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专题 12.10 角平分线的性质（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为
的面积为 ，则 的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ，
， ，则 长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）在 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相
等．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油
站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点 ，
于 ， 于 ，下列结论：
；
点 在 的平分线上；
，
其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．（2024·山东烟台·一模）如图，在 中， ，根据图中尺规作图痕迹， 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图， 的周长为23， 和 的角平分线交于点
O，且 于点D， ，则 的面积为（ ）A．23 B．34 C．39 D．46
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，
交 于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ，
点 在射线 上，过点 作 ， ，垂足分别为点 ， ，点 ， 分别在 ， 边
上， ．若 ，则 的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
9．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ，
和 的面积分别为48和26，则 的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
10．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在 中，延长 到点 ，延长 到点 ．
的角平分线 交于点 ，过点 分别作 ，垂足为 ，则下列结论
正确的有（ ）① 平分 ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在 中， 是 边上的高线， 的平分线交 于E，当
， 的面积为12时， 的长为 ．
12．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点 在 内， 于 点， 于 点，
且 ， ，则 ．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ，点D在 的延长
线上， 的平分线与 的平分线相交于点E，连接 ，则 ．14．（19-20八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，
交 于点 ， ， ，则 的面积为 ．
15．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤作图：
①以点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ， 于 ， 两点；②分别以点 ， 为圆心以大
于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；③连接 并延长交 于点 ．则 的长是 ．
16．（2024·重庆·三模）如图，四边形 中， 平分 ， 于点E，
，则 的长为 ．
17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在 中， 平分 ， 为高，
的面积为6， ，则 的长为 ．
18．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将 纸片沿 折叠，点A落在点 处，恰好满足
平分 平分 ，若 ，则 度数为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 平分
， 于点E， 于点F．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的面积．
20．（8分）（2024·广东汕头·二模）如图，已知 中， ， ， ， ，
（1）作 的平分线，交 于点 ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，试求 的值．
21．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在 中， ， 是 上一点，
于点 ，且 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的度数．22．（10分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图， 于E， 于F，若
（1）求证： 平分 ；
（2）直接写出 之间的等量关系．
23．（10分）（21-22八年级上·湖北黄冈·期中）如图， ， ， ， 、
交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 平分 ；
（3）求 的度数．（用含α的式子表示）
24．（12分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的依据是
，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在 中， 是 的角平分线，请说明 ．
小明在 上截取 ．连接DE，则 ．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中， ， ， 和 的平分线 ， 交 于点 ．
过点 作 于点 ．若 ，求点 到 的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在 中， ， ， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．请判
断 与 之间的数量关系，并说明理由．参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作 于 ，
是 的角平分线， ，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角
形的面积列出方程是解题的关键．
过点 作 于 ，得到 ，然后利用 的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点 作 于 ，
是 的角平分线， ，
，
，
解得 ．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．根据题意可推出 是 三条角平分线的交点，即 是 的角平分线， 是
的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出 的度数．【详解】 到 三边的距离相等
是三条角平分线的交点
是 的角平分线， 是 角平分线
，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角
形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，
如图所示：外角平分线分别相交于点 ，
且内角平分线相交于点 ，
∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握
角平分线的性质和判定．
作 可通过角平分线的性质判断 ；根据角平分线的判定判断 ；利用 和推得 ， ，再根据
即可判断 ，综上即可得解．
【详解】解：作 于点 ，
、 分别平分 、 ，
且 、 、 ，
， ，
，
正确；
且 、 ，
在 的平分线上，
正确；
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
同理可得 ，
，
，，
，
正确；
综上， 都正确．
故选： ．
6．C
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和，尺规作一个角的平分线．解题的关键是确定点O
为三条角平分线的交点．由作图可知，点 为三条角平分线的交点，利用角平分线平分角和三角形的内
角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵ 中， ，
∴ ，
由作图可知，点O为三条角平分线的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
7．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相
等是解题的关键．
过点O作 于E， 于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得
，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图: 过点O作 于E， 于F，
的平分线交于O， ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选D．
8．D
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知
识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知 平分 ，由角平分线的性质定理可得
，进而证明 ，由全等三角形的性质可得 ，再证明
，可得 ，然后由 求解即
可．
