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专题 12.3 三角形全等的判定（SSS 与 SAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS）
（1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或
“SSS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△ 中，
（3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书
写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同
一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来
【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS）
（1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或
“SAS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△ 中，（3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，
故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点三】找等角和等边常用途径
（1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和
（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等.
（2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和
（差）相等；④由中线得到的线段相等等等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用SSS证明三角形全等
【例1】如图， .求证：（1） ； （2）
【答案】（1）见解析；（2） 理由见解析.
【分析】（1）证明三角形 即可解题, （2）利用全等得到∠A=∠D,即可解题.
（1）证明：
，即
在 和 中，
（2）
理由如下：由（1）得：
（内错角相等，两直线平行）
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和平行线的判定,属于简单题，熟悉全等三角形的判定方法和平行
线的判定定理是解题关键.
【变式1】如图，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可证明 ≌ 或
≌ ．
【答案】 △ABC △DCB △ABD △DCA解答：△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，理由是：
∵在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC△DCB（SSS），
同理△ABD≌△DCA，
故答案为△ABC，△DCB，△ABD，△DCA．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知 ，点 为射线 上一点，用尺规按
如下步骤作图：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；②以点 为圆心，
以 长为半径作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交前面的弧于点 ；④连
接 并延长交 于点 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，解题的关键是根据题意，则
，则 ，根据 ，三角形的外角和，即可．
解：由作图可知，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：D．
【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图， 交于点 ．
（1）线段 与 有怎样的数量关系？证明你的结论．
（2） 与 有怎样的数量关系？证明你的结论．
【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边、三角形的外角性质：
（1）先通过 证明 ，得 ，然后结合等角对等边，即可作答．
（2）根据 以及三角形的外角性质，即可作答．
（1）解： ，理由如下：
∵
∴
∴
；
（2）解： ，理由如下：
由（1）知
∵
．
【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， ， ， ．若 ，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，由题意可证 ，可
得 ，再根据三角形内角和即可得 ．
证明：如图，设 交于点 ，在 和 中，
，
，
，
， , ，
．
故答案为： ．
【变式2】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知 ， ， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据 证明 ，得出 即可得
出答案．
解：∵在 和 中
，∴ ，
∴ ．
故选：A．
【题型3】用SAS证明三角形全等
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图， ，请添加一个条件，使
．
（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
（2）利用（1）中添加的条件，求证： ．
【答案】(1) （答案不唯一） (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的
定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到 ，推出 ， ，再根据判
定定理 得添加一个条件为 ，即可使 ；
（2）根据三角形全等的判定定理 证明即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由 得添加一个条件为 ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）证明： ，
，，
即 ，
在 和 中，
，
．
【变式1】（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图， ， ，将 绕D
逆时针旋转90°至 ，连接AE，若 ，则 的面积是 ．
【答案】3
【分析】由旋转可得 ，可求得 ，可求得 的面积．
解：如图，过D作 于点H，过E作 交 的延长线于F，则四边形 是矩形，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故答案为：3．【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
【变式2】如图， 是 的中线，E，F分别是 和 延长线上的点，且 ，连接
，下列说法：
① ；
② 和 面积相等；
③ ；
④ ；
⑤ ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义可得 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等
三角形对应边相等可得 ，全等三角形对应角相等可得 ，再根据内错角相等，两直
线平行可得 ，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
解：∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，故④正确
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ，故⑤正确，
∴ ，故③正确，
∵ ，点A到 的距离相等，
∴ 和 面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．
【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合
【例4】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知 ， ， 是过点A的直线，B、E
两点在直线 上， ， ．
（1）如图1，试说明：
① ；
② ；
（2）当 绕点A旋转到图2的位置时， 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并
给予证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) ，证明见解析
【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识
别图形是解题的关键．
（1）①根据已知条件得到 ，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到 即可得到结论；
（2）根据角的和差得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据线段的和差即可得
到结论．
（1）解：①证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）猜想： ，
证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是 外两点，连接 ， ，有 ，
， ．连接 ， 交于点F，则 的度数为 ．
【答案】 /140度
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等
知识，证明 是解题的关键．
设 交 于点G，由 ，推导出 ，而 ， ，即可根
据“ ”证明 ，得 ，可求得 ，则，于是得到问题的答案．
解：设 交 于点G，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个 角的直角三角板放在一起，点B在 上，
A、C、D三点在一条直线上，连接 延长线交 于点F．若 ，则 的面积
为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过 和 都是等腰直角三角形，得出
再证明 ，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
解：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值
【例5】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图， 是 外一点， 是 上一点， ，
， ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接 ，证明 ，可得
，再证明 ，即可得到 ，掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键．
解：连接 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（2023·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ，点D为 上一点，
连接 ．过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ， ，则
的长度为 ．
【答案】3
【分析】证明 ，得到 ，即可得解．
解： ∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形
全等是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形 中， ， ，若连
接 、 相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明 ，根据全等三角形的性质可得
， ，再证明 ， ．解题的关键是掌握判定
两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、 ．
解： 在 和 中
，，
， ，
在 和 中
，
，
在 和 中
，
，
综上，图中全等三角形共有3对，
故选：C．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在 和 中， ， ， ．
求证： ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“
”证明 ，即可解决问题．
证明： ，，即 ，
在 和 中，
，
．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的
关键.
（1）先证明 ，再结合已知条件可得结论；
（2）证明 ，再结合三角形的内角和定理可得结论.
（1）证明：∵
∴ ，即
∵ ，
∴
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
2、拓展延伸【例1】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
（1）若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
（2）若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
（3）若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据
AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定
△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
证明：（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行，
【点拨】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角对应相等时，角必须是两边的夹角
【例2】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点
，且 于 ， 于 ．
（1）当直线 绕点 旋转到图 的位置时，求证：
① ；
② ；
（2）当直线 绕点 旋转到图 的位置时， ， ，求线段 的长．
【答案】(1) 见解析， 见解析；(2) ．
【分析】（1） 由已知推出 ，因为 ， ，
推出 ，根据 即可得到答案；
由 得到 ， ，即可求出答案；
（ ）与（ ）证法类似可证出 ，能推出 ，得到 ， ，代
入已知即可得到答案，
本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1） 证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ；
证明：由（ ）知： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
