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专题 07 平行四边形综合压轴特训
一．选择题（共16小题）
1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交
DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ ，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 ；
③EB⊥ED；
④S△APD +S△APB ＝ + ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP＝90°，
又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
∵AE＝AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
∵AE＝AP＝1，
∴PE＝ AE＝ ，
在Rt△PBE中，BE＝ ＝ ＝2，
∴S△APD +S△APB ＝S△APE +S△BPE ，
＝ ×1×1+ × ×2，
＝0.5+ ，故④正确；
过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝ ×2＝ ，
即点B到直线AE的距离为 ，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：A．
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O ，以AB，AO 为两邻边作平
1 1
行四边形ABC O ，平行四边形ABC O 的对角线交BD于点O ，同样以AB，AO 为两邻
1 1 1 1 2 2
边作平行四边形ABC O ．…，依此类推，则平行四边形ABC O 的面积为（ ）
2 2 2009 2009A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，
∴平行四边形ABC O 的面积为 ，
1 1
∵平行四边形ABC O 的对角线互相平分，
1 1
∴平行四边形ABC O 的面积为 × ＝ ，
2 2
…，
依此类推，平行四边形ABC O 的面积为 ．
2009 2009
故选：B．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝
45°下列三个结论：①当MN＝ MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝
90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，
∴MN＝ ，
∴MN2＝MC2+NC2．
当MN＝ MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2
∴MC＝NC．
∴BM＝DN
易证△ABM≌△ADN（SAS）．
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．
综上①②③都正确．
故选：D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在
BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值
为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，
∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O
∵在正方形ABCD中，AB＝4
∴AC＝ AB＝4 ，
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝2
∵N为OA的中点
∴ON＝
∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3
∵BM＝3
∴CM＝4﹣3＝1
∴ ＝ ＝
∵∠MCN'＝∠BCA
∴△MCN'∽△BCA
∴∠CMN'＝∠ABC＝90°
∵∠MCN'＝45°
∴△MCN'为等腰直角三角形
∴MN'＝CM＝1
∴PM﹣PN的值为1．
故选：A．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点
的坐标分别是（ ）
A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ，3）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4） D．（ ， ）、（﹣ ，4）
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴ ，
即 ，
∴OE＝ ，
即点B（ ，3），
∴AF＝OE＝ ，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣ ）＝﹣ ，
∴点C（﹣ ，4）．
故选：B．6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点
O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB ＝S四边形
中正确的有（ ）
DEOF
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF ＝S△DAE ，
∴S△ABF ﹣S△AOF ＝S△DAE ﹣S△AOF ，
∴S△AOB ＝S四边形DEOF ，所以（4）正确．
故选：B．
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足
为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，
∴△BQA≌△BQE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，
∴PQ＝ DE＝3．
故选：C．8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S ，S ，
1 2
则S +S 的值为（ ）
1 2
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解答】解：如图，设正方形S 的边长为x，
2
根据等腰直角三角形的性质知，AC＝ x，x＝ CD，
∴AC＝2CD，CD＝ ＝2，
∴EC2＝22+22，＝8，
∴S 的面积为EC2＝8；
2
∵S 的边长为3，S 的面积为3×3＝9，
1 1
∴S +S ＝8+9＝17．
1 2
故选：B．
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到
第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为 1，则第n个矩形的周长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解答】解：已知第一个矩形的周长为1；
由中位线定理，可知第二个矩形的边长是菱形对应的对角线的 ，即第二个矩形的边长
是第一个矩形对应的边长的 ，所以第二个矩形的周长为第一个矩形周长的 ，故第二
个矩形的周长为 ；
同理，第三个矩形的周长是第二个矩形周长的 ，故第三个矩形的周长为（ ）2；
…
故第n个矩形的周长为（ ）n﹣1．
故选：C．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，
正放置的四个正方形的面积依次是S ，S ，S ，S ，则S +S +S +S ＝（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S +S ＝1，S +S ＝2，S +S ＝3，S +S +S +S
1 2 2 3 3 4 1 2 3 4
＝4，故选A．
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，
应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
【答案】C
【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故选：C．
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案
（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，A，B，C部分的面积，
A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的 ，
所以，阴影部分面积＝1﹣ ﹣ ＝ ．
故选：A．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN
的取值范围是（ ）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C． ＜MN＜ D． ＜MN≤
【答案】D
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝ AB＝ ×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝ CD＝ ×3＝ ，
在△MNG中，由三角形三边关系可知 NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即 ﹣1＜MN＜
+1，
∴ ＜MN＜ ，
当MN＝MG+NG，即MN＝ 时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是 ＜MN≤ ．
故选：D．
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重
叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的 ，若AC＝ ，则菱形移动的距
离AA′是（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：依题意有 ，AC＝ ，
所以A′C＝1．
则平移的距离是AA′＝ ﹣1．
