文档内容
专题06 含参不等式（组）（解析版）
第一部分 知识梳理
知识点一 含参不等式
含参不等式的常见题型
（1）已知不等式的解集情况，求参数的取值或取值范围；
（2）整数解问题
模块二 含参不等式组
1．不等式组解集口诀
设b＜a 解集 在数轴上表示的示意图 口诀
同大取大
b a
同小取小
b a
大小小大中间找
b a
无解 大大小小无解了
b a
2．含参不等式组的常见题型
（1）已知不等式组的解集情况，求参数的取值或取值范围；
（2）整数解问题
模块三 含参不等式（组）和不等式（组）综合
主要题型：一个不等式（组）的解集都在另一个不等式（组）解集里
模块四 含参不等式（组）和方程（组）综合
主要题型：题型较多，具体请看题组练习。
第二部分 题组练习
类型一 已知不等式的解集情况，求参数的取值或取值范围
1．（2023•东莞市二模）关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣2
【思路引领】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．
【解答】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，∴m+2＜0，
∴m＜﹣2，
故选：D．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出
m+2＜0．
2．（2024•茂南区校级一模）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【思路引领】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
【总结提升】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．（2024•瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（
）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2
【思路引领】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有
﹣1，﹣2得出答案即可．
【解答】解：x﹣m≥0，
x≥m，
∵关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，
∴m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2．
故选：B．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能根据不等式的解集求出 m
的范围是解此题的关键．
4．（2024•河北一模）若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|＜a有解，则实数a的最小值是 4 ．
【思路引领】根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案．
【解答】解：①当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣3＜0，
11−a
∴2|x﹣1|+3|x﹣3|＝﹣2（x﹣1）﹣3（x﹣3）＝﹣5x+11＜a，解得x＞ ，
5
∵不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|＜a有解，11−a
∴ ＜1，解得a＞6；
5
②当1≤x≤3时，x﹣1≥0，x﹣3≤0，
∴2|x﹣1|+3|x﹣3|＝2（x﹣1）﹣3（x﹣3）＝﹣x+7＜a，解得x＞7﹣a，
∵不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|＜a有解，
∴7﹣a≤3，解得a≥4；
③当x＞3时，x﹣1＞0，x﹣3＞0，
11+a
∴2|x﹣1|+3|x﹣3|＝2（x﹣1）+3（x﹣3）＝5x﹣11＜a，解得x＜ ，
5
∵不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|＜a有解，
11+a
∴ ＞3，解得a＞4；
5
综上所述，若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|＜a有解，则a≥4，即实数a的最小值是4，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查绝对值的代数意义，熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
类型二 已知不等式组的解集情况，最参数的取值或取值范围
{a−2＜x
)
5．（2024•会泽县校级模拟）若关于x的不等式组 x+1 无解，则a的取值范围是（ ）
≤1
