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专题12.5 全等三角形的判定（SSS、SAS）（分层练习）
一、单选题
1．如图， ， ，则 ，其依据是（ ）
A． B． C． D．
2．一个三角形的三边长为 ， ， ，另一个三角形的三边长为 ， ， ，如果由“ ”可以判
定两个三角形全等，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，木工师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，在 的边 上分别取
，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到 的平分线 ．做法
中用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A、B、C、D在同一直线上， ，AE=DF,添加一个条件，不能判定 AEC≌△DFB的
是（ ） △
A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F5．如图所示的网格是由 个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
6．2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国
空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三
角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得 ，E，F分别是 ，
的中点， ，那么 的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：
①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
8．如图，在 和 中，点E、F在 上， ， ，添加下列一个条件
后能用“ ”判定 的是（ ）A． B． C． D．
9．如图，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ，连接 ， 平分
交 于点G．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则 和 的关系是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F，若AB=DE，BC=EB，AC=DB，则
∠ACB等于（ ）
A．∠D B．∠E C．2∠ABF D． ∠AFB
12．如图，点E、D分别在AB、AC上，若AB=AC，BE=CD，BD=EC， ， ，则
∠BOC度数是（ ）A． B． C． D．
13．如图，正五边形 中， ，则 的度数是（ ）
A．50° B．54° C．60° D．72°
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，
使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝
（ ）
A．49° B．59° C．41° D．51°
15．如图在 ， 中， ， ， ．连接 ， 交于点
．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ，其中结
论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题
16．如图，AB，CD相交于点O， ，请你补充一个条件，使得 ，你补充的条
件是______．
17．如图，在 ABC 和 ADC 中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝125°，则∠D＝__________ °．
△ △
18．如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，那么 ABC≌_____．
△
19．如图， 与 相交于点O，且 ， ，则 与 的位置关系是_____．
20．如图所示， ，且 ，则 _______________．21．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得 ，这
里判断 的依据是___________．
22．如图，若 、 ， ， ，则 _________．
23．如图， ， 于A， 于 ，且 ，点 从 向A运动，每秒钟走
， 点从 向 运动，每秒钟走 ，点 ， 同时出发，运动______秒后， 与 全等．24．如图， ， ，将 绕D逆时针旋转90°至 ，连接AE，若
，则 的面积是 _______．
25．如图，在锐角 中， ， ， 的平分线交 于点D，点M，N分别是
和 上的动点，则 的最小值是______．
26．如图，点 ， 在线段 上，且 ， ， ，连接 ， ， ， ，
则图中共有_____对全等三角形．
27．如图， ， ，M、N分别是 、 的中点，若 的面积为 ，则图中阴
影部分的面积为________．28．如图，在 ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB，交AB于点E，连接DE，若
∠A=100°，∠B△=45°，则∠BED=________ °．
29．如图，在 中，已知 ， ， ．若 ，则 的度数为
__________．
30．如图， 与 相交于点 ， ， ， ，点 从点 出发，沿
方向以 的速度运动，点 从点 出发，沿 方向以 的速度运动， 、
两点同时出发．当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动．设点 的运动时间为 ．连接 ，
当线段 经过点 时， 的值为____________．三、解答题
31．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， ， ， ，
，求 ．
32．如图，C为 上一点．点A，D分别在 两侧． ， ， ．
(1) 证明： ；
(2) 若 ，求 的度数．33．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上． ， ．从下面①②③中选取一个作为
已知条件，使得 ．
① ；② ；③ ．
你选择的已知条件是______（填序号），利用你选择的条件能判定 吗？请说明理由．
34．如图，在 与 中， ， ， ， 与 相交
于点F．求证： ．35．已知四边形 中， ， ，如图2，点P，Q分别在线段 ，
上，满足 ，求证：．
36．如图，在 中， 为 的中点， ， ，动点 从点 出发，沿
方向以每秒 的速度向点 运动；同时动点 从点 出发，沿 方向以每秒 的速度向点A运
动，运动时间是 秒．
(1) 在运动过程中，当点 位于线段 的垂直平分线上时，求出 的值；
(2) 在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 和 全等，若存在，求出 的值．若不存在，
请说明理由．参考答案
1．C
【分析】由题可得，两个三角形三条对应边相等，则判断其全等依据为边边边．
解：在 和 中，所以
故选：C
【点拨】本题考查三角形全等的判定，找到对应条件是解题的关键．
2．C
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
解： 由“ ”可以判定两个三角形全等，
， ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意可得 由此即可利用 证明 ，得
到 ．
解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，
全等三角形的判定定理有 ．
4．B
【分析】根据题目条件可得AE＝DF，∠A＝∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作
出判断．
解：
A．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，∵AE＝DF，
∴ AEC≌△DFB（AAS），
故△此选项不合题意；
B．添加条件EC＝BF，不能证明 AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
C．∵AB＝CD， △
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，
∴ AEC≌△DFB（SAS），
故△此选项不合题意；
D．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故此选项不合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
5．B
【分析】如图所示（见详解），证明 可得， ，在
正方形 中， 是对角线，由此即可求解．
解：如图所示，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在正方形 中， 是对角线，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根
据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
6．D
【分析】由E，F分别是 ， 的中点， ，得出 ；根据三边对应相等，证明
．
解：∵E，F分别是 ， 的中点，
∴
在 与 中
∴
故选：D
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
7．A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
8．A