故选：B．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝ ，
AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝ ；④△COF
的面积是 ．其中正确的结论为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
【答案】B
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝ ，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝ ＝ ＝ ，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝ ＝ ＝2 ，
故错误；
④△COF的面积S△COF ＝ ×3×1＝ ，
故正确；
∴其中正确的结论为①④，
故选：B．
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三
角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M
（2，0），在边 AB 存在点 P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为
（ ）
A．（3，1）或（3，3）B．（3， ）或（3，3）
C．（3， ）或（3，1）
D．（3， ）或（3，1）或（3，3）
【答案】D
【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝
90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝ ．
∴P（3， ）．
综上，P（3， ）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝
2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为
．
【答案】 ．
【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝ ＝4 ，
∵BM＝2AM，
∴BM+AM＝AB＝4，
∴AM＝BN＝ ，BM＝ ，∵AD∥BN，
∴△NQB∽△AQD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DQ＝3BQ，
∴DQ＝3 ，BQ＝ ，
∵O是BD的中点，
∴OD＝2 ，
∴OQ＝DQ﹣OD＝ ，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠PAD+∠BAN＝90°，
∴∠PAD+∠ADM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵∠DAM＝90°，AM＝ ，AD＝4，
∴DM＝ ＝ ，
∵S△ADM ＝ AD•AM＝ DM•AP，
∴AP＝ ＝ ，
∴PM＝ ＝ ，
∴PD＝DM﹣PM＝ ，
∵△ADM≌△BAN，∴AN＝DM＝ ，
∵ ＝ ，
∴NQ＝ ，AQ＝ ，
∴PQ＝AQ﹣AP＝ ﹣ ＝ ，
如图，过点O作OG⊥DM于点G，
∵OG∥PQ，
∴△OGD∽△QPD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DG＝ DP＝ × ＝ ，OG＝ QP＝ × ＝ ，
∴PG＝DP﹣DG＝ ﹣ ＝ ，
∴OP＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交
BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．【答案】①②③．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．故答案为：①②③．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与
对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 EF 2 ＝ AE 2 + CF 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM
在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中
∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且
PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴ AC•BC＝ AB•PC，
∴PC＝ ．
∴线段EF长的最小值为 ；
故答案为： ．
21．如图，在△A B C 中，已知A B ＝7，B C ＝4，A C ＝5，依次连接△A B C 三边中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
得△A B C ，再依次连接△A B C 的三边中点得△A B C ，…，则△A B C 的周长为
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5
1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A B 、B C 、C A 分别等于A B 、B C 、C A 的一半，
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
∴以此类推：△A B C 的周长为△A B C 的周长的 ，
5 5 5 1 1 1
∴则△A B C 的周长为（7+4+5）÷16＝1．
5 5 5
故答案为：1
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为
边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S ＝1，按上述方法所作的正方
1
形的面积依次为S ，S ，…S （n为正整数），那么第8个正方形面积S ＝ 12 8 ．
2 3 n 8【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的 倍；故面积是
第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S ＝27＝128．
8
故答案为128．
23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A 、A …A 分别是各正方形
1 2 n
的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n﹣1）＝ cm2．
故答案为： ．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个
菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝
60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 （ ） n ﹣ 1 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．AC⊥DB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，
∴BM＝ ，
∴AM＝ ，
∴AC＝ ，
同理可得AE＝ AC＝（ ）2，AG＝ AE＝3 ＝（ ）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（ ）n﹣1，
故答案为（ ）n﹣1．25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝
8，则EF的长为 1. 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，
∵∠AFB＝90°，
∴DF＝ AB＝2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
中点，则EG2+FH2＝ 3 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝ BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝ AC＝3，FG＝ BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D
是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐
标为 （ 2 ， 4 ）或（ 3 ， 4 ）或（ 8 ， 4 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：显然PO≠PD，不考虑；
当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝ OA＝5，
根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P （8，4）；
1
当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，
根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P （2，4）；
2
当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，
根据勾股定理得：OQ＝3，则P （3，4），
3
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为
一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为
垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个
什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC …（12分）
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BE：AB＝DB：BC，
∵D为BC中点，