2
A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3
【思路引领】根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案．
{a−2＜x①
)
【解答】解：解关于x的不等式组 x+1 ，
≤1②
2
由①得：x＞a﹣2，
由②得：x≤1，
∵不等式无解，
∴a﹣2≥1，
∴a≥3．
故选：A．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解不等式组解集的取法．
{2(x+1)＜3x−6)
6．（2023秋•齐河县期末）不等式组 无解，则m的取值范围是 m ≤ 2 ．
x＜4m【思路引领】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
{ x＞8 )
【解答】解：不等式组整理得： ，
x＜4m
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
【总结提升】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
{x−a＞0)
7．（2024•宿豫区一模）若不等式组 有解，则a的取值范围是 a ＜ 2 ．
2x−3≤1
【思路引领】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案．
【解答】解：由x﹣a＞0得：x＞a，
由2x﹣3≤1得：x≤2，
∵不等式组有解，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
{ x+a≥0 )
8．（2024•肇源县开学）已知关于x的不等式组 有解，实数a的取值范围为 a ＞﹣ 1
1−2x＞x−2
．
【思路引领】先求出两个不等式的解集，再由不等式组有解得出a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x+a≥0，得：x≥﹣a，
解不等式1﹣2x＞x﹣2，得：x＜1，
∵不等式组有解，
∴﹣a＜1，
即a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
类型三 不等式组的整数解问题{ x＜5 )
9．（2022秋•德清县期末）若实数m满足﹣1＜m≤2，则关于x的不等式组 的所有整数解的和
x−m≥0
是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
【思路引领】求出不等式组的解集，结合﹣1＜m≤2求出整数解，然后求和即可．
{ x＜5 )
【解答】解：∵ ，
x−m≥0
{x＜5)
∴ ，
x≥m
∴m≤x＜5，
∵﹣1＜m≤2，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴.0+1+2+3+4＝10或1+2+3+4＝10或2+3+4＝9，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关
键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方
法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
{x−2
＜
x−1
)
10．（2023春•梁园区期末）若关于x的不等式组 4 3 恰有2个整数解，且关于x、y的方程组
3x−m≤3−x
{mx+ y=4)
也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
3x−y=0
A．﹣18 B．﹣6 C．﹣3 D．0
【思路引领】先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出m
的取值范围，根据m为整数得出m为﹣3，﹣2，﹣1，0，求出方程组的解，再根据方程组有整数解得
出答案即可．
{x−2
＜
x−1
)
{x＞−2
)
【解答】解：不等式组 4 3 整理得 m+3 ，
x≤
3x−m≤3−x 4
{x−2
＜
x−1
)
∵关于x的不等式组 4 3 恰有2个整数解，
3x−m≤3−x
m+3
∴0≤ ＜1，
4解得：﹣3≤m＜1，
∵m为整数，
∴m为﹣3，﹣2，﹣1，0，
4
{x= )
{mx+ y=4) m+3
解方程组 得： ，
3x−y=0 12
y=
m+3
∵方程组有整数解，
∴m只能为﹣2或﹣1，整数m的和为﹣3，
故选：C．
【总结提升】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识
点，能求出m的范围是解此题的关键．
11．（2023春•黔江区期末）若关于 x的方程4（2﹣x）+x＝ax的解为正整数，且关于 x的不等式组
{x−1
+2＞2x)
6 有解，则满足条件的所有整数a的值之和是（ ）
