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2023 届金山区高考数学一模
一､填空题
1. 函数 的最小正周期是_________
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可
【详解】 的最小正周期为 ，
故答案为：
2. 已知集合 ， ，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】利用交集的定义进行求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
3. 若 ，则 的最小值为___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .故答案为： .
4. 已知抛物线 的焦点坐标为 ，则 的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得 值.
【详解】因为抛物线 ，
所以抛物线的焦点坐标为 ，
又因为抛物线 的焦点坐标为 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
5. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积．
【详解】由题意底面半径为 ，高为 ，则母线长为 ，
所以侧面积为 ．
故答案为： ．
6. 已知 ，则曲线 在 处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出原函数的导函数 ，然后将切点处的横坐标 代入导函数中求出直线的斜率
，再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式 求出切线方程.【详解】因为 ， ，所以 ，
即切点为 ，斜率为 ，代入点斜式直线方程 中
则曲线 在 处的切线方程是 .
故答案为： .
7. 若 时，指数函数 的值总大于1，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于 的不等式，求解不等式即可得到结果.
【详解】由已知可得， 且 .
又 时， ，
即 ，
所以有 ，即 ，
.
解得 或
故答案为： 或 .
8. 已知 是实数， 是虚数单位，若复数 的实部和虚部互为相反数，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出 的值，再用模长公式计算即可.
【详解】由题意 ，
因为实部和虚部互为相反数，所以 ，解得 ，
此时 ，则 ，
故答案为：9. 从 个人中选 人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排 人，第二天和第三天均安排 人，
且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.
【答案】
【解析】
【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】从 个人中选 人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排 人，第二天和第三天均安排
人，且人员不重复，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为 .
故答案为： .
10. 函数 的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角恒等变换得 ，再整体代换求解值域即可.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：11. 若集合 ， ，且
，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合 ，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，
集合 表示以 为圆心， 为半径的圆及其圆内的点，而 ，即表示该圆与阴
影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题.
【详解】因为 ，
所以集合 是被两条平行直线 夹在其中的区域，如图所示，
，
其中 由 ，解得 或 ，
当 时，B表示点 或 ，
当 时， 表示以 为圆心， 为半径的圆及其内部的点，
其圆心在直线 上，
依题意 ，即表示圆 应与阴影部分相切或者相交，当 时，显然满足题意，当 时，不满足题意，
当 时，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
当 时，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，无解；
综上，头数 的取值范围足 .
故答案为：
12. 设 是由正整数组成且项数为 的增数列，已知 ， ，数列 任意相邻两项的差
的绝对值不超过1，若对于 中任意序数不同的两项 和 ，在剩下的项中总存在序数不同的两项
和 ，使得 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当 时， 或 ，根据 ，可推出数列 前6项，结合题意，应有 ， ， ，…， ，中间各项为公差为
1的等差数列时，可使得 值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值.
【详解】因为数列 任意相邻两项的差的绝对值不超过1， ，所以 ，
又 是由正整数组成且项数为 的增数列，所以 或 ，
当 时， ，此时 ，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项 和 ，使得 矛盾，
所以 ，类似地，必有 ， ， ， ，
由 得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且 值要尽量小，
则 ， ，
同理， ， ，…， ，当 中间各项为公差为1 的等差数列时，可使得 值最小，
且满足已知条件.
由对称性得最后6项为 ， ，
则 的最小值 .
的
【点睛】对于数列 新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当 时， 或
，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.
二､选择题
13. 已知直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（
）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.
【详解】若 ，则两直线方程分别为 和 ，
满足两直线平行，即充分性成立，
若 ，
当 时，两直线分别为 和 ，
此时两直线不平行，不满足条件.
当 时，若两直线平行则 ，
由 得 ，即 ，
所以 或 ，
当 时， ，不满足条件.
则 ，即 ，
则“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C
14. 已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断.【详解】对于A，令 ，则 ，
所以 ，即 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，即 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，因为角 的终边不在坐标轴上，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 一定成等比数列，故D正确.
故选：D.
15. 已知正四面体 的棱长为6，设集合 ，点 平面 ，则 表示的区域
的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点 作 平面 于点 ，利用正四面体的特点求出 的长，从而得到 ，
即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.
【详解】过点 作 平面 于点 ，则 ，
因为 ，则 ，
则 表示的区域为以 为圆心，2为半径的圆及其内部，
面积为 ，
故选：C.
16. 对于函数 ，若自变量 在区间 上变化时，函数值 的取值范围也恰为 ，则称
区间 是函数 的保值区间，区间长度为 .已知定义域为 的函数 的表达式为
，给出下列命题：①函数 有且仅有 个保值区间；②函数 的所有保值
区间长度之和为 .下列说法正确的是（ ）
A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立
C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知 ，分 、 两种情况讨论，分析函数 在 上的单调性，根据函数 在 上的值域为 求出 、 的值，即可得出结论.
