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专题 08 勾股定理与全等三角形的构造（解析版）
类型一 构造一线三垂直模型
1．（2022春•埇桥区校级期末）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行
的三条直线l ，l ，l 上，且l ，l 之间的距离为2，l ，l 之间的距离为3，则AC的长是（ ）
1 2 3 1 2 2 3
A．2❑√17 B．2❑√5 C．4❑√2 D．7
【思路引领】过A、C点作l 的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再
3
利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥l 于D，过点C作CE⊥l 于E，
3 3
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
又∵∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
在△ABD与△BCE中，
{∠BAD=∠CBE
)
∠ADB=∠BEC ，
AB=BC
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=❑√32+52=❑√34，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=❑√34+34=2❑√17，故选：A．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△ABD≌△BCE是解题的关键．
2．（2020春•硚口区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝4❑√2，CD＝5，AD＝
7，则BC＝ 5❑√2 ，AC＝ ❑√130 ．
【思路引领】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，连接BD，得到∠BEA＝
∠BED＝∠CFD＝90°，根据勾股定理得到BD=❑√BE2+DE2=❑√42+32=5，根据全等三角形的性质得
到DF＝BE＝4，CF＝DE＝3，求得AF＝11，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
连接BD，
则∠BEA＝∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝4❑√2，∠BAD＝45°，
∴AE＝BE＝4，
∵AD＝7，
∴DE＝3，
∴BD=❑√BE2+DE2=❑√42+32=5，
∵CD＝5，
∴BD＝CD，
∵∠BCD＝45°，
∴DBC＝∠BCD＝45°，
∴∠BDC＝90°，
∴BC=❑√2CD＝5❑√2，
∵∠EBD+∠BDE＝∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠EBD＝∠CDF，
∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE＝4，CF＝DE＝3，
∴AF＝11，
∴AC=❑√AF2+CF2=❑√112+32=❑√130．
故答案为：5❑√2，❑√130．
【总结提升】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
类型二 构造手拉手旋转全等
（一）与等边旋转60°构造共顶点双等边三角形
3．（1）如图①，△ABE，△ACD都是等边三角形，若CE＝6，则BD的长＝ 6 ；
（2）如图②，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，D是△ABC外一点，且△ACD是等边三角形，
则BD的长＝ 5 ．
【思路引领】（1）根据等边三角形的性质得到AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝60°，则∠BAD＝
∠EAC，再根据三角形全等的判定方法可证得△ACE≌△ADB，根据全等的性质得出BD＝CE即可；
（2）作等边三角形ABE，连接AE，则AE＝AB＝3，∠ABE＝60°，证出∠CBE＝90°，由勾股定理求出
CE，即可得到结果．
【解答】（1）解：∵△ABE和△ACD是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝3，AD＝AC，∠ABE＝∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠CAB，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△ACE和△ADB中，¿，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD＝CE＝6；
故答案为：6；
（2）作等边三角形ABE，连接AE，如图所示：则AE＝AB＝3，∠ABE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBE＝∠ABE+∠ABC＝90°，
∴CE 5，
=❑√BC2+BE2=❑√42+32=
由（1）得：BD＝CE＝5；
故答案为：5．
【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等边三角
形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
4．（2019•增城区一模）如图，点P为等边△ABC内一点，若PC＝3，PB＝4，PA＝5，则∠BPC的度数
是 150 ° ．
【思路引领】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，根据旋转的性质可得BD＝PB＝4，AD＝PC
＝3，∠BPC＝∠ADB，判断出△BDP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PD＝PB，∠BDP＝
60°，利用勾股定理逆定理判断出△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，然后求出∠ADB，即可得解．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，
由旋转的性质得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，
所以，△BDP是等边三角形，
所以，PD＝PB＝4，∠BDP＝60°，
∵AD2+DP2＝32+42＝25，PA2＝52＝25，
∴AD2+DP2＝PA2，
∴△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，∴∠ADB＝60°+90°＝150°，
∴∠BPC＝150°．
故答案为：150°．
【总结提升】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线
构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键．
5．（2021春•麻城市校级月考）△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD．
（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．
