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专题 1.4 整式的加减全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 整式
1．单项式
（1）单项式的定义：像 ， ， ， 等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项
式，单独的一个数或字母也是单项式．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
【注】
①系数包括单项式前面的符号；
②只含有字母因数的单项式的系数是1或 ；
③ 是一个数，不要将它当作字母．
（3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0．
【例】①3，a， ， ， ，0.15a， 都是单项式；
②单项式 的系数是 ， 的系数是 ；
③单项式 的次数为四， 的次数为六；9的次数是零．
2．多项式
多项式：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.
多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
多项式的命名：关于某字母的几次几项式．
【注】
①多项式中的各项包括它前面的符号；
②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列．
【例】
① 是多项式；
② 的各项是 、 、 ；
③ 次数是四次；
④ 是关于x的二次二项式， 是关于x、y的四次三项式， 是关于x、y的
五次四项式；
⑤ 是按x的降幂排列； 是按x的升幂排列．
3．整式
整式：单项式和多项式统称为整式．
【例】a， ， ， 是整式．
1 1 b x−y
【典例1】下列代数式：（1）− mn，（2）m，（3） ，（4） ，（5）2m+1，（6） ，（7）
2 2 a 5
2x+ y 2 3
，（8）x2+2x+ ，（9）y3﹣5y+ 中，整式有 个．
x−y 3 y
【分析】利用整式的定义判断得出即可．
1 1 x−y 2
【解答】解：（1）− mn，（2）m，（3） ，（5）2m+1，（6） ，（8）x2+2x+ 都是整式，
2 2 5 3
故整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）6个．
故答案为：6．(π−2)a2b3 3 1 2x 3a−1 1
【典例2】下列各式：− ，2x﹣1， ， ，− ，a2+2ab+b2， ， +y3中单项式的个
5 7 x π 3 y
数有 个，多项式有 个．
【分析】直接利用多项式以及单项式的定义分析得出答案．
(π−2)a2b3 3 1 2x 3a−1 1
【解答】解：− ，2x﹣1， ， ，− ，a2+2ab+b2， ， +y3中单项式的个数有：
5 7 x π 3 y
(π−2)a2b3 3 2x
− ， ，− ，共3 个，
5 7 π
3a−1
多项式有：2x﹣1，a2+2ab+b2， ，共3个．
3
故答案为：3，3．
4πx2y3
【典例3】单项式− 的系数是 ，次数是 ．
5
【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出答案．
4πx2y3 4π
【解答】解：单项式− 是− ，次数为2+3＝5．
5 5
4π
故答案为：− ，5．
5
【典例4】把多项式2x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3按照x的降幂排列是 ．
【分析】把多项式按照某个字母的降幂排列即是按照这个字母的指数由高到低排列．
【解答】解：把多项式2x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3按照x的降幂排列是2x4+3x3y﹣5x2y3﹣2xy2﹣y4，
故答案为：2x4+3x3y﹣5x2y3﹣2xy2﹣y4．
【典例5】已知（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，则m＝ ．
【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，
∴|m|+1+3＝6且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【典例6】若多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，则a的值为 ．
【分析】根据多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式可知|a﹣1|＝2且a﹣3≠0，解方程和不
等式，求出m即可．
【解答】解：∵多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，{|a−1|=2①)
∴ ，
a−3≠0②
由①得：a﹣1＝±2，
a＝3或﹣1，
由②得：a≠3，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【典例7】若关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，且单项
式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则mn的值为 ．
【分析】直接利用多项式的项和次数以及单项式的系数与次数确定方法分别得出 m，n的值，进而得出
答案．
【解答】解：∵单项式﹣4a4b3的系数为﹣4，次数为7次，
又∵多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的项为：x3、2xm+1y3、2nx2y2，其次数分别为3次、（m+4）次、4次；
∵关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，
∴m+4＝7，解得m＝3，
∵单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，
∴n＝﹣4，
∴mn＝3×（﹣4）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
知识点2 整式的加减
1．同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
【注】
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
2．合并同类项
合并同类项的定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【注】
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化
简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不
变．
3．去括号、添括号：
①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
②括号前是“ ”号，把括号和它前面的“ ”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值.
4．整式的加减：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
①整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
②去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去
括号后括号内的各项都要改变符号．
5．整式的化简求值：
整式的化简求值是以整式加减为基础的，具体步骤为：
化：通过去括号、合并同类项将整式化简；
代：把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子；
算：依据有理数的混合运算和法则进行计算.
【典例1】下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
2
A．3x2y3与− y3x2 B．﹣2a与15a
3
1 1 π
C． x3y2z与 x3yz D．﹣3与
5 5 2
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项；
B、符合同类项的定义，是同类项；
C、相同字母的指数不相同，不是同类项；
D、符合同类项的定义，是同类项；
故选：C．
【典例2】下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．2a2+3a2＝5a4
C．3xy2+4xy2＝7xy2 D．3m2n﹣3mn2＝0
【分析】根据同类项的定义进行逐项判断即可．
【解答】解：A、2a﹣a＝a，故该项不正确，不符合题意；B、2a2+3a2＝5a2，故该项不正确，不符合题意；
C、3xy2+4xy2＝7xy2，故该项正确，符合题意；
D、3m2n与3mn2不是同类项，不能进行相加，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【典例3】去括号正确的是（ ）
A．a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a﹣b+c
B．5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10
1 2
C．3a− （3a2﹣2a）＝3a﹣a2− a
3 3
D．a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2+b
【分析】根据负正得负，负负得正，正正得正即可进行各选项的判断，从而得出答案．
【解答】解：A、a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b+c，故本选项错误；
B、5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10，故本选项正确；
1 2
C、3a− （3a2﹣2a）＝3a﹣a2+ a，故本选项错误；
3 3
D、a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2﹣b，故本选项错误．
故选：B．
【典例4】（﹣a+2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[2b﹣（ ）][2b+（a﹣3c）]．
【分析】原式利用去括号与添括号法则计算即可．
【解答】解：（﹣a+2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[2b﹣（ a﹣3c）][2b+（a﹣3c）]．
故答案为：a﹣3c．
5 7
【典例5】若单项式 ax2yn+1与− axmy4的差仍是单项式，则m﹣n＝ ．
7 5
【分析】利用同类项的定义，可得到相应的式子，从而求得m，n的值，即可求解．
5 7
【解答】解：∵单项式 ax2yn+1与− axmy4的差仍是单项式，
7 5
5 7
∴单项式 ax2yn+1与− axmy4属于同类项，
7 5
∴m＝2，n+1＝4，
解得：m＝2，n＝3，
∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．【典例6】若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ．
【分析】根据题意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括号化简即可．
【解答】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）
＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4
＝y2﹣1．
故答案为：y2﹣1．
【典例7】多项式4x2﹣3x+7与多项式5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相减后，结果不含x2项，则常数m的值为
．
【分析】先将4x2﹣3x+7与5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相加，令结果中x2项的系数为0，即可解得答案．
【解答】解：（4x2﹣3x+7）﹣[5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3]
＝4x2﹣3x+7﹣5x3﹣（m﹣2）x2+2x﹣3
＝﹣5x3+（﹣m+6）x2﹣x+4，
∵结果不含x2项，
∴﹣m+6＝0，
解得m＝6，
故答案为：6．
