文档内容
专题 07 平行四边形易错必刷题型专训（81 题 27 个考点）
【易错必刷一 利用平行四边形的性质求解】
1．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图， 的对角线 相交于点 ．已知
的周长比 的周长多 ，则 的长为（ ） ．
A．3 B．5 C．7 D．9
2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，平行四边形 中，P是四边形内任意一点， ，
， ， 的面积分别为 ， ， ， ，则 (填“>”、“<”、“=”)
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形 是平行四边形．
(1)当 时，求其余各内角的度数；
(2)当 ，四边形 的周长等于22时，求其余三边的长．
【易错必刷二 利用平行四边形的性质证明】
4．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）（1）如图，在 中，E、F是对角线 上的两点，并且
，求证： ．（2）如图，已知 和 的顶点A、E、F、C在同一条直线上，求证： ．
5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 的边 、 上截取线段 、 ，使 ，
连结 ，M、N是线段 上的两点，且 ，连结 、 ．求证： ．
6．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在
中，连接对角线 于点E，过点B作 的垂线 ，垂足为F，试证明线段 与
相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答：
用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作 的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴____________①， ．
．（____________②）
，
∴____________③．
．
．于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等．
【易错必刷三 平行四边形性质的其他应用】
7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶
点称为格点．点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边
形 ，使点 、 均在格点上．
(1)在图①中，点 是平行四边形 对称中心；
(2)在图②中，点 在平行四边形 的边上且不与顶点重合；
(3)在图③中，点 在平行四边形 的内部且不是对称中心．
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在 的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点 和
点 都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
(1)图1中，以 为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图2中，以 为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
9．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点 ， 均在格点上．(1)在图1中画出以 为边且面积为6的 ，点 和点 均在格点上（画出一个即可）．
(2)在图2中画出以 为对角线且面积为6的 ，点 和点 均在格点上（画出一个即可）．
【易错必刷四 添一个条件成为平行四边形】
10．（23-24八年级下·山东济宁·期末）四边形 的对角线 相交于点O， ，添加下列
条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中，若 ，在不添加任何辅助线的情
况下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
12．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、
EC、CF、FA．
(1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个）
(2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形．【易错必刷五 数图形中平行四边形的个数】
13．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的 正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段
的两个端点都在格点上，若线段 为 的一边， 的四个顶点都在 正方形网格的格
点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做
格点，线段 的两个端点都是格点，以 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的
平行四边形最多可以作（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图
中平行四边形的个数是 ．
【易错必刷六 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
16．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画
平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
17．（23-24九年级上·山东烟台·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ，
，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个．
18．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为 ， ．
(1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点 的坐标；
(2)你认为 是直角三角形吗？并说明理由；
(3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图
形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【易错必刷七 利用平行四边形的判定与性质求解】
19．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接
， 为 中点，过点 作 交 的延长线于 ，连接 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
20．（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边 的中点．
(1)求证： ；
(2)若四边形 的周长为12， ， ，求平行四边形 的周长．
21．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，已知平行四边形 中， 的平分线 交 于点， 的平分线 交 于点 ， 、 交于点 ．．
(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求线段 的长．
【易错必刷八 利用平行四边形的判定与性质证明】
22．（2025·浙江嘉兴·一模）如图， 是 的中线，点 是线段 的中点，连结 并延长至点 ，
使得 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2) 与 互相平分．
23．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在 中，点 、 在 上，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
24．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】
老师的问题：
小明的作法：
如图，在 中，点E在 上，连接 ，只用一
（1）连接 ，相交于
把无刻度的直尺，求作四边形 ，使得四边形
点O；
是平行四边形．
（2）连接 并延长，交
于点F；
（3）连接 ．四边形
即为所求．【解答问题】请根据材料中的信息，对小明的作法进行证明．
【易错必刷九 与三角形中位线有关的求解问题】
25．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形 中， ，点 是对角线 的中点，
点 和点 分别是 与 的中点．若 ，求 的度数．
26．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 过 的中点O，与边 分别
相交于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 的周长是 分别是 边上的中点，求 周长．
27．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，已知 中，D、E、F分别为 、 、 边上的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 的周长为12，求 的周长．【易错必刷十 与三角形中位线有关的证明】
28．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图， 是四边形 的对角线，E、F分别为
的中点，G、H分别为 的中点．请你判断 与 的关系，并证明你的结论．
29．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践
问题呈现：
如图①，在四边形 中， ， ，
求证： 平分 ．
问题解决：
小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案：
