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专题04 赵爽弦图模型与勾股树模型
赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，
相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久
远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中
数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大
能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点
问题。
模型1、弦图模型
（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，
DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S
正方形ABCD
=4S
△EAB
+S
正方形EFGH
。
图1 图2 图3
（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四
边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S
正方形ABCD
=4S
△EAB
+S
正方形EFGH
。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S
正方形EFGH
= S
正方形ABCD
+S
正方形PQMN.
例1．（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原
型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面
积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据大正方形的面积即可求得 ，利用勾股定理可以得到 ，然后根据求得即可求得 的值，结合 即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵小正方形的边长为： ，
∴ ．故选C
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解本题关键．
例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其
为“赵爽弦图”，如图，大正方形 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若
， ，则 的面积为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．
【详解】解：如图：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF，
∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝ BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，
∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S HAM＝S GEM，∴S ADE＝S ADH+S DGE，
△ △ △ △ △
∵AD＝ ，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
例3．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的．（1）在Rt C中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为
61，小正方形的面积为1，求 ；（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直
角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由题意推出 ，可得 ．
（2）由（1）可知 ，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）由题意 ， ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ， ，∴ ，∴ ，∴AC=5，BC=6，
∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12，∴AD= ，∴这个风车的外围周长 ．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确
识图是解题的关键．
例4．（2022·福建·厦门八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人
称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，若 ，则 的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为 、 且 ，
由题意可知： ， ， ，
因为 ，即 ，
，所以 ， 的值是 ．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
例5．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题
时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图 ）中的两个正方形和八个直角三角形按图 方式摆放
围成正方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ．若 ，
，则正方形 的面积为（ ）A．144 B．104 C．72 D．52
【答案】B
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为 ，则小正方形的边
长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为 ，则小正方形
的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为
，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，∴ 或 （舍去），
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，
∴ ，故选 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边
为 ，较长直角边为 ，斜边为 ，用 表示出相关线段的长度，从而解决问题．
模型2. 勾股树模型例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，如果正方形 、 、 、 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 的面积是___．
【答案】30
【分析】根据勾股定理可得：正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积，正方形 的面积 正
方形 的面积 正方形 的面积，从而得到正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积，即可求
解．
【详解】解：如图，
由勾股定理得，正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ，
同理，正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ，
正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ．故答案为：30
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边
的平方是解题的关键．
例2．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中， ，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 ， ， 和 ．若 ， ， ，
则 的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】连接AC，构造 和 ，然后在 中利用勾股定理求出 ，在 中求
出 ，进而求得 的值．
【详解】如图所示，连接 ， 在 中，
即 ；同理，在 中，
即 则 故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可．
例3．（2022·河南八年级期末）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直
角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下
去，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出 ，写出部分 的值，根据数的变化找出变化规律“
”（n≥3），依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母 ，如图所示．
∵正方形 的边长为2， 为等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ．
观察，发现规律： ， ， ， S，…，
∴ ．当 时， ，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“ ”，解决该题目时，写出部分 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
例4．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再
以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好
似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理
作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2024
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为 ，再一次求出第二代、第三代勾股树中
所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：