【思路引领】（1）手拉手模型证明△EAC≌△BAD（SAS），通过直角三角形DCB求出BD的长．
（2）模仿（1）问作辅助线构造全等三角形及直角三角形，再通过勾股定理求出CE的长．
【解答】解：（1）∵△ABE与△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，
∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC和△BAD中，
{
EA=BA
)
∠EAC=∠BAD ，
AC=AD
∴△EAC≌△BAD（SAS）．∴EC＝BD，
又∵∠ACB＝30°，
∴∠DCB＝∠ACB+∠DCA＝90°，
∵CD＝AC＝4，BC＝5，
∴BD ．
=❑√BC2+CD2=❑√52+42=❑√41
∴CE＝BD=❑√41．
（2）以AB为边向外作等边三角形△ABE，连接线段CE，作EK垂直于CB延长线于点K．
∵△ABE与△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，
∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC和△BAD中，
{
EA=BA
)
∠EAC=∠BAD ，
AC=AD
∴△EAC≌△BAD（SAS）．
∴EC＝BD，
∵∠EBA＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBK＝180°﹣∠EBC＝60°，
在Rt△EBK中，BE＝2BK，．
1 3
∴BK= BE=
2 2
√ 3 3❑√3
∴EK=❑√BE2−BK2=❑32−( ) 2= ，
2 23 13
∴KC＝KB+BC= +5= ，
2 2
在Rt△EKC中，根据勾股定理得，
EC √ 3❑√3 13 7．
=❑√EK2+KC2=❑(
)
2+(
)
2=
2 2
∴BD＝EC＝7．
【总结提升】本题考查等边三角形的性质及解直角三角形，解题关键是通过第一问的方法作出对应辅助
线求解．
（二）与等腰直角三角形，旋转90°构造共顶点双等腰直角三角形
6．（2022春•钦州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC
＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．
【思路引领】先证明△PCD是等腰直角三角形，得出：PD=❑√2PC＝2❑√2，∠CPD＝∠CDP＝45°，再
证明△ACP≌△BCD（SAS），得出BD＝PA＝3，运用勾股定理逆定理证得∠BPD＝90°，即可求得答案．
【解答】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝90°，
∵PC＝CD＝2，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD=❑√2PC＝2❑√2，∠CPD＝∠CDP＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
又∵∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP和△BCD中，
{
AC=BC
)
∠ACP=∠BCD ，
PC=CD
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴BD＝PA＝3，∵PB＝1，
∴PB2+PD2＝12+（2❑√2）2＝9，
∵PA2＝32＝9，
∴PA2＝PB2+PD2，
∴∠BPD＝90°，
∵∠CPD＝45°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．
【总结提升】该题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理逆定
理等几何知识点及其应用问题；是一道综合性较强的题目，证明△ACP≌△BCD（SAS）和运用勾股定
理逆定理是解题的关键．
7．（2023秋•槐荫区期末）如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为
（ ）
A．3 B．❑√11 C．2❑√3 D．4
【思路引领】如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．证明△BAE≌△CAD（SAS），∠BED＝
90°，利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．
∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AE＝AD＝1，DE=❑√2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，
∴∠BED＝90°，
∴BD ．
=❑√BE2+DE2=❑√32+(❑√2) 2=❑√11
故选：B．
【总结提升】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2023春•江汉区期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，PA＝3，PC
=❑√2，则PB＝ ❑√19 ．
【思路引领】将△ACP绕着点C逆时针旋转90°得到△BCP′，连接PP′，可得△CPP′是等腰直角三
角形，进而求出∠PP′B＝120°，PP′＝2，再作辅助线，构造直角三角形利用勾股定理可求出答案．
【解答】解：将△ACP绕着点C逆时针旋转90°得到△BCP′，连接PP′，过点P作PD⊥BP′，交
BP′的延长线于点D，如图所示：
由旋转可知，AP＝BP′＝3，CP＝CP′=❑√2，∠PCP′＝90°，∠APC＝∠BP′C＝165°，
∴∠CPP′＝∠CP′P＝45°，PP′=❑√2PC＝2，
∴∠PP′B＝∠CP′B﹣∠CP′P＝165°﹣45°＝120°
∴∠PP′D＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△PP′D中，
∵∠P′PD＝90°﹣60°＝30°，
1
∴P′D= PP′＝1，PD=❑√22−12=❑√3，
2
∴BD＝BP′+P′D＝3+1＝4，
在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP ，
=❑√BD2+PD2=❑√19
故答案为❑√19．
【总结提升】考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，旋转的
应用巧妙的将问题转化到一个三角形中，再依据特殊的边角关系求出答案是一个很好的方法．
（三）构造共顶点双等腰三角形
9．（2015•道里区一模）如图．在△ABC中．以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD．使AC＝AD．且
3
∠DAC＝2∠ABC，连接BD．作AH⊥BC于点H．若AH= ，BC＝4，则BD＝ 5 ．
2
【思路引领】如图，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连
接AK，根据垂直的定义得到∠AHC＝90°．由平行线的性质得到∠EBC＝90°．由线段垂直平分线的性
质得到BK＝AH．推出四边形AKBH为矩形，得到AK⊥BE，根据等腰三角形的性质得到AE＝AB，
