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专题 05 一元一次不等式与一元一次不等式组
【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★
【考点2】不等式的性质★
【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★
版权所有
【考点4】解一元一次不等式组★★
【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★
【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★
【考点7】一元一次不等式组的应用★★★
知识点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
知识点2：不等式的基本性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果 ，那么
如果 ，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果 ，并且 ，那么 (或 )如果 ，并且 ，那么 (或 )
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果 ，并且 ，那么 (或 )
如果 ，并且 ，那么 (或 )
不等式的互逆性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
不等式的传递性：如果 ， ，那么 ．
知识点3：一元一次不等式（组）的概念
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次
不等式，例如， 是一个一元一次不等式．
（2）一元一次不等式组：由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式组成的不等式组。
知识点4：解一元一次不等式（组)
1.解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系
数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，
得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号
里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移
到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系
数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
2.一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
（3） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点）
不等式组 图示 解集（同大取大）
b a
（同小取小）
b a
（大小交叉取
中间）
b a
无解（大小分离解为
空）
b a
【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★
1−x
1．下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥ >1；其中是不等
5
式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若
用x米表示这些山岭的海拔，则x满足的条件为（ ）
A．x≥1500 B．x>1500 C．x≤1500 D．x<1500
3．若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为（ ）
(m+1)x|m)−5>0 x m
A．0 B．±1 C．−1 D．1
【考点2】不等式的性质★
1．若x>y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x+3−3 y D．−x+2<−y+2
1
2．如果0−b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．1−a<1+b
a b
C．− > D．−2+b<−2−a
3 3
4．观察下图，下面四个判断正确的是（ ）
A．小兰体重>小云体重 B．小云体重=小冬体重
C．小兰体重<小冬体重 D．以上都不对
【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★
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1．不等式x≤−2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
{x>−1)
2．在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
x≤3
A． B．
C． D．
【考点4】解一元一次不等式组★★
1．解下列不等式组：
(1){ 2x≤6−x① )；
3x+1>2(x−1)②
{3x+2>x−2
)
(2) x−3 5 ．
≤7− x
3 3{2x−5≤3
)
2．解一元一次不等式组 3x+10 ，并把解表示在数轴上．
>1
4
{ x−2<2x )
3．解不等式组： 2x+1 1−x ，把解集表示在数轴上．并求其整数解．
− ≤1
3 2
4．（1）解不等式2(x+1)−1>x，并把不等式的解在数轴上表示出来．
{5x−2>3(x+1)①
)
（2）解不等式组 ，并写出 的整数解．
1 3 x
x−1≤7− x②
2 2
5．解下列不等式组并在数轴上表示解集．
{2x+1>3(x−1)
)
(1){2x+3≤5)； (2) ．
x+1 x−1
3x−2≥4 − ≤1
2 3
【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★
{2x−6>0)
1．若不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
x≤mA．m≤3 B．m<3 C．m≥3 D．m>3
2．如果不等式组¿恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a≤1 C．01−2x
A．m≥1 B．m>1 C．m≤−1 D．m≤1
3．若关于 的不等式{4(x−1)>3x−1)的解集为 ，则 的取值范围是 ．
x x>3 a
5x>3x+2a
{2x+5>4x−15)
4．若关于x的不等式组 有4个整数解，则a的取值范围为 ．
x+3<2x+a
【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★
{x−y=3m−2)
1．关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y>0，则m的取值范围
x+3 y=−4
（ ）
A．m>2 B．m<2 C．m>6 D．m<6
{x−aa
A．a=1，b=−2 B．a=−2，b=1
C．a=2，b=3 D．a=3，b=2
{ 3x+2y=m )
3．关于x，y的方程组 ．
2x+y=m−2
(1)若5x+3 y=−6，求m的值；
(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求S=2x−3 y+m的最大值和最小值．
{ x+y=5−m )
4．已知关于x、y的方程组 ，若x的值为非负数，y的值为正数．
x−y=−1+3m
(1)求m的取值范围；
(2)已知n−m=2，且n<2，求m+n的取值范围．{ x+y=3m )
5．已知关于x，y的二元一次方程组
x−y=m+2
(1)若方程组的解是正数，求m的取值范围；
(2)若方程组的解满足2x−3 y不小于0，求m的取值范围．
【考点7】一元一次不等式组的应用★★★
1．4月23日是“世界读书日”，这是一个属于书籍与阅读的节日．为了激发学生的
阅读兴趣，营造浓厚的书香氛围，某校现决定购买《中华上下五千年》和《鲁滨逊漂
流记》两种书共60本．已知购买4本《中华上下五千年》和1本《鲁滨逊漂流记》共
需140元；购买2本《中华上下五千年》与购买3本《鲁滨逊漂流记》的价格相同．
(1)求这两种书的单价．
(2)若购买《中华上下五千年》的数量不少于28本，且购买这两种书的总价不超过
1500元，请问共有几种购买方案？
2．发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校
为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1
本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相
同．
(1)求这两种图书的单价；
(2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书
数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？
3．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能
机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比
B型机器人的单价每台高50%．
(1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机
器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场
应如何采购这批机器人？总费用是多少？
4．社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组6人，还剩余5人，若每组8人，则
有一组不满3人，问参加游戏的同学的组数和人数．
5．【问题背景】
2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新
的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．
随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递
企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如
下：
若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；
若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
素材1
A型机器人每台每天可分拣22万件；
素材2
B型机器人每台每天可分拣18万件；
问题解决 求A、B两种型号智能机器人的单价；
（1）
问题解决 现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．
（2） 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？6．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如
下信息：
购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一
信息
起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为
1
1.6m．
购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一
信息
次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6m的购
2
物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________m（用
含n的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？
请说明理由．一、单选题
1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．3>1 B．x+y>0 C．2x−1<5 D．x2+2x>−1
2．下列说法错误的是（ ）
a
A．若a>b，则a−3>b−3 B．若ab，则3−2a<3−2b
{ 2x<6 )
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x+5≥3
A． B．
C． D．
4．下面是两位同学在讨论一个不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能
是（ ）
A．3x≤−9 B．3x≤9 C．−3x≥−9 D．−3x>−9
5．在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答
错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过
预选赛？
{3x−m>0)
6．已知关于x的不等式组 有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
x−1≤5
A．6≤m<9 B．65”为一次程序操作．若输入x后程
序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）A．15
)
10．不等式组 1 的解集是 ．
x>2
3
11．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．如图，小明在距
离某站牌192m处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有4min到
达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为
m/s．
三、解答题
12．解不等式（组）：
x−3
(1)解不等式 ≤1−2x；
2
{ 3x−1≤8 )
(2)解不等式组 4x−1 ，并把它的解集表示在数轴上．
>x−1
3
13．2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的
学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规
格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3
个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元．
(1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？
(2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格
的书架最多可以购买多少个？
14．为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同
型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹
克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
(1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
(2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克
球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．
求满足件的采购方案有哪些？
15．定义一种新运算：x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12．
(1)求m、n的值；
(2)若关于 的不等式组{ x⊗(x−1)≥0 )有解，求实数 的取值范围；
x p
(x−p)⊗2x<0
1
(3)若(ax−2b)⊗(3a+bx)≥3a+2b的解集为x≤ ，求(ax+b)⊗(3a−bx)>2a+b的
4
解集．
