文档内容
专题 03 勾股定理压轴（三大模型）
“勾股树”
勾股定理: .
勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 , 满足
或 或 ,那么这个三角
形是直角三角形
在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论
作正方形（毕达哥
作等边三角形 作半圆
作等腰直角三角形 拉斯树的起始图
形）
结论：
【典例1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边
三角形，面积分别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足
的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部
分）的面积分别为 ， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；
若不满足，请求出 ， ， 的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作
正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”
的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别
为a，b，c，d，则 __________．【变式1-1】如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ）
A．13 B．47 C． D．
【变式1-2】如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方
形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图
（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【变式1-3】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在
我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图
形来证明该定理；
(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、
等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)
的面积分别为 ，直角三角形面积为 ，请判断 的关系并证明．
赵爽弦图
在正方形ABCD中,分别在边AB，BC，CD，DA上取点E，F，G，H，使得BE =
CF = GD=AH，过点E，F，G，H作EJ//AD，FK//AB，GL//BC，HI//CD结论1：四边形EFGH是正方形；
结论2: 四边形IJKL是正方形；
结论3： ；
结论4：正方形IJKL的边长为 ；
结论5：
【典例2】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与
中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：
；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足 ， ，
， ，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设 ， ，求正方形BDFA的
面积．（用m，n表示）【变式2-1】如图，是我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”，由四个全等的直角三角形拼
成大的正方形 和中间小的正方形 ．若直角 的面积是 ，且
，则小正方形 的面积是( )
A． B． C． D．
【变式2-2】大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为等
边三角形， 、 、 围成的 也是等边三角形．已知点 、 、 分别是 、
、 的中点，若 的面积为14，则 的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形 、正方形 、正方形 的面积分别为 ， ， ．若
，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【变式2-4】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图
形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分
别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个
直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知
大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞
y），则下列四个说法：① ，② ，③ ，④ ，其中正
确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【变式2-6】三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书
中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色
部分是直角边长为 ，斜边长为 的 个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
【变式2-7】阅读下列材料并完成任务：
中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆
方图”(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，
以弦为边长得到的正方形 是由 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组
成的.每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为 ，面积为 .于是便
得到式子： .赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、
割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证
数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是
“赵爽弦图”，其中 、 、 和 是四个全等的直角三角形，四边形
和 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设 ，
， ，取 ， .
任务：
(1)填空：正方形 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求 的值.蚂蚁爬行(最短路径问题)
基础模型1
已知:在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁
从点P到点Q的最短路径
结论1:长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为PQ=❑√长边2+(较长边+最短边) 2.
正方体中，若棱长为a,蚂蚁爬行的最短路径为PQ =基础模型2
已知:在底面半径为r,高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱
表面螺旋爬行到点Q的最短路径
结论2：最短路径为PQ= 结论3：最短路径为PQ=
简记口诀：“展平面、连两点、勾股算”
模型3
已知:一个底面半径为r ，高为h的圆柱形木桶，外壁点P处有一只小妈蚁，内壁Q处有一
滴蜂蜜，求小蚂蚁沿外壁爬行再沿着内壁爬行到点Q的最短路径
结论4：最短路径为 (注：高度 不是圆柱的高)
【典例3】如图是一个长方体包装盒，高为 ，底面是正方形，边长为 ，现需用绳
子装饰，绳子从 出发，沿长方体表面绕到 处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm， cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．6cm
【变式3-2】如图，长方形的长 ，宽 ，高 ，点M在CH上，
且 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离
是( )
A． B． C． D．
【变式3-3】如图，正方体的棱长为 ， 是正方体的一个顶点， 是侧面正方形对角线
的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 爬到点 的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为 ，高为
，在杯子内壁离容器底部 的点 处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正
好在杯子外壁，离容器上沿 的点 处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ）
A． B． C． D．【变式4-1】葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的
树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是 ，当一段
葛藤绕树干盘旋1圈升高为 时，这段葛藤的长为 ．
【变式4-2】如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂
蚁到达蜂蜜的最短距离为 ．（结果保留根号）
【典例5】如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是 、长是 、宽是
，一只蚂蚁沿台阶从点 出发爬到点 ，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、 ，台
阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为 ．【变式5-2】如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，已知 米，
米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A
爬过木块到达 处需要走的最短路程是 米．
1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如
图所示的弦图中，其中四边形 和四边形 都是正方形， 、 、
、 是四个直角三角形，当 ， 时，则正方形 的边长是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的，若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得
到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．74 B．76 C．78 D．80
3．如图，正方体 的棱长为2，E是 的中点．已知一只蚂蚁沿正方体的
表面从点A出发，到达点E，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
4．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关
系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， ，
点D，E，F，G，H，I都在长方形 的边上，则长方形 的面积为（ ）
A．420 B．440 C．430 D．410
5．如图，有一个圆柱，它的高等于 ，底面上圆的周长等于 ，在圆柱下底面的点
处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 相对的点 处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的
最短路程是 ．6．如图所示的长方体中， ，一只蚂蚁从点 处，沿长方体表面
爬行到点 处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为 ．
7．有一个圆柱体礼盒，高 ，底面周长为 ．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，
若彩带一端粘在 处，另一端绕礼盒侧面 周后粘贴在 处（ 为 的中点），则彩带最
短为 ．
8．如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一
次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的
三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续
“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为
（填数字）．
9．阅读材料，解答问题：(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句
话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说
明：在 中，如果 ， ， ， ，那么a，b，c三者之间
的数量关系是：______．
(2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小
正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．
(3)如图②，以 的三条边分别作三个等边三角形，若 ， ， ，求
出 的值．
10.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国
古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如
图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出 ， ，
满足的关系： ．(2)如图4，以 的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断 ， ， 的关系并证
明．
(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长
为 ， ，直接写出该飞镖状图案的面积．