∠ EAB ＝ 2∠ KAB ， 通 过 △ EAC≌ △ BAD ， 得 到 BD ＝ CE ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 CE
5，于是得到结论．
=❑√BE2+BC2=❑√(2AH) 2+BC2=
【解答】解：如图，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连
接AK，
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°．
∵BE∥AH，∴∠EBC＝90°．
∵∠EBC＝90°，
∵K为BE的中点，BE＝2AH，
∴BK＝AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为矩形，
∴AK⊥BE，
∴AE＝AB，∠EAB＝2∠KAB，
∵∠DAC＝2∠ABC，∠KAB＝∠ABC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△EAC与△BAD中，
{
AE=AB
)
∠EAC=∠BAD ，
AC=AD
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵CE 5，
=❑√BE2+BC2=❑√(2AH) 2+BC2=
∴BD＝5．
故答案为：5．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，
矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
类型三 夹半角构造旋转全等
（一）90°夹45°
10．（2021秋•晋安区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，点D，E在AB上，∠DCE＝45°．
（1）将△ACD绕点C逆时针旋转90°，点D对应点为点F，画出旋转后的图形，并证明：DE＝EF；（2）求证：AD2+BE2＝DE2．
【思路引领】（1）利用等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠ACB＝90°，则△ACD绕点C逆时针旋
转90°得到△BCF，然后证明△CED≌△CEF得到DE＝EF；
（2）利用旋转的性质得到∠CBF＝∠A＝45°，AD＝BF，则∠EBF＝90°，然后利用勾股定理得到
BF2+BE2＝EF2，最后利用等量代换得到结论．
【解答】（1）解：如图，△BCF为所作，
证明如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∵△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF，
∴∠DCF＝90°，CD＝CF，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝45°，
在△CED和△CEF中，
{
CD=CF
)
∠DCE=∠FCE ，
CE=CE
∴△CED≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF；
（2）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF，
∴∠CBF＝∠A＝45°，AD＝BF，
∴∠EBF＝45°+45°＝90°，
在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2，
而EF＝DE，BF＝AD，
∴AD2+BE2＝DE2．【总结提升】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，旋转角都相等，对应
线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得
出旋转后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
11．（2019春•老城区校级月考）已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠MCN＝45°．
（1）如图1，当点M、N在AB上时，求证：MN2＝AM2+BN2；
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由．
【思路引领】（1）将△CBN绕点C顺时针旋转90°至△CAF位置，证明△FCM≌△NCM，将所求线段
转化到Rt△FAM中，由勾股定理可得结论；
（2）将△CBN 绕点 C 顺时针旋转 90°至△CAH 位置，证明△HCM≌△NCM，将所求线段转化到
Rt△HAM中，由勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）将△CBN绕点C顺时针旋转90°至△CAF位置，
则BN＝AF，CN＝CF，∠FCN＝90°，∠FAM＝45°+45°＝90°．
在△FCM和△NCM中，
{
FC=NC
)
∠FCM=∠NCM=45°
CM=CM
所以△FCM≌△NCM（SAS）．
∴FM＝MN．
在Rt△FAM中，由勾股定理可得FA2+AM2＝FM2，
所以MN2＝AM2+BN2；
（2）将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下：
将△CBN绕点C顺时针旋转90°至△CAH位置，则BN＝AH，CN＝CH，∠HCN＝90°，∠HAM＝∠HAN＝45°+45°＝90°．
在△HCM和△NCM中，
{
HC=NC
)
∠HCM=∠MCN=45° ，
CM=CM
∴△HCM≌△NCM（SAS），
∴HM＝MN．
在Rt△HAM中，由勾股定理可得HA2+AM2＝HM2，
所以MN2＝AM2+BN2．
【总结提升】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．正确作出辅助线，把
所求线段转化到一个直角三角形中是解题的关键．
（二）120°夹60°
12．（2022春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4❑√3，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC
上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为 6❑√3− 6 ．
【思路引领】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB＝
AC、∠BAC＝120°，可得出∠ACB＝∠B＝30°，根据旋转的性质可得出∠ECG＝60°，结合CF＝BD＝
2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以
及证明全等找出DE＝FE，设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝12﹣3x，在Rt△CEF中利用勾股定
理可得出FE=❑√3x，利用FE＝12﹣3x=❑√3x可求出x以及FE的值，此题得解．
【解答】解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示：过点A作AN⊥BC于点N，如图，
∵AB＝AC＝4❑√3，∠BAC＝120°，
∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．