∴DB：BC＝1：2，
∴BE：AB＝1：2，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已
知”除外）]
（2）如图2，在 ABCD中，对角线交点为O，A 、B 、C 、D 分别是OA、OB、OC、
1 1 1 1
OD的中点，A 、▱B 、C 、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，…，以此类推．
2 2 2 2 1 1 1 1
若 ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（▱3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝ BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝ DF，
∴DE∥BC且DE＝ BC；
（2）∵A 、B 、C 、D 分别是OA、OB、OC、OD的中点，
1 1 1 1
∴A B ＝ AB，B C ＝ BC，C D ＝ CD，A D ＝ AD，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形A B C D 的周长＝ ×1＝ ，
1 1 1 1
同理可得，四边形A B C D 的周长＝ × ＝ ，
2 2 2 2
四边形A B C D 的周长＝ × ＝ ，
3 3 3 3
…，
∴四边形的周长之和l＝1+ + + +…；
（3）由图可知， + + +…＝1（无限接近于1），所以l＝1+ + + +…＝2（无限接近于2）．
31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB
的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝ ＝13，
∴OC＝ EF＝6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动
点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，
，
故△BDE≌△BCF．
（2）△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
（3）设BE＝BF＝EF＝x，
则S△BEF ＝ •x•x•sin60°＝ x2，
当BE⊥AD时，x最小 ＝2×sin60°＝ ，此时△BEF的面积最小，
此时点E、F分别位于AD、CD的中点，
故此时BD垂直平分EF．
33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）
上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如
图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取
得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ ．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（ ）2+（ x+x）2＝ ．解得x ＝ ，x ＝﹣ （舍去负值）．
1 2
∴正方形的边长为 ．
34．已知：如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上的一动点，
PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】（Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，
矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
又∵AM＝DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS）
∴∠AMB＝∠DMC
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC＝90°，∴∠AMB＝∠DMC＝45°
∴AM＝DM＝DC，即AD＝2DC．
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；
法2：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠M为直角，
∴B、C、M三点共圆，BC为直径，
又∵M为AD的中点，
∴BC＝2CD，
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB＝MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC
又∵点P是BC中点，
∴PE＝PF＝ MC
∴四边形PEMF为正方形．
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．
∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，
易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除
B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖
的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不
变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠NEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∴∠N＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，
∴∠NAE＝∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点
P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠1＝∠2，
∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF，S△AEF '＝S△AEF ，
而 EF′•AB＝ EF•AP，
∴AB＝AP．
解：（2）C△CEF ＝EC+CF+EF
＝EC+CF+EF′
＝EC+BE+CF+BF′
＝BC+CF+DF
＝BC+CD＝2AB＝10．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，
P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个
点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝
DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽
之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或 ，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或
cm/s．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC＝∠MAN，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD＝180°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAN＝ ×180°＝90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，DF＝ AB，理由是：
∵四边形ADCE为矩形，
对角线DE与AC相交于点F，
∴F是AC的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF＝ AB，DF∥AB．
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE又为正方形．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），
（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与
长方形的边的交点，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
综上所述，所以点D的坐标为（2，0）．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段
DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及 的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图 2，将原问题中的正方形 ABCD 和正方形 BEFG 换成菱形 ABCD 和菱形
BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及 的值，写出你的猜
想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与
菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到
的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； ＝1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； ＝ ．
证明：如图2，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴ ＝ ；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴ GF ＝ HD ， ∠ GFP ＝
∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴ ＝ ．即PG＝ PC．
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