a−x≤0
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3
【思路引领】根据不等式组有解，求出a的取值范围，再根据4（2﹣x）+x＝ax的解为正整数，求出符
合条件的a值，相加即可．
【解答】解：4（2﹣x）+x＝ax，
去括号：8﹣4x+x＝ax，
移项：（a+3）x＝8，
8
解得：x= ，
a+3
∵关于x的方程4（2﹣x）+x＝ax的解为正整数，
∴a+3＝1或a+3＝2或a+3＝4或a+3＝8，
解得：a＝﹣2或a＝﹣1或a＝1或a＝5，
{x−1
+2＞2x①)
6 ，
a−x≤0②
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥a，∵不等式组有解，
∴a＜1，
∴a＝﹣1或a＝﹣2，
∴和为﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组，根据条件得出a的取值范围是解题
关键．
类型四 不等式组与不等式（组）综合
{2x+1
−
5x−3
＜1⋯①)
12．（2023•越秀区校级自主招生）不等式组 3 6 的解集是关于x的一元一次不等
−5≤2x−1≤5⋯②
式ax＞﹣1解集的一部分，则a的取值范围是（ ）
1
A．0＜a≤1 B．− ＜a＜0
3
1 1
C．− ＜a≤1 D．− ＜a≤1且a≠0．
3 3
【思路引领】先求出不等式组的解集，分为三种情况：a＞0、a＜0，a＝0，求出不等式ax＞﹣1的解集，
再求出答案即可．
{2x+1
−
5x−3
＜1 ①)
【解答】解： 3 6 ，
−5≤2x−1≤5 ②
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式组②，得﹣2≤x≤3，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
1
分为三种情况：①当a＜0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＜− ，
a
∵不等式组是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，
1
∴− ＞3，
a
1
∴a＞− ，
3
1
②当a＞0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＞− ，
a
∵不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，1
∴− ≤−1，
a
∴a≤1，
③当a＝0时，ax＞﹣1变成0＞﹣1，此时不是一元一次不等式，舍去，
1
即a的取值范围是− ＜a≤1且a≠0，
3
故选：D．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，能求出符合的所以情况是解此题的关键．
{4x＞3x+4 ①
) x
13．（2023春•佛山月考）不等式组 2x−3 的解集是关于x的不等式 ＞m﹣1解集的一部分，
≤3 ② 2
3
则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≥3 C．m＜3 D．m＞3
【思路引领】先求出不等式组的解集，再解出一元一次不等式的解集，然后列不等式求解可得答案．
{4x＞3x+4 ①
)
【解答】解： 2x−3 ，
≤3 ②
3
解不等式①得，x＞4，
解不等式②得，x≤6，
所以不等式组的解集为4＜x≤6；
x
解关于x的不等式 ＞m﹣1，得x＞2m﹣2，
2
{4x＞3x+4 ①
) x
因为不等式组 2x−3 的解集是关于x的不等式 ＞m﹣1解集的一部分，
≤3 ② 2
3
所以2m﹣2≤4，
解得m≤3．
故选：A．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解
集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．（2021春•天河区校级期中）已知不等式（m﹣1）x≥（m﹣1）（m﹣2）的解集是不等式|x﹣5|﹣|2x﹣
3|＜1的解集的一部分，试求m的取值范围．7
【思路引领】先根据不等式|x﹣5|﹣|2x﹣3|＜1表示的几何意义，得出x＜﹣1或x＞ ，再分两种情况进
3
行讨论：当m﹣1＞0，即m＞1时，x≥m﹣2；当m﹣1＜0，即m＜1时，x≤m﹣2，分别求得m的取值
范围即可．
【解答】解：|x﹣5|﹣|2x﹣3|＜1，
①当x＜1.5时，不等式|x﹣5|﹣|2x﹣3|＜1化简得﹣x+5+2x﹣3＜1，解得x＜﹣1；
7
②当1.5≤x≤5时，不等式|x﹣5|﹣|2x﹣3|＜1化简得﹣x+5﹣2x+3＜1，解得 ＜x≤5；
3
③当x＞5时，不等式|x﹣5|﹣|2x﹣3|＜1化简得x﹣5﹣2x+3＜1，解得x＞5；
7
∴x＜﹣1或x＞ ，
3
当m﹣1＞0，即m＞1时，x≥m﹣2，
7
∴m﹣2＞ ，
3
13
