校联考期末）已知抛物线 的焦点为F，斜率为 的直线过点
P ，交C于A，B两点，且当 时， ．
(1)求C的方程；
(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明 ．17．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线
C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若 ，求直线l的斜率；
(2)若 ，证明： 为定值.
18．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)动直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ， 是抛物线上异于 ， 的一点，记 ， 的斜率分别
为 ， ， 为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① 点坐标为 ；② ；③直线 经过点 .
19．（2023·湖北武汉·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系，已知 ， 分别：
的左，右焦点.设点 为线段 的中点.(1)若 为长轴 的三等分点，求椭圆方程；
(2)直线 （不与 轴重合）过点 且与椭圆 交于 ， 两点，延长 ， 与椭圆 交于 ， 两
点，设直线 ， 的斜率存在且分别为 ， ，请将 表示成关于 的函数，即 ，求
的值域.
20．（2023·江苏·高三统考期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 作
直线 （与 轴不重合）交 于 两点，且当 为 的上顶点时， 的周长为8，面积为
(1)求 的方程；
(2)若 是 的右顶点，设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
