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专题 02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角
形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对
应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ；例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若
AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
【答案】
【分析】先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质直接解答即可．
【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD，
∴ ，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三
角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图， 中，点 在 上， ，若 ，
，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，可得等腰 和等腰 ， ，再证明
，利用相似三角形对应边成比例即可求出 ．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 ，∴∵ ， ，∴ ，
∴ ， ∴ ，即 ，
解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰
和②构造等腰 是解题关键．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求
证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴ ，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，
∴ ，∴CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图， 中， ，点 为 上一点，且 ．
交 于 ，交 的延长线于 ．（1）求证： ；（2）若 ， ，求 ．
【答案】(1)见解析;(2) .
【分析】(1)根据已知条件得到 ， ，所以 ，根据余角的性质
得到 ，得到 ∽ ，根据相似三角形的性质得到 ，等量代换即可得到结论;
(2)根据 得到 ,根据勾股定理得到 ,根据相似三角形的性质得到 ，代入
数据即可得到结果.
【详解】（1）∵ ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
而 ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
又 ， ，∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）由（1）可知 ，而 ， ，
∴ ，∴ ，∴在 中根据勾股定理可知 ．
∵ ∽ ，∴ ， ．
【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），
若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，
使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3， ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD；（2） ；（3）存在，( ， )，( ，
)
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，
△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到
AB•CD＝ AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC
相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝3．
∵△ABC的面积＝ AB•CD＝ AC•BC，∴CD＝ ＝ ．
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ ，∴OB＝ ．
分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴ ＝ ，∴ ，解得t＝ ，即 ，∴ ．
在△BPQ中，由勾股定理，得 ，∴点P的坐标为 ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴ ，∴ ，
解得t＝ ，即 ，
过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴ ，即 ，∴PE＝ ．
在△BPE中， ，
∴ ，∴点P的坐标为 ，
综上可得，点P的坐标为( ， )；( ， )．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的
绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点
， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若
，求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) ．
【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，从而可得∠DCE=∠DCF = 135°，于是
可证得 ，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠CDF +∠F= 45°从而可得∠F =∠CDE，
则 ，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，
∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE = 2 ，从而可求得CG= DG= ，可证得 ，
从而可求得GN = ，再利用勾股定理即可求得DN．
（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中， ，∴ ，∴DE= DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
∴ ，∴ ，即 ；
（3）解：如图，∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG
当CD=2，CF= 时，由 可得，CE=2 ，
在Rt△DCG中，
∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅
助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．
例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线上，
连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长；
【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结
， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的性质即
可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的性质
即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的
性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，∴ ；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性
质是解题的关键．课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点 是 的边 上一点，要使得 与 相
似，添加一个条件，不正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若 ，则 ，故选项A不合题意；
若 ，则 ，故选项B不合题意；
若 ，则 ，故选项C不合题意；
若 ，不能证明 ，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知 ，其中 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ （负值已舍去），故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，过点C作 于点
D，点M为线段 的中点，连接 ，过点D作 于点E．设 ， ，则图中可以表
示为 的线段是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明 ，根据相似三角形的性质得，则 ，再证明
，可得出，则 ，由点M为线段 的中点，得 ，即
可得出 ．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
同理得 ，∴ ，∴ ，
∵点M为线段 的中点，∴ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题
的关键．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是 的边 上一点，连接 ，若
，则 的长 ．
【答案】
【分析】可证明 ，则 ，即得出 ，从而得出 的长．
【详解】解： ∵ ，∴ ，∴ ．即 ，∴ ．故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图， 中， ， ，D为 边上