解得m＞ （符合题意）；
3
当m﹣1＜0，即m＜1时，x≤m﹣2，
∴m﹣2＜﹣1，
解得m＜1（符合题意）．
13
综上所述，m的取值范围为m＜1或m＞ ．
3
【总结提升】本题主要考查了解一元一次不等式，解决问题的关键是利用绝对值的几何意义进行分类讨
论．解题时注意：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
类型五 不等式（组）与方程（组）综合
{x+2y=2)
15．（2017春•唐河县期中）已知关于x、y的方程组
x−2y=m
（1）求这个方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不大于1．
【思路引领】（1）①+②即可求出x，①﹣②即可求出y；
（2）根据方程组的解和已知得出不等式组，求出不等式组的解即可．
{x+2y=2①)
【解答】解：（1）
x−2y=m②
①+②得：2x＝2+m，1
解得：x＝1+ m，
2
①﹣②得：4y＝2﹣m，
1 1
解得：y= − m，
2 4
1
{x=1+ m )
2
所以原方程组的解为： ；
1 1
y= − m
2 4
（2）∵这个方程组的解中，x大于1，y不大于1，
1
{1+ m＞1)
2
∴ ，
1 1
− m≤1
2 4
解得：m＞0，
即当m＞0时，这个方程组的解中，x大于1，y不大于1．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组的应用，能得出关于 m的不等式组
是解此题的关键．
{ 3x−4 y=m )
16．（2020春•桦南县期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解都大于1，试求m的
x+2y=2m+3
取值范围．
【思路引领】把m看作已知数表示出方程组的解，根据方程组的解都大于1，求出m的范围即可．
{ 3x−4 y=m① )
【解答】解： ，
x+2y=2m+3②
①+②×2，得
5x＝5m+6，
解得，x＝m+1.2，
把x＝m+1.2代入②，得
1
y= m+0.9，
2
{ 3x−4 y=m )
∵关于x、y的二元一次方程组 的解都大于1，
x+2y=2m+3{
m+1.2＞1
)
∴ 1 ，
m+0.9＞1
2
解得，m＞0.2，
即m的取值范围是m＞0.2．
【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两
方程都成立的未知数的值．
{2x+ y=3m−2)
17．（2023春•鲤城区校级期中）已知关于x，y的方程组 的解均是负数．
x−2y=4m−1
（1）求m的取值范围；
（2）若S＝x+8y，求S的取值范围．
{2m−1＜0)
【思路引领】（1）将m看作常数，解方程组，再根据解均是负数列出 ，解不等式组即可
−m＜0
求解；
（2）根据①×2﹣②×3可得S＝x+8y＝﹣6m﹣1，再根据（1）的结果即可求解．
{x=2m−1)
【解答】解：（1）解方程组得 ，
y=−m
∵方程组的解均为负数，
{2m−1＜0)
∴ ，
−m＜0
1
解得0＜m＜ ；
2
{2x+ y=3m−2①)
（2）∵ ，
x−2y=4m−1②
∴①×2﹣②×3，得：S＝x+8y＝﹣6m﹣1，
1
由（1），得：0＜m＜ ，
2
∴﹣3＜﹣6m＜0，
∴﹣4＜﹣6m﹣1＜﹣1，
即：∴﹣4＜S＜﹣1．
【总结提升】本题主要考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的知识，掌握二元一次方程组以
及一元一次不等式组的求解方法，是解答本题的关键．
{x+ y=−7−a)
18．（2023春•惠东县期末）已知方程组 的解x为非正数，y为负数．
x−y=1+3a（1）求a的取值范围：
（2）化简|a﹣3|+|a+3|；
（3）在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？
【思路引领】（1）利用加减消元法求出x＝﹣3+a，y＝﹣4﹣2a，根据x为非正数，y为负数列出关于
a、b的不等式组，解之可得a的范围；
（2）利用绝对值的性质，结合a的范围求解可得；
1 1
（3）根据不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1得出a＜− ，结合﹣2＜a≤3知−2＜a＜− ，继而可得
2 2
答案．
{x+ y=−7−a)
【解答】解：（1）解方程组
x−y=1+3a
{ x=−3+a )
得 ，
y=−4−2a
又x为非正数，y为负数，
{ −3+a≤0 )
∴ ，
−4−2a＜0
解不等式组．得﹣2＜a≤3．
（2）∵﹣2＜a≤3．
∴|a﹣3|+|a+3|＝3﹣a+a+3＝6．
（3）不等式2ax+x＞2a+1可化为（2a+1）x＞2a+1．
∵不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1，
可知2a+1＜0，
1
