文档内容
押北京卷 16 题
三角函数与解三角形
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
解三角形 2022·北京卷T16
三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与
预测 2024 年新
差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变
高考命题方向将
换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；正
三角函数与开放题 2023·北京卷T17 继续以三角函数
弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考
或解三角形问题
内容，主要考查边、角、面积、周长等的计
展开命题．
算.
解三角形与开放题 2021·北京卷T16
1.（2022·北京卷T16）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【解】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
2.（2023·北京卷T17）设函数 ．(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【解】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能
使函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
3.（2021·北京卷T16）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
边上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【解】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
1.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助
角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.
2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增
区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间).
3.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
4.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
5.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：
6.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝absin C形式的面积公式.
7.对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用
以求解.
8.与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝absin C＝bcsin A＝acsin
B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.
1．在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，得到 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，得到 .
（2）由（1）知 ，所以 ，又 ，得到 ①，
又 ，得到 代入①式，得到 ，
所以 的面积为 .
2．在 中， ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 的
面积．
条件①： 为锐角；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
【解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，由 得 ， .
（2）选条件①： 为锐角；
由正弦定理 即 知 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 存在且唯一确定.
，
从而 .
选条件②： ，由 得 ，从而 可能是锐角，也可能是钝角，则 不唯一，故不
能选②；
选条件③： ，
由 ，得 ，所以 ， ，
由正弦定理 即 得 ，
，
.
3．已知函数 的最小正周期为 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定 的解析式，并求函数的单调递增区间.
条件①： 的最大值为2；
条件②： 的图象关于点 中心对称；
条件③： 的图象经过点 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【解】（1）因为 ， ，则 ，且 ，则 ；
（2）因为函数 的最小正周期为 ，则 ，
若选①②，则 ，且 ，
且 ，则 ，则 ，则 ，
所以 ；
若选择①③，则 ，且 ，则 ，
，则 ，则 ，则 ，
所以 ；
若选择②③，由②可知， ，
由③可知， ，则 ，
所以 .
，
，令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间是 ， ，
4．在 中， ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积．
条件①： 边上中线的长为 ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【解】（1）由 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）选条件①： 边上中线的长为 ：
设 边中点为 ，连接 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
所以 的面积为 ，选条件③： ：
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， 的面积为 ．
当 时， 的面积为 ．
不可选条件②，理由如下：
若 ，故 为钝角，则 ，
则 ， ，即 ，
其与 为钝角矛盾，故不存在这样的 .
5．在锐角 中，设角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 ， ，点 在边 上，___________，求 的长.
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完
成解答.
【解】（1）在 中，由正弦定理 及 ，得 ，
由 为锐角三角形，得 ，即 ，则 ，而 ，
所以 .（2）选择条件①， ，即点 是边 的中点，则 ，
由（1）知 ，所以 .
选择条件②， ，由（1）知 ，则 ，
在 中，由 ，得 ，
即 ，所以 .
选择条件③， ，在 中，由余弦定理，
得 ，
而 ，又 ，则 ，
所以 .
6．在 中，角 所对边分别为 ，已知：
(1)求 ；
(2)已知 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，并求 的面积.
① ；
② ；
③ .
【解】（1）因为
所以 ，即 ，
所以 .
（2）若选① ，因为 ， ，
所以由余弦定理有 ，整理得 ，解得 ，此时 存在但不唯一，不符题意；
若选② ，则 ，
所以此时 ，
由余弦定理有 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），此时 存在且唯一，
且 ；
若选③ ，则 ，
又 ，且 ，
所以整理得 ，解得 或 （舍去），
此时 存在且唯一，
且 .
7．已知函数 ，其中 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知条件，使 存在，并完成下列两个问题．
(1)求 的值；
(2)若 ，函数 在区间 上最小值为 ，求实数 的取值范围．
条件①：对任意的 ，都有 成立；
条件②： ；
条件③： ．
【解】（1）由 ，若选条件①：可知当 时， ，因为 ，即 ，且对任意 ，都有
恒成立，故选条件①时 存在，故可选①；
若选条件②： ，解得 或 ， ，因为 ，
所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：
，
所以 ，因为 ，可得 ，故条件③能使 成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时 .
（2）由（1）知 ，当 时， ，
且 的最小值为 ，所以可得 ，解得 ，又 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
8．设函数 ，已知 ， ， 在区间 上单
调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在．
(1)求 的值；
(2)当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点， 求 的取值范围．
条件①： 为函数 的图象的一个对称中心；
条件②：直线 为函数 的图象的一条对称轴；条件③：函数 的图象可由 的图象平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解】（1）由 ，知 ，从而 .
而 在区间 上单调， 的周期为 ，
这意味着 ，即 ，故 .
注意到 ，从而有：
， ，
所以 ， ，即 ，而 ，故 .
从而 ，故 .
若选择条件①，则 为函数 的图象的一个对称中心，从而这等价于 ，
所以 ，从而 ，故 ，
所以 ，由 知 ，故 ，故 ，
；
若选择条件②，则直线 为函数 的图象的一条对称轴，从而 ，
而 在区间 上单调， ，故 .
从而 ，所以 ，故 ，
所以 ，由 知 ，故 ，故 ，；
若选择条件③，函数 与 的振幅不一致，无法通过平移得到，
故不能选择；
（2）条件等价于，关于 的方程 即 在 上恰有一个解.
记 ，则 ，从而 和 一一对应，
这就表明条件等价于关于 的方程 在 上恰有一个解.
设 ，则在 上递增，在 上递减， ， ， .
此时，若 ，则 ，方程 无解，不满足条件；
若 ，则当 时， ；
当 时， .
故方程 在 上无解，不满足条件；
若 ，由 ， ， ，
知方程 在 和 上各至少有一个根，
从而在 上至少有两个根，不满足条件；
若 ，则当 时， .
故方程 在 上无解；
而 在 上单调，且 ， ，所以方程 在 上恰有一个根.
这就表明方程 在 上恰有一个根，满足条件；
若 ，则 ，当且仅当 时等号成立.
而 ，故当且仅当 时等号成立，
故方程 在 上恰有一个根 ，满足条件.
综上， 的取值范围是 .
9．在① ，
② ，
③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问題：在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选择条件______，
(1)求角A；
(2)若O是 内一点， ， ， ， ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；选择第②个条件解答不给分.
【解】（1）若选① ，
则 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
若选② ，则 ，
所以 ，即 矛盾，故选②不符合题意；若选③ ，
则 ，
又因为 ，所以 ，从而 ；
综上所述，选②不符合题意，无论选①还是选③，都有 ；
（2）
， ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
，
在 中， ，
，
，整理得 ，
.
10．如图所示，在 中， ， ，D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），且
．再从条件①、条件②、条件③条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
中选择两个使得三角形存在且解唯一，并求：
(1) 的值；
(2)BE的长度；
(3)四边形BCED的面积．
【解】（1）选条件①③， ， ，在 中， ， ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，而 ，则 ，
于是 存在且唯一，由正弦定理得 .
选条件②③， ， ，在 中， ， ，
则 ，由正弦定理得 ，
，
由正弦定理得 ，于是 存在且唯一，
因此 .
选条件①②， ， ，在 中， ， ，
由余弦定理得， ，
此时 ， ，符合题意，即 存在且唯一，由D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），知点 位置不确定，保证 的点 不能确
定，
因此 不能确定，即不符合题意.
（2）由（1）知， ， ， ，在 中， ，
由余弦定理得 .
（3）由（1）知 ， ，而 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
，所以四边形 的面积为 .