一点， ． (1)求证： ．(2)若 的周长为11，请求出 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）在 与 中，有 ，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应
成比例即可．（2）根据相似三角形的性质，得 即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，且 ，∴ ；
（2）解：∵△ABC的周长为11， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，故 的长为 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决
问题的关键．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在 的边 上，连接 ． (1)如图1，若
．求证： ；(2)如图2，若 ， ， ， ．求线段
的长；(3)如图3，M、N分别是 上的两点，连接 交 于点P，当 ，
时，若 ，直接写出 的值______．【答案】(1)证明见解析；(2) (3)
【分析】（1）先证明 ，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据三角函数值，设 ， ，进而得
到 ， ， ，证明 ，得出 ，从而得到关于 的一元
二次方程，解方程即可得到线段 的长；（3）过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点
作 交 于点 ，过点 作 于点 ，设 ， ， ，利用勾
股定理，得到 ， ，证明 ，得出 ，进而得到 ，
，再证明 ， ，得到 ， ，进而得出 ，最后证
明 ， ，得出 ，即可求出 的值．
【详解】（1）证明： ， ，
， ， ；
（2）解：如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
， ， ，设 ， ， ， ，
， ， ，， ， ， ，
， ，解得： ， （舍）， ；
（3）解：如图，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，过
点 作 于点 ，
， ， ，
， 设 ， ， ，
， ， ，
在 中， ，在 中， ，
， ， ， ，
是 的外角， ， ， ，
又 ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，即 ，
， ， ，
， ， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形 中， ， ，点E是边
中点，连接 并延长 交 的延长线于点F， ，且 ．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由平行线可知 ， ，结合点E是边 中点，即得出 ，从
而可根据直角三角形斜边中线的性质求出 ，得出 ．根据三角形外角性质，结合题意
可求出 ，即得出 ，进而可证 ；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可知 ， ，即得出 ．由
（1）可得 ，即得出 ，从而可求出 ，进而得出
，即 ．再由平行线的性质得出 ，即证明 ，得
出 ，即 ．
【详解】（1）∵ ，∴ ．
∵E为 中点，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ；
（2）∵ ，E为 中点，∴ ， ，∴ ，∴ ．
又由（1）可得 ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角
的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相
等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．
8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在 的边长为1的小正方形网格中， 的三
个顶点都在格点上．
(1)直接写出 的形状______；(2)若 垂足为D，证明： ；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照
的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
【答案】(1)直角三角形(2)见解析(3)
【分析】（1）利用勾股定理求得 ， 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）证明 ，即可证明 ；（3）利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ 是直角三角形，故答案为：直角三角形；
（2）证明：由（1）知 是直角三角形，且 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：由题意得 ， ， 米， 米，
由（2）得 ，∴ ，∴ 米，∴树的高度为 米．故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图， 是 的直径，点D是 上一点，且， 与 交于点F．(1)求证： 是 的切线；(2)若 平分 ，求证：
．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出 ，再由已知得出 ，则
，从而证得 是 的切线；（2）通过证得 ，得出相似三角形的对应边成比例
即可证得结论．
【详解】（1）证明： 是 的直径， ， ，
， ， ， ，
是 的直径， 是 的切线；
（2）证明： 平分 ， ， ， ，
， ，∴ ， ．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，
连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三
角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在 中，
为边 上的中线， 与 相似，那么称 为关于边 的“华益美三角”．
(1)如图2，在 中， ，求证： 为关于边 的“华益美三角”；
(2)如图3，已知 为关于边 的“华益美三角”，点 是 边 的中点，以 为直径的⊙
恰好经过点 ．①求证：直线 与 相切；②若 的直径为 ，求线段 的长；
(3)已知 为关于边 的“华益美三角”， ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；② (3) 或 或【分析】（1）根据中线的定义可设 ，即 ，再由 ，可得 ，
，即有 ，结合 ，可得 ，问题得证；
（2）①连接 ，根据 ，可得 ，根据 为 的直径，可得
，根据 ，可得 ，即有 ，可得 ，
问题得证；②由题意可知 ， ，即有 ， ，可得 ，
即有 ，进而可得 ，在 中，有 ，即有
，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当 时，过A点作 于点E，利用相似可得 ，即
，根据 ，可得 ，此时面积可求；当 时，过A点作
于点 ，同理利用相似可得 ，进而可得 ，根据 ，可得
， ，则有 ，利用 ，可得
，求出 ，进而可得 ，面积可求，问题
随之得解．
【详解】（1）如图，
∵ 为 的中线，∴ ，即 ，∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ；∴ 为关于边 的“华益美三角”；
（2）①证明：连接 ，如图，
由题意可知 ，∴ ，又∵ 为 的直径，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ 为 的半径，∴ 为 的切线；
②∵由题意可知 ， ，∴ ， ，∴ ，
∵ 的直径为 ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵在 中， ，∴ ，解得： （负值舍去）；
（3）分类讨论：当 时，过A点作 于点E，如图，
∵ 为关于边 的“华益美三角”， ， ，
∴ ， ，∴ ，即 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
当 时，过A点作 于点 ，如图，∵ 为关于边 的“华益美三角”， ， ，∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
根据 还有： ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
综上： 的面积为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次
方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在 中， 是边 上一点．
(1)当 时，①求证： ；②若 ， ，求 的长；
(2)已知 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)①见解析；② (2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即
可；（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明 ，由 ， ，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵ ， ，∴ ；
②解：∵ ，∴ ，即 ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .， ，∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点 在同一直线上，满足 ， ，
且 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】先根据同角的余角相等，得 ，再根据“等边对等角”可得 ，然后根据
“两角相等的两个三角形相似”得出答案.