∴a＜− ，
2
又﹣2＜a≤3，
1
∴−2＜a＜− ，
2
∵a为整数．
∴a＝﹣1．
【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（2023春•桐柏县期中）若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，我们则称该一元
一次方程为该不等式组的“子方程”，这个解在数轴上对应的点称为该不等式的子点．
2 x−1 2x−3
（1）在方程① x+1=0；②x﹣（3x+1）＝﹣5；③3x﹣1＝0；不等式 − ＜1的子方程
3 3 2
有 ②③ （填序号）．
{x＜2x−m)
（2）如图，M、N都是关于x的不等式组 的子点，求m的取值范围．
x−5≤m
（3）不等式4x﹣m＜0的所有子方程的解中有且只有2个正整数，求m的取值范围．
【思路引领】（1）求出三个方程的解，并解不等式求出其解集，根据新定义了的答案；
{ m＜1 )
（2）解不等式组得出m＜x≤m+5，再根据“子点”的概念得出 ，解之即可；
m+5≥2
m m
（3）解不等式得出x＜ ，再根据子方程的概念可得3＜ ≤4，解之即可．
4 4
2 3
【解答】解：（1）方程① x+1＝0的解为x=− ，方程②x﹣（3x+1）＝﹣5的解为x＝2，方程
3 2
1
③3x﹣1＝0的解为x= ，
3
x−1 2x−3 1
解不等式 − ＜1得x＞ ，
3 2 4
x−1 2x−3
∴不等式 − ＜1的子方程有②③，
3 2
故答案为：②③；
（2）解不等式组，得m＜x≤m+5，
{ m＜1 )
由题意可得 ，
m+5≥2
解得﹣3≤m＜1，
∴m的取值范围为﹣3≤m＜1；
m
（3）解不等式，得x＜ ，
4
m
由题意可得2＜ ≤3，
4
解得：8＜m≤12，∴m的取值范围为8＜m≤12．
【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第三部分 专题提优训练
{3x−2＜5x−6，)
1．（2024•巧家县校级模拟）若关于x的不等式组 的解集是x＞2，则a的取值范围
x＞a
是（ ）
A．a＞2 B．a≥2 C．a⩽2 D．a＜2
【思路引领】求出第一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式3x﹣2＜5x﹣6得：x＞2，
由x＞a且不等式组的解集为x＞2得：a≤2，
故选：C．
【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2023春•华安县期中）若关于x的不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，则a满足（ ）
A．a＜0 B．a＞2 C．a＜2 D．a≠2
【思路引领】根据两边同时除以a﹣2，不等号的方向改变，可得a﹣2＜0．
【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，
∴a﹣2＜0，
解得：a＜2．
故选：C．
【总结提升】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．
同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负
数．
{x+8＜4x−1)
3．（2023春•乐业县期中）如果不等式组 的解集是x＞3，那么m的取值范围是（ ）
x＞m
A．m≥4 B．m≤3 C．m＝3 D．m＜3
【思路引领】首先解不等式①，再根据不等式组的解集确定m的值．
{x+8＜4x−1①)
【解答】解： ，
x＞m②
解不等式①得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握确定不等式组解集的规律．
{x＞−2) {x＞a)
4．（2014春•长沙校级期中）已知不等式组 的解集是不等式组 的解集的一部分，则a的
x＜1 x＜2
值不可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
{x＞−2) {x＞a)
【思路引领】解出不等式组的解集，根据不等式组 的解集是不等式组 的解集的一部
x＜1 x＜2
分，可以求出实数a的取值范围．
{x＞−2) {x＞a)
【解答】解：因为不等式组 的解集是不等式组 的解集的一部分，
x＜1 x＜2
可得：a≤﹣2．
故选：A．
【总结提升】主要考查了解一元一次不等式，解题关键是根据不等式的基本性质解答．
{x＜m)
5．（2023春•嘉祥县期末）如果关于x的不等式组 的整数解只有2个，那么m的取值范围是（
x≥−1
）
A．0＜m＜1 B．0≤m＜1 C．0＜m≤1 D．﹣2＜m≤﹣1
【思路引领】先根据不等式组解集的规律求出不等式的解集，根据不等式组的整数解只有2个即可确定
m的取值范围．
{x＜m)
【解答】解：∵不等式组 的整数解只有2个，
x≥−1
即﹣1≤x＜m的整数解只有2个，