在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝4❑√3，
1
∴AN= AB＝2❑√3，
2
∴BN 6，
=❑√AB2−AN2=
∴BC＝12．
∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，
∴∠ECG＝60°．
∵CF＝BD＝2CE，
∴CG＝CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG＝CG＝FG，
1
∴∠EFG＝∠FEG= ∠CGE＝30°，
2
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，
{
AD=AF
)
∠DAE=∠FAE ，
AE=AE
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝12﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EF x，
=❑√CF2−EC2=❑√3
∴12﹣3x=❑√3x，
∴x＝2（3−❑√3），
∴DE=❑√3x＝6❑√3−6．
故答案为：6❑√3−6．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x
的方程是解题的关键．
类型四 倍长中线构造全等
13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（ ）
A．❑√61 B．2❑√61 C．13 D．12
【思路引领】延长AD到点E，使AD＝DE＝6，通过SAS可证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通过
勾股定理逆定理可证明△AEC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可．
【解答】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE＝6，
∴AE＝12，
∵AD是边BC的中线，
1
∴BD＝CD= BC，
2
在△ABD和△ECD中，
{
AD=ED
)
∵ ∠ADB=∠EDC ，
BD=CD
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
∵AE2+CE2＝169，AC2＝169．
∴AC2＝AE2+CE2，
∴△AEC为直角三角形，
∴∠E＝90°，
∴CD ，
=❑√ED2+CE2=❑√61
∴BC＝2CD＝2❑√61．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全
等三角形是解题的关键．
14．（2021春•荆门校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，
DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为（ ）
A．2❑√7 B．2❑√5 C．5 D．2❑√6
【思路引领】延长 FD 至点 G，使得 DG＝DF，连接 BG，EG，作 EH⊥BG 于 H，易证
△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明GH∥AC，得到∠HBE＝∠A＝60°，解直角
三角形求得BH、EH，然后根据勾股定理求得GE，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝
EG，即可求得EF的长，即可解题．
【解答】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，
在△CDF和△BDG中，{
CD=BD
)
∠CDF=∠BDG ，
DF=DG
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，
∴GH∥AC
∵∠A＝60°，
∴∠HBE＝∠A＝60°，
∵BE＝2，
1 ❑√3
∴BH= BE＝1，HE= BE=❑√3，
2 2
∴GH＝BG+HB＝4+1＝5，
∴EG 2 ，
=❑√EH2+GH❑ 2=❑√3+25= ❑√7
∵DE⊥FG，DF＝DG，
∴EF＝EG＝2❑√7，
故选：A．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求证
△CDF≌△BDG是解题的关键．
15．（2020春•江岸区期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD
＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝ 3❑√3 ．
【思路引领】延长AE交BC的延长线于F，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，根据
全等三角形的性质得到CF＝AD＝1，EF＝AE＝3，由勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长AE交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝1，EF＝AE＝3，∵BC＝2，
∴BF＝3，AF＝6，
∵∠B＝90°，
∴AB 3 ，
=❑√AF2−BF2=❑√62−32= ❑√3
故答案为：3❑√3．
【总结提升】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
16．（2023春•天长市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边
AC，BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．
（1）∠EDF＝ 4 5 °．
（2）若DE=❑√2，DF＝2，线段AB的长为 2❑√5 ．
【思路引领】（1）利用三角形内角和定理知∠ADE+∠BDF＝[360°﹣（∠A+∠B）]÷2＝135°，从而得
出答案；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接BG，FG，作FH⊥DE于H，利用SAS证明△ADE≌△BDG，
得∠DBG＝∠A，BG＝AE，再利用勾股定理求出FG和BF的长即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD＝AE，BD＝BF，
∴∠ADE＝∠AED，∠BDF＝∠BFD，
∴∠ADE+∠BDF＝[360°﹣（∠A+∠B）]÷2＝135°，
∴∠EDF＝45°，
故答案为：45；（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接BG，FG，作FH⊥DE于H，
∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，DE＝DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴∠DBG＝∠A，BG＝AE，
∴∠FBG＝90°，BF＝BG＝BD，
∵∠EDF＝45°，DF＝2，
∴FH＝DH=❑√2，
∴FG ，
=❑√(❑√2) 2+(2❑√2) 2=❑√10
∴BF＝BG=❑√5，
∴AB＝2BF＝2❑√5，
故答案为：2❑√5．
【总结提升】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