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ， ∴ ..
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形相似.
13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1， 中， ，D为 上一点， ．
(1)求证： ；(2)如图2，过点A作 于M，交 于点E，若 ，求 的值；(3)如图3，N为 延长线上一点，连接 、 ，若 ， ，则 的值为
___________．
【答案】(1)见详解(2) (3)
【分析】（1）证 ，得出 ，即可得证结论；（2）根据角的关系得出△AEB为等腰
三角形，根据（1）得出 ，过点E作 交 于点F，可得出 ，
根据相似三角形的性质即可求解；（3）过点B作 于点P，则 ，先证明
，即有 ， ，设 ，即 ， ，再设 ，
则 ，根据 ，可得 ，解得 或
（舍去），即有 ，则 ， ，问题得解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，∴ ， ∴ ；
（2）过点E作 交 于点F，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 为等腰三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
设 ，则 , ，在 中， ，∴ ， ，∴ ， a，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ,
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ∴ ，
（3）过点B作 于点P，则 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，即 ， ，再设 ，则 ，
∵ ，∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，则 ， ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相似三角
形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝
∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF
＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD= ．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，
∴ ，∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，
∴ ，∴BF2=BE•BC，∴BC= = = ，∴AD= ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角
形的判定方法是解题关键．
15．（2023·福建九年级期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，
△
∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出 ，得 ，进而求出 ，
再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由 可证 ，进而得出 ，再由（1）可证 ，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明： ， ， ， ，
， ， ， ．
（2）解： ， ， ， ，
AD是 ABC的中线， ，
△
，即： ，∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出 是
解题关键．
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝
120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝
∠DPB，从而可证明 ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得
△
到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得 ACP∽△PDB，∴ ，
△∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴ ，∴CD2＝AC•BD．
∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．
【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图， ， 平分 ，连接
交 于 .(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，根据相似三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据勾股定理求得 的值，即可根据（1）中结论求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ．
（2）解：在 中， ， ，则 ，
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定
和性质是解题的关键．
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形 中，对角线 平
分 ，且满足 ，求证：
（2）[尝试应用]在 中， 的角平分线 交于点F
①如图2， ，边 上一点G满足 ， ， ，求 的值．
[拓展创新]②如图3， ， ， ， ，直接写出 的值
（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【分析】（1）证明 即可；（2）先证明 ，再在 上取一点 使
即 为等边三角形，即可根据（1）中的模型得到 得到 ，
得到 ，最后代入 中计算即可；（3）过 交 于 ，再在
上取两点 使 ，然后根据（1）中模型得到 ，
，再证明 ，结合正切的定义求解即可．
【详解】（1）∵ 平分 ，∴ ,
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）∵ 的角平分线 交于点F
∴ ， ，
∴
①∵ ，∴ ，∴ 在 上取一点 使 ，
∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，同理可证 得到 ，
∴ ；
②过 交 于 ，再在 上取两点 使 ，
由①可得 ， ，
∵ ∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
同理由 可得 ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正切，解题的关键是根据第一小问的模型去构造辅助线．