∴x的值为﹣1，0，
∴0＜m≤1．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或
不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求
得不等式组的整数解．{2x−a＜1 )
6．（2023春•新都区期末）若关于x的不等式组 的整数解只有2，3，4，且a，b均为整数，
2b＜3x−2
则a+b的最大值为 1 0 ．
【思路引领】先把两个不等式解出来，然后表示不等式组的解集，根据整数解只有2，3，4可判断a，b
的值，即可求解．
{2x−a＜1①)
【解答】解： ，
2b＜3x−2②
a+1
解不等式①得：x＜ ，
2
2b+2
解不等式②得：x＞ ，
3
2b+2 a+1
∴不等式组的解集为： ＜x＜ ，
3 2
∵整数解只有2，3，4，
a+1 2b+2
∴4＜ ≤5，1≤ ＜2，
2 3
1
解得：7＜a≤9， ≤b＜2，
2
∵a，b均为整数，
∴当a＝9，b＝1时，a+b最大，
最大值为：9+1＝10．
故答案为：10．
【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解只有2，3，4找到不等关系是解题关
键．
{ x−a≥0 )
7．（2023春•郧西县期末）已知关于x的不等式组 x+1 3 2x−5 的整数解只有四个，则实数a的
+ ＞
6 4 4
取值范围是 2 ＜ a ≤ 3 ．
【思路引领】先求得不等式组的解集，然后依据整数解只有四个可求得a的取值范围．
{ x−a≥0① )
【解答】解： x+1 3 2x−5
+ ＞ ②
6 4 4
解不等式①得：x≥a，13
解不等式②得：x＜ ．
2
∵不等式组的整数解只有四个，
∴2＜a≤3．
故答案为：2＜a≤3．
【总结提升】本题主要考查的是解一元一次不等式组，依据不等式组的解集确定出a的值是解题的关键．
{x＞m−1)
8．（2023秋•安乡县期末）关于x的不等式组 的整数解只有0和1，则m＝ 0 ．
x＜m+2
【思路引领】根据不等式组的整数解仅为0，1，即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
{x＞m−1)
【解答】解：∵关于x的不等式组 的整数解只有0和1，
x＜m+2
{−1≤m−1＜0)
∴ ，
1＜m+2≤2
解得m＝0，
故答案为：0．
【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的整数解，能够理解题意得出关于 m的不等式组是解题的
关键．
{ 3x+2y=4 )
9．（2024•南岗区校级开学）已知关于x，y的方程组 的解x+y＞0，则m的取值范围是多
2x+ y=m−1
少？
【思路引领】先解方程组求出x，y的值，根据x+y＞0列出关于m的不等式，求解即可．
{ 3x+2y=4① )
【解答】解： ，
2x+ y=m−1②
②×2﹣①，得x＝2m﹣6，
把x＝2m﹣6代入②得4m﹣12+y＝m﹣1，
∴y＝﹣3m+11，
∴x+y＝5﹣m，
∵x+y＞0，
∴5﹣m＞0
∴m＜5．
【总结提升】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，能得出关于 m的不等式是解此题的
关键．
10．（2023秋•苏州期末）已知关于x的方程2x﹣a﹣5＝0．（1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围；
x+6 2x+1
（2）若该方程的解是不等式的1− ＜ 的负整数解，求a的值．
2 3
a+5 a+5
【思路引领】（1）先解一元一次方程可得x= ，然后根据题意可得： ≤2，从而进行计算即可
2 2
解答；
（2）先解一元一次不等式可得x＞﹣2，从而可得该不等式的负整数解为：﹣1，然后根据题意可得
a+5
=−1，从而进行计算即可解答，
2
【解答】解：（1）2x﹣a﹣5＝0，
2x＝a+5，
a+5
x= ，
2
∵该方程的解满足x≤2，
a+5
∴ ≤2，
2
∴a+5≤4，
∴a≤﹣1；
x+6 2x+1
（2）1− ＜ ，
2 3
6﹣3（x+6）＜2（2x+1），
6﹣3x﹣18＜4x+2，
﹣3x﹣4x＜2+18﹣6，
﹣7x＜14，
x＞﹣2，
∴该不等式的负整数解为：﹣1，
a+5
由题意得： =−1，
2
a+5＝﹣2，
a＝﹣7．
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，不等式的
性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．{2x+ y=k)
11．（2022秋•东阳市期末）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
x−2y=3
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