方案一：如图②，过 作 于 ， 于 ；
方案二：如图③，延长 至 ，使 ．
（1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程．
思维发散：
（2）如图④，在等边 中，点 是 的中点， ， 与 交于点 ， 与 交于
点 ，请直接写出 ， 和 的数量关系．
30．（24-25九年级上·北京密云·期中）如图， 中， ，O是
中点，D在线段 上（不与 重合），点E是 内部一点， ．(1)求 的大小（用含 的式子表示）；
(2)已知点F是 的中点，连接 ．用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【易错必刷十一 三角形中位线的实际应用】
31．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小
明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在 外选一点C，然后步测出 的中点M，N，并测
出 的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由．
32．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）数学综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的A、B
两点间的距离，他们在 外选一点C，连接 ，并分别找出它们的中点M、N，连接 ．现测得
，则A、B两点间的距离为 m．
33．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地 已知 分
别是 的中点，测得 ，李叔叔想把四边形 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的
长是【易错必刷十二 矩形的性质理解】
34．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，下列结论不
一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法
中错误的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 是等边三角形 D．
36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，P是矩形 内的任意一点，连接 ， ， ，
，得到 ， ， ， ，设它们的面积分别是 ， ， ， ．给出以下结论：①
；② ；③若 ，则 ，其中正确结论的序号是 ．【易错必刷十三 矩形的性质】
37．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，矩形 的两条对角线相交于点 .若 ，
，则边 的长为 .
38．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，作对角线 的垂直
平分线 交 、 于 、 ，则 的长为 ．
39．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形 中， ， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)点E是 上一点，点F是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．
【易错必刷十四 求矩形在坐标系中的坐标】
40．（23-24八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ，， ，对角线交点为 ，则点 的坐标是 ．
41．（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ，
，点 在 轴上，则点 的坐标为 ．
42．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形 中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点
在第一象限， ， ．点 在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段
上一点 重合．
(1)请直接写出点C的坐标．
(2)求线段CF的长度．
【易错必刷十五 矩形与折叠问题】
43．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片，使 边与对角线 重合，折痕为 ，求 及 的长．
44．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，在长方形 中，E是边 上一点，连接 ，
沿直线 翻折后，点A恰好落在长方形 的对称轴 上的点 处，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)延长 交 于点F，若 ，求 的长．
45．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，将长方形纸片 进行折叠，使折痕的两个端点P、F分
别在 边上，顶点B落在边 的E点处．已知 ．
(1)试求出 的长度；
(2)请求 的面积．
【易错必刷十六 矩形的判定定理】
46．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，则
添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形 是矩形的是（ ）
A． B． C． D．47．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中，O是 的中点，连接 ，并延长交
的延长线相交于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请添加一个条件______，使四边形 为矩形．（不需要说明理由）
48．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是 的对角线 上两点，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形．
【易错必刷十七 利用菱形的性质求解】
49．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点B作
，过点C作 ， 与 相交于点E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
50．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，四边形 是菱形，对角线 相交于点 ，且
．(1)求菱形 的周长；
(2)若 ，求 的长．
51．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，
，E为 中点，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【易错必刷十八 添一个条件使四边形是菱形】
52．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在 中，E，F分别是 的中点，连接 ．如果
只添加一个条件即可证明四边形 是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
53．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在 中（ ）， 为锐角，将 沿对角线
方向平移，得到 ，连接 和 ，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 是菱
形，只需添加的一个条件是 ．54．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形 中，F是对角线的交点，E是边 的
中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足________时，四边形 是菱形，并证明你的结论；
【易错必刷十九 菱形的面积计算】
55．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在菱形 中， ，P是菱形 内
的一点，连接 ，且 ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
56．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图， 是菱形 的对角线， 是 上的一个动点，过点
分别作 和 的垂线，垂足分别是点 和 ，若菱形的周长是 ，面积是 ，则 的值
是 ．57．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，菱形 对角线交于点 ， ， ，
与 交于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【易错必刷二十 正方形的性质】
58．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，正方形 在平面直角坐标系中，B的坐标是 ，D
是 的中点， ．
(1)写出点D，E的坐标；
(2)问： 是直角三角形吗？请说明理由．
59．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，已知四边形 是正方形，点E、F分别在 、 上，
与 相交于点G，且 ．(1)求证： ；
(2)如果正方形 的边长为5， ，点H为 的中点，连接 ．求 的长．
60．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 中， ， 、 的角平分线交于点
， 于 ， 于 ；
(1)问四边形 是正方形吗？请说明理由．
(2)若 ， ，则 的长为多少？
【易错必刷二十一 正方形的判定】
61．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形 的对角线 、 互相垂直平分，请从