，
∵ ,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 ；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第三代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第n代勾股树中所有正方形的面积为 ；
∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．
例5．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在 中，以AC为直角边向外作 ，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S，S，S，S，已知 ， ， ，则S
1 2 3 4 4
为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S，S，S，S，再分别用含AB、BC、
1 2 3 4
CD、AD的式子表示S，S，S，S，结合 可得S＋S＝S﹣S，从而可得答
1 2 3 4 1 2 3 4
案．
【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S，S，S，S，
1 2 3 4
∴ ， ，
∴ ，
，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴
∴ ，∴S＋S＝S﹣S，
1 2 3 4
∵S＝3，S＝1，S＝7，∴3＋1＝7﹣S，∴S＝3，故选：B．
1 2 3 4 4
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．
例6．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若
，则图中阴影部分的面积为（ ）A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出AC2+BC2=AB2,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵ ∴AC2+BC2=AB2=3
∴S = AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3．故选A．
阴影
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理成为解答本题的关键．
例7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国
家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代
数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种
常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）；【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三
角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分
别为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系并说明理由．
【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证
明见解析；（3）3；（4）
【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案；
（2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案；
（3）设面积为 的正方形边长为a，面积为 的正方形边长为b，面积为 的正方形边长为c；根据题意
得： ，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面
积，再根据阴影部分面积（ + ）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角
形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平
方；
（2）如图2大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为：∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和
∴ ∴ ，满足直角三角形勾股定理；
（3）设面积为 的正方形边长为a，面积为 的正方形边长为b，面积为 的正方形边长为c；
根据题意得： 如图4： ， ， ∴ ；
如图5： ， ， ∵ ∴
；
如图6： ， ， ∵ ∴
；
∴三个图形中面积关系满足 的有3个 故答案为：3；
（4）以a为直径的半圆面积为： 以b为直径的半圆面积为：
非阴影部分去除三角形后的面积为：
∵阴影部分面积（ + ）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定
理的性质，从而完成求解．
课后专项训练
1．（2023·山东八年级期末）赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正
方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（
）A．2，1 B．1， C．2， D．2，
【答案】A
【分析】设出直角三角形变成，列出正方形面积方程，即可求解．
【详解】解：设直角三角形短直角边为 ，长直角边 ，斜边长 ．
由题可列大正方形面积 小正方形面积 解得 ， ．故选A．
【点睛】本题考查勾股定理相关知识点，利用三角形边长表示正方形面积是关键．
2.（2023·湖北咸宁市·八年级期末）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证
明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．若弦
图中四个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据题意可得中间小正方形的边长为1，根据勾股定理即可得到中间小正方形的对角线长．
【详解】解：∵四个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
∴中间小正方形的边长为4-3=1，∴中间小正方形的对角线长为 ．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是根据“赵爽弦图”得到中间小正方形的边长．
3．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若 ，大正方形的面积为25，则 的长为
（ ）A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】首先根据已知条件可得，中间小正方形的边长为： ；接下来根据 ，大正方形的面积为
求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为： ，
每一个直角三角形的面积为： ，
从图形中可得，大正方形的面积是 个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
， ， ， ．故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边
的平方．
4．（2023·广东佛山·八年级校联考阶段练习）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可
以用其面积关系验证勾股定理，图2是由图1放入长方形内得到的， ， ， ，则
都在长方形 的边上，则长方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，得四边形 是长方形，证明全等直角三角形，然
后求出长方形的边长 和 ，再求长方形的面积，注意图形长方形中的和正方形，充分利用长方形和正
方形的性质解题．
【详解】解：延长 交 于O，延长 交 于N，则四边形 是长方形，如图所示：
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴矩形 的面积为 ，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线，得到全等三角形，是解题的关键．
5．（2023春·湖北宜昌·八年级统考期末）在如图所示的“勾股树”图案中，所有的三角形都是直角三角形，
四边形都是正方形，已知最大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为 ．
【答案】300
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知： ，
即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；正方形F，G的面积之和为100；正方形E的面积为100；
∴图中所有正方形的面积之和为 ，故答案为：300．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角
形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是 ，小正方形的边
长是 ，直角三角形的两直角边分别是 和 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】图中小正方形的边长是 ，图中直角三角形的面积是 ，根据面积的和差可得 ，再
根据完全平方公式即可求得答案．
【详解】解：由题意得 ， ，
， ， （负值已舍），故答案为： ．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2022春·北京西城·八年级校考期中）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦
图”，如图所示， 、 、 和 是四个全等的直角三角形，四边形 和四边形都是正方形，如果 ， ，那么四边形 的面积等于 ．
【答案】
【分析】由题意知 ，在 中，由勾股定理得， ，
从而得出答案．
【详解】解： 、 、 和 是四个全等的直角三角形， ，
在 中，由勾股定理得， ，
四边形 的面积为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，勾股定理等知识，利用勾股定理求出 的长是解题的关键．