【详解】解：根据题意，可知 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边
的距离相等是解题的关键．作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，证明， ，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作 于 ，
是 的角平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
，
同理， ，
设 的面积为 ，由题意得，
，
解得 ，
即 的面积为11，
故选：A
10．D
【分析】①过点 作 于点 ，根据角平分线的性质推出 即可进行判断；②证
， 即可进行判断；③根据“ 平分 ， 平分 ”
即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】解：①如图，过点 作 于点 ，
∵ 的平分线 交于点P， ， ， ，
， ，
，
∴ ， ，
∴ 平分 ，故①正确；
② ， ，
，
，在 和 中，
，
，
同理： ，
，
，
，故②正确；
③ 平分 ， 平分 ，
， ，
，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确．
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内
角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．4
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作 于点F，根据角平分线的性质可得出 ，
由三角形面积可得出 ，即可求出 的长．
【详解】解：过点E作 于点F，如图所示．
∵ 平分 ，且 ，
∴ ．
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
12． /55度
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得 平分 ，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】∵ ， ，且 ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关
键．根据角平分线的性质即可求得点E到 的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到
是 的角平分线，进而得到 的度数．
【详解】解：过点E分别作 ， ， ，垂足分别为H，F，G，
∵ 的平分线与 的平分线相交于点E，∴ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．5
【分析】作 于F，根据角平分线的性质求得 ，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，作 于F，
平分 ， ， ，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
故答案为：5
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
15．
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断 平分
，根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ，进而可得 ，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知 平分 ，
，，
，
，
，
，
故答案为： ．
16．
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作 交 的延长
线于点F，证明 ，则 ，证明 ，则
，得到 ，即可得到 的长．
【详解】解：过点C作 交 的延长线于点F，
∵ 平分 ， 于点E， 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，故答案为：
17．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，
构造全等三角形．
延长 ，过点A作 于点F，易得 ，则 ，进而推出
， ，则 ，通过证明 ，得出
，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长 ，过点A作 于点F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，∴ ，
解得： ，
故答案为：3．
18． /70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，
熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于 是解题的关键．连接
，过 作 ，利用角平分线的判定得到 平分 ，利用角平分线
性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得 ；再根据折叠可知，得出 ，由等
腰三角形性质得出 ，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接 ，过 作 ，如图所示：
∵ 平分 ， 平分 ，
，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵将 纸片沿 折叠，点A落在点 处，∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
是 的一个外角，
∴ ，
故答案为： ．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质：
（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出 ，再利用三角形面积公式即可求出．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 平分 ， ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平
分线、角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于
这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点 和这个交点即可；（2）根据角平分线的性质定理，得出 中，边 上的高 ，再利用三角形的面积公式计算求
值即可．
【详解】（1）解：如图，射线 即为所求，
（2）解：∵ 平分 ， ，
∴ 中，边 上的高 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求解．
此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题．
【详解】（1）证明： ， ， ，
点 在 的平分线上，
平分 ．
（2）解： ， ，
，
平分 ，
22．(1)见解析
(2)结论： ，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理
有 全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）根据相“ ”定理得出 ，故可得出 ，所以 平分 ；
（2）由（1）中 可知 平分 ，故可得出 ，所以 ，
故 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∴在 和 中，
，
∴
∴ ，
∵
∴ 平分 ；
（2）解：结论：
理由：∵
∴
∵
∴
∵ ，
∵
即： ．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由条件根据 可证明 ，则结论得证；
（2）过点 作 于 ， 于 ，可证明 ，可证得 ，利用角平
分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得 ，再利用三角形内角及外角的性质可求得 ．
【详解】（1）证明： ，
，在 和 中，
，
，
；
（2）证明：过点 作 于 ， 于 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
于 ， 于 ，
平分 ；
（3）解： ，
，
，
，
，
由（2）得 平分 ，
，
即 ．24．（1） ；（2）①见解析；②点 到 的距离是 ；（3） ，理由见解析
【分析】（1）直接利用 证明 即可得出 ；
（2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，利用角平分线的性质证得 ,即 为 的中点，
进而求得 的长即可；
（3）在 上截取 ，连接 ；再证明 得到 ， ；再证明
，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：
根据作图可得 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为： ；
（2）①在 上截取 ．连接DE，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，和 的平分线 ， 交 于点 ，
，即 ，
，即点 到 的距离是 ；
（3） ，理由如下：
，
，
， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．
，
；
在 上截取 ，连接 ，则 ，
， ，
∵ ，
，
，
，
又 ，
，
是 的角平分线，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判
定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