以下三个选项中① ；② ；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，
使四边形 是正方形．
(1)你选择的条件是______；（填序号，填一个即可）
(2)根据你选择的条件写出证明过程．
62．（2023·陕西咸阳·三模）如图，已知 ，过点D作 交 的延长线于点E，过点C作交 的延长线于点F．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)请添加一个条件：______，使得四边形 是正方形，不用说明理由．
63．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在四边形 中， ，E是 的中点， 的延长
线交于点F， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)当 满足条件 ___________时，四边形 是正方形．
【易错必刷二十二 正方形的折叠问题】
64．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知在正方形 中， ，
．将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，点A落在P处，折痕
为 ．已知 长为 ．(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
65．（2022·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将 ABF沿BF折叠，
点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点． △
(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
66．（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰
好重叠于AG，求∠EAF的大小．
【易错必刷二十三 中点四边形】
67．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图， ， 是四边形 的两条对角线，顺次连接四边形
各边中点得到四边形 ，要使四边形 为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
68．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形 各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形 一定是平行四边形；
②当四边形 是矩形，中点四边形 也是矩形；
③当四边形 是菱形，中点四边形 也是菱形；
④当四边形 是正方形，中点四边形 也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
69．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次
连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩
形的面积是 ．
【易错必刷二十四 平行四边形的动点问题】
70．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形 中， 、 分别是边 、 上的动点，连接
， ， 、 分别为 、 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
71．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ，点 ， 分别是
， 上的动点， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则 的
最大值为 ．72．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，
，并且a，b满足 ．一动点P从点A出发，在线段 上以
每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C
运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t
（秒）．
(1)B，C两点的坐标分别为：B（______，______），C（______，______）；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(3)当t为何值时， 是以 为腰的等腰三角形？
【易错必刷二十五 平行四边形中的最值问题】
73．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形 和面积为2的正方形 拼在
一起，点E在 边的延长线上，点G 在 边上，连接 ．
(1)求 的长．
(2)求 的面积．(3)在直线 上是否存在点P，使 最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值．
74．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，C为线段 上一动点，分别过点B、D作 ，
，连接 ，已知线段 ， ， ，设 ．
(1)用含x的代数式表示 的长；
(2)请问点C满足什么条件时， 最小？最小为多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式 的最小值．
75．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知
（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思
路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作点 关于 的对称点
， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．这样，在 中，
根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题
（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且 ，求
的最小值．变式研究
（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的动点，且
，请直接写出 的最小值．
【易错必刷二十六 平行四边形的旋转问题】
76．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形 的对角线 、 交于点O， ，
，将 绕着点C旋转 得到 ，连接 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
77．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形 是菱形， ，点 为平面内一点，
连接 ，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，连接 ． 点 在直线
上， ，则线段 的长为 ．78．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形 是正方形， ， 分别是 和 的延长线
上的点，且 ，连接 ， ， ．
(1) 可以看作是 经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到 的变换过程；
(2)已知 ， ，直接写出四边形 的面积为________．
【易错必刷二十七 平行四边形的新定义问题】
79．（23-24九年级上·广东深圳·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非
直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1， ，四边形 是损矩形，则该损
矩形的直径是线段 ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两
个角是相等的．如图1中： 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
；再比如 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
．
(1)请在图1中再找出一对这样的角来： ；
(2)如图2， 中， ，以 为一边向外作菱形 ， 为菱形 对角线的交点，连
接 ．
①四边形 损矩形（填“是”或“不是”）；
②当 平分 时，判断四边形 为何种特殊的四边形？请说明理由；
③若 ，求 的长．80．（2023·贵州遵义·一模）综合与实践
新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)【初步尝试】如图1，已知 中， ， ， ， 为 上一点，当
______时， 与 为积等三角形；
(2)【理解运用】如图2， 与 为积等三角形；若 ， ，且线段 的长度为正整数，
求 的长；
(3)【综合应用】如图3，已知 中， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正
方形 ，连接 ，求证： 与 为积等三角形．
81．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
(1)四边形ABCD是等对角四边形， A≠ C，若 A＝50°， B＝100°，则 C＝_____， D＝_____．
(2)图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、
图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
(3)如图③，在平行四边形ABCD中， A＝60°，AB＝12，AD＝6，点E为AB的中点，过点E作EF
DC，交DC于点F．点P是射线FE上一个动点，设FP＝x，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角
四边形时x的值．