8．（2023·宁夏·统考一模）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的
《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大
正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如
图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为 ．
【答案】3
【分析】根据题意得出a2+b2=17，图2中大正方形的面积为： ，然后利用完全平方公式的变形
求出 即可．【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=17，图2中大正方形的面积为： ，
∴ ∴ab=7，
∴ ，即图1中小正方形的面积是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
9．（2023春·福建厦门·八年级大同中学校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4，5，2，4，则最大正方形E的
面积是 ．
【答案】15
【分析】分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出 ， ， ，即最
大正方形E的面积为 ．
【详解】解：如图，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z
则由勾股定理得： ， ， ，
即最大正方形E的面积为： ．故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长
的平方是解答此题的关键．10．（2023·山东威海·八年级统考期中）图中所示的为“毕达哥拉斯树”的“生长”过程．如图①，一个
边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形
是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图②；如此继续“生长”下去，则第2000次“生长”后，这
棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
【答案】
【分析】运用归纳的方法，根据勾股定理，先求出前几次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，
然后找到变化的规律，猜测第n次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，从而获解．
【详解】解：生长之前面积设为 ，第n次“生长”后的面积为 ，
， ， ，……， ，
当 时， ；故答案为： ．
【点睛】此题考查图形的变化规律、勾股定理，正确理解题中图形的变化规律、准确用代数式表示规律是
解答此题的关键．
11．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角
三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树
而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则
第六代勾股树中正方形的个数为 ．【答案】127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
12．（2023·绵阳市·八年级期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩
上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变
成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，
形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长 次后，变成的图中所有正方形的面积用 表示，
则 ．
【答案】2n＋2
【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经
过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个
正方形的面积的（n+1）倍．【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等
于第一个正方形的面积的（n+1）倍，
∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S =2n+2，故答案为：2n+2．
n
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2．
13．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长
为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为 ，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面
积和为 ，则第三个正方形的面积是 ，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和
．
【答案】
【分析】观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的 倍，分别求得每个
正方形的边长，从而发现规律，再根据规律解题即可．
【详解】解：∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为 ，
第3个正方形的边长为 ，…，第n个正方形的边长为 ，
∴第n个正方形的面积为： ，
则第n个等腰直角三角形的面积为： ，故第3个正方形的面积 ；
第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和 ．故答案为： ， ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的 倍及正方形
的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为 是解题的关键
14．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定
理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.
图形的结构由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和
9，若每个直角三角形的三边长分别为a，b，c，求 的值．
【答案】
【分析】根据正方形的面积求出 ，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出 即可．
【详解】依题意： ，
∵小正方形和大正方形的面积分别是1和9，∴
∵4个直角三角形的面积和为 ，∴ ，
∴ ，∴ （负值舍去）∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的面积是
解此题的关键．
15．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直
角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为 ），也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则
．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某
种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同
一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？(3)在第（2）问中若 时， ， ， ， ，设 ，求
x的值．
【答案】(1)见解析(2)少0.05千米(3)
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的
面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设 ，则 ，根据勾股定理列方程，解得即可
得到结果；（3）在 和 中，由勾股定理得求出 ，列出方程求
解即可得到结果．
【详解】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，∴ ，即 ；
（2）∵ ，∴ ，在 中， ，
即 ，解得 ，即 ， （千米），
答：新路 比原路 少0.05千米；
（3）设 ，则 ，在 中， ，
在 中， ，∴ ，
即 ，解得： ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
16．（2022·湖南株洲·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周
髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽
弦图”．勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝
12，BC＝5，求EF的值．
【答案】 或
【分析】设 ，则 ，根据 和 两种情况计算即可；
【详解】设 ，则 ，
当 时，∴ ，∴ ；
当 时，∴ ，∴ ；综上所述 或 ；
【点睛】本题主要考查了勾股定理验证图形、正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．17．（2023·湖南湘潭·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕
达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1、图2中任选一种方法来证明该定理．(图
1、图2均满足证明勾股定理所需的条件)
（2）如图3、图4、图5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，
这三个图形中面积关系满足 有 个．（不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）0
【分析】（1）图1根据四个直角三角形的面积加中间正方形的面积等于大正方形面积，列出式子化简即可；
图2：大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，列出式子化简即可；
（2）对图3、图4、图5逐个求出 ，验证即可；