【详解】因为 ，所以 ，
①当 时，当 时， ，则函数 在 上单调递减，
由题意可得 ，解得 ；
②当 时，则当 时， ，必有 ，
则 ，所以，函数 在 上递减，在 上单调递增，
由 ，可得 ，
当 时， ，
故当 时， ， ，
故当 时，函数 在 上的值域为 ，不合乎题意；
当 时，有 ，得 ，
此时，当 时， ， ，合乎题意.
综上， 有 个保值区间，故①错；
所有的保值 间为 和 ，长度之和为 ，故②对.
故选：B.
三､解答题
17. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， .（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以 为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线 的方向向
量与平面 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.
【小问1详解】
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 .
在正方形 中， .
而 ， 平面 ，
故 平面 .
【小问2详解】
以 为坐标原点，分别以 为 轴，
建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，从而 .
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，则 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
故 与夹面 的所成角大小为 .
18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启
动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 ，每年年底把除运营成本
万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
（1）若 ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到
3000万元？（结果精确到 万元）
【答案】（1）936万元
（2）3000万元【解析】
【分析】（1）用 表示第 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算 可得；
（2）由已知写出 ，然后由 求得 的范围．
【小问1详解】
记 为第 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，
则 ，
故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.
【小问2详解】
，
由 ，得 ，
故运营成本最多控制在 万元，
才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.
19. 在 中，设角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最大值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；
（2）由 得 ，因为 ，
两方程联立结合均值不等式即可得出答案.
【小问1详解】
由 ，
得
即 ，
从而 ，
由 ，得 .
【小问2详解】
由 得 ，
从而 ，即
又因为 ，得
所以 ，即 ，从而 ，
而 ，故
解得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
20. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 .
（1）以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ，求椭圆 的离心率；
（2）已知 ，设点 是椭圆 上一点，且位于 轴的上方，若 是等腰三角形，求点
的坐标；
（3）已知 ，过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ，若动直线 也
过点 且与椭圆 交于 两点（均不同于 ），是否存在定直线 ，使得动直线 与 的交
点 满足直线 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）存在， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知 ，即可知离心率；
（2）分 ， 和 三种讨论即可；
（3）设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算 ，将韦达定理式整体代入，再计算 ，得到方程即可.
【小问1详解】
由题意得 即 ，所以离心率 .
【小问2详解】
由题意得椭圆
①当 时，由对称性得 .
②当 时， ，故 ，设 ，
由 得 ，
两式作差得 ，
代入椭圆方程，得 （负舍），故
③当 时，根据椭圆对称性可知 .
【小问3详解】
由题意得椭圆 .
设直线 ，
由 得 .设 ，则 ，
，
，
由 ，得 .
【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线 ，从而将其与椭圆方程联
立得到两根之和与之积式，然后再计算出 的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入
，设直线 .
21. 若函数 是其定义域内的区间 上的严格增函数，而 是 上的严格减函数，则称
是 上的“弱增函数”.若数列 是严格增数列，而 是严格减数列，则称 是“弱增
数列”.
（1）判断函数 是否为 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 是自然对数的底数）；
（2）已知函数 与函数 的图像关于坐标原点对称，若 是 上的“弱增函数”，求 的最大值；
（3）已知等差数列 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 的前 项和为 ，设
是正整数，常数 ，若存在正整数 和 ，使得 且 ，求 所有可
能的值.
【答案】（1） 是 上的“弱增函数”，理由见解析
（2）1 （3） 所有可能的值为 和
【解析】
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义，分析 和 在 上的单调性即可；
（2）由函数 与函数 的图像关于坐标原点对称，求出函数 ，
因为 是 上的“弱增函数”，根据二次函数和对勾函数的图像性质分别求出 的增区间
和 的减区间，得到 ，即可求出 的最大值；
（3）由等差数列 是首项为 4 的“弱增数列”，且公差 d 是偶数，解得 ，即可求出
，通过分析 的单调性，可得 ，从而赋值别求得符合题意的 的值.
【小问1详解】
函数 是 上的“弱增函数”，理由如下：
显然， 是 上的严格增函数，
对于函数 ， ，当 时， 恒成立，
故 是 上 的严格减函数，
从而 是 上的“弱增函数”.
【小问2详解】
记 ，
由题意得 ，
，
由 是 上的“弱增函数”可得函数 是 上的严格增函数，而 是
上的严格减函数，
函数 图像的对称轴为 ，且是区间 上的严格增函数，
令 ，则 ，
当 ，即 时，解得 或 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
即函数 是区间 上的严格减函数，
由 是 上的“弱增函数”，得 ，
所以 ，
所以 的最大值为1.【小问3详解】
，
由 是“弱增数列”得 ，即 .
又因为d是偶数，所以 ，
从而 .
故 ，
由 得 ，所以当 时， ，即 ，
故若 ，则不存在 和 ，使得 .
从而 .
若 ，解得 ，满足；
若 ，解得 ，满足；
若 ，解得 ，不满足.
当 时， ，故不存在大于5的正整数，使得 .
综上， 所有可能的值为 和 .
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法