【思路引领】（1）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；
（2）解方程组用含有k的代数式表示出x和y，结合1＜k≤12即可求出k的值，进而求得方程组的解．
{2x+ y=k①)
【解答】解：（1） ，
x−2y=3②
①+②得，3x﹣y＝k+3，
∵方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
{2x+ y=k①)
（2） ，
x−2y=3②
①×2+②得5x＝2k+3，
①﹣②×2得5y＝k﹣6，
2k+3 k−6
解得x= ，y=
5 5
∵方程组的解x、y均为正整数，且1＜k≤12，
∴k＝11，
{x=5)
∴方程组的解为 ．
y=1
【总结提升】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，二元一次方程的解的应用，能灵活运
用知识点求出k的值是解此题的关键．
12．（2023春•海州区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元
{x−1＞1)
一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组 的
x−2＜3
{x−1＞1)
解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组 的“关
x−2＜3
联方程”．
x−1 {2x−2＞x−1)
（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③ +1=x中，不等式组 的
2 3(x−2)−x≤4“关联方程”是 ①② ；（填序号）
3x+1
{ ≥x )
2
（2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围；
x−1 2x+1
≥ −2
2 3
x+7 {
x+2m
＞m )
（3）若关于x的方程 −3m=0是关于x的不等式组 2 的“关联方程”，且此时不等
2
x−m≤2m+1
式组有4个整数解，试求m的取值范围．
【思路引领】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
k+6
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x= ，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的
2
不等式组，进行计算即可；
4
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出1≤m＜ ，然后求出方程的解为x＝
3
7 8 7 4
6m﹣7，根据“关联方程”的定义得出 ＜m≤ ，即可得出 ＜m＜ ．
6 3 6 3
【解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，
解得：x＝3，
②4x﹣7＝0，
7
解得：x= ，
4
x−1
③ +1=x，
2
解得：x＝1，
{2x−2＞x−1①)
，
3(x−2)−x≤4②
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤5，
{2x−2＞x−1)
∴不等式组 的“关联方程”是：①②，
3(x−2)−x≤4
故答案为：①②；3x+1
{ ≥x① )
2
（2） ，
x−1 2x+1
≥ −2②
2 3
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x≤7，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤7，
2x﹣k＝6，
k+6
解得：x= ，
2
3x+1
{ ≥x )
2
∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组 的“关联方程”，
x−1 2x+1
≥ −2
2 3
k+6
∴﹣1≤ ≤7，
2
解得：﹣8≤k≤8；
x+7
（3）关于x的方程 −3m=0，
2
解得：x＝6m﹣7，
{
x+2m
＞m① )
2 ，
x−m≤2m+1②
解不等式①得：x＞0，
解不等式②得：x≤3m+1，
∴原不等式组的解集为：0＜x≤3m+1，
∵不等式组有4个整数解，
∴整数的值为1，2，3，4，
∴4≤3m+1＜5，
4
∴1≤m＜ ，
3
x+7 {
x+2m
＞m )
∵关于x的方程 −3m=0是关于x的不等式组 2 的“关联方程”，
2
x−m≤2m+1{ 6m−7＞0 )
∴ ，
6m−7≤3m+1
7 8
解得： ＜m≤ ．
6 3
7 4
∴m的取值范围是 ＜m＜ ．
6 3
【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方
程”是解题的关键．