【详解】解：（1）如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形
的面积，得到下列式子 所以
如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，得到下列式
子
所以
（2）0个，设直角三角形直角边为 ，斜边为 ，则由勾股定理得：
图3，是以直角三角形的三边为边作正方形得到的，则 ， ，
则： ，但是 ，不符合；图4，是以直角三角形的三边为直径作半圆得到的，则 ， ，
则： ，但是 ，不符合；
图5，是以直角三角形的三边为边作等边三角形得到的，则 ， ，
则： ，但是 ，不符合； 故答案为0个．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，正方形、圆、等边三角形面积计算知识，熟练掌握勾股定理的性质是
解题的关键．
18．（2023春·山西大同·七年级统考开学考试）回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解
下面的材料，完成填空．
材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平
方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长
的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前 世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思
是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为 ，较长直角边的长度为 ，斜边的长度则为 （如图
），可根据勾股定理 计算得出．
材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他
根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相
邻的一个大正方形的面积（如图 ），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂
密的“毕达哥拉斯树”（如图 ）．
(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为 厘米和 厘米，根据勾股定理： （ ） ，
得到这个直角三角形的斜边的长度为（ ）厘米；(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是
厘米，则正方形 、 、 、 的面积和是（ ）平方厘米．
【答案】(1) ， ； (2) ．
【分析】（1）在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为 厘米和 厘米，根据勾股定理：
，得到这个直角三角形斜边即可求；
（2）根据材料二可得： 最大正方形面积．
【详解】（1） ， 故答案为： ， ；
（2）根据材料二可得： ， ， ，
∴ ， 故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，理解勾股定理的意义及“毕达哥拉斯树”的特征是解决本题的关键．
19．（2023·河南郑州·八年级期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个
全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，
验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定
理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4× ab＋(b－a)2，
∴4× ab＋(b－a)2＝c2. ∴______________ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你
帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）通过化简即可证得；（2）根据四个全等的直角三角形的面积＋阴影部分小正方形的面积＝
大正方形的面积，代入数值，即可证明；（3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．
【详解】解答：证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝ ，又可表示为S＝4× ，
∴4× = ．∴ ，∴ ，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为 ；
（2）证明：由图得，大正方形面积＝ ×ab×4＋ ＝（a＋b）×（a＋b），
整理得， ，即 ；
（3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，
∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，
∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，∴ ．
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
20．（2023·江苏南京·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将
Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的
“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图
形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的
长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）详见解析；（2）当且仅当a＝b时，等号成立；（3）当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最
大，最大面积是4．
【分析】1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四
个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）利用非负数的性质证明即可．
（3）利用（2）中的结论求得当x，y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积．
【详解】解：（1）因为边长为c的正方形面积为c2，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a– b）的小正方形组成的，
它的面积为4× ab＋(a– b)2＝a2＋b2， 所以c2＝a2＋b2．
（2）∵(a– b)2≥0，∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立．
（3）依题意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，长方形的面积为xy，
由（2）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy， ∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，
当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．
【点睛】本题考查了四边形综合题．需要学生掌握勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正
方形面积计算公式是解决问题的关键．
21．（2023秋·广东·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方
法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足 的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分
别为 ， ，直角三角形面积为 ，请写出 ， ， 的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形
的边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ， ，d，则
___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析(2)①3，② (3)
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别
求出面积的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，
即可得到答案；（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， ．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ． 或在直
角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）；②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆
证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即 ，化简，得 ．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即 ，化简，得 ．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即 ，化简，得 ．
（2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得 ，∴ ；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
， ， ，（等边三角形面积公式： ，a为边长）
∵ ， ，∴ ，∴ ；∴满足 的有3个，故答案为：3；
②结论 ；
， ；故答案为： ．
（3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为： ，
∴ ， ， ，∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是
掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是
中档题．