【分析】先根据 得到 ，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
A选项，因为 ， ， ，满足“ ”判定 ，符合题意；
B选项，因为 ， ， ，是用“ ”判定 ，不符合题
意；
C选项，因为 ， ， ，是用“ ”判定 ，不符合
题意；
D选项，因为 ， ， ，不能判定 ，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
9．B
【分析】可以先证明 ，则 ，利用角平分线可得 ，再利用直角
三角形的两锐角互余解题即可．
解：∵正方形
∴
在 和 中，
，
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
故选B．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关
键．
10．C
【分析】先证明 ，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可．
解：如图，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键．
11．D
【分析】先根据SSS定理得出 ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是 BFC的外角，可
知∠AFB=∠ACB+∠EBD，由此可得出△∠AFB=2∠ACB，故可得出结论． △
解：在 ABC与 DEB中， ，
△ △
∴△ABC≌△DEB（SSS），
∴∠ACB=∠EBD．
∵∠AFB是 BFC的外角，
∴∠AFB=∠△ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB，即 ∠AFB=∠ACB，
故选：D．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
12．D
【分析】先利用SSS证明 ，利用全等三角形的性质推出 ，连接AO，延长
至F，利用三角形外角的性质可得 ，由此可解．
解：∵AB=AC，BD=EC，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
如图，连接AO，延长AO至F，
根据三角形外角的性质可得， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，证明 是解题的关
键．
13．B
【分析】连接 ， ，正五边形 中，得到 ， ，证得
根据全等三角形的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
解：连接 ， ，
五边形 是正五边形，
， ，
在 和 中
，
．
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
14．C
【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边
AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.
解：在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，
∴∠CBD＝21°，
∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°
故选：C.
【点拨】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，
解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.
15．C
【分析】设 交 于点O， ，可以判断①②，由 ， ，
可以判断③，过点C作 ， 于点G，H，由 ，得 ，根据角平分线的
性质可以判断④．
解：如图，设 交 于点O，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③错误；
过点C作 ， 于点G，H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，故④正确，
综上所述：结论正确的为①②④，共3个，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的
性质，解决本题的关键是得到 ．
16． （答案不唯一）
【分析】在 与 中，已经有条件： 所以补充 可以利用 证
明两个三角形全等.
解：在 与 中，
所以补充：
故答案为：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的
关键.
17．125
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠B=∠D=125°．解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B=∠D=125°．
故答案为：125．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18． BAD
【分析△】根据已知条件，结合两个三角形存在公共边即可证得 ，可得答案．
解：在 和 中，
，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等时，要特别注意公共边和公共角．
19．平行
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得 与 的关系，根据平行线的判定，可得答案．
解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．全等三角形的判定定理有
正确选择判定方法是解题的关键．
20．【分析】根据题意得 ，用SAS证明 ，即可得 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （SAS），
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
21．
【分析】首先要清楚画图的步骤，步骤是以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交 于
点 ；任意画一点 ，画射线 ，以 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，以 为圆心，
长为半径画弧，可确定点 的位置，过点 画射线 ， 就是与 相等的角；则通过作图我
们可以得到 ，接下来结合全等三角形的判定，即可解答．
解：根据作法可知 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查尺规作图，解答本题的关键是掌握用尺规作一个角等于已知角的步骤，也考查了全
等三角形的判定．
22．
【分析】连接 并延长至点E，先证明 ，得到 ，
，再利用三角形外角的性质，求得 ，即可求出 的度数．
解：如图，连接 并延长至点E，
在 和 中，
，，
， ，
， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，作辅助线构造全等三角形是解题
关键．
23．6
【分析】设运动x秒钟后 与 全等；则 则 ，分两种情
况：①若 ，则 ，此时 ， ；②若 ，则 ，得出
， ，即可得出结果．
解：∵ 于A， 于 ，
∴ ，
设运动x分钟后 与 全等；
则 则 ，
分两种情况：
①若 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ；
②若 ，则 ，
解得： ， ，此时 与 不全等；
综上所述：运动6秒钟后 与 全等；
故答案为：6．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
24．3
【分析】由旋转可得 ，可求得 ，可求得 的面积．
解：如图，过D作 于点H，过E作 交 的延长线于F，则四边形 是矩形，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
25．6
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得
的最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角
形的面积公式即可得．
解：如图，在 上取一点E，使 ，连接 ，是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
又由垂线段最短得：当 时， 取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最
短等知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键．
26．3
【分析】易证△ABE≌△DCF,从而可得出△ABF≌△DCE,进而可得出△BEF≌△CFE．
解：∵AB∥DC
∴∠A=∠D
∵AB=CD,AE=DF
∴△ABE≌△DCF(SAS)∴AE=DF，BE=CF
∴AF=ED
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴BF=EC
∵EF=EF
∴△BEF≌△CFE(SSS)
故答案为：3．
【点拨】本题考查三角形全等的证明，需要注意SSA是不能证明全等的．
27．3
【分析】连接 ，根据三角形中线平分三角形面积得到 ，
，进而得到 ，再利用“ ”证明 ，得到
， ，即可求出图中阴影部分的面积．
解：连接 ，
M、N分别是 、 的中点，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，故答案为：3．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形
是解题关键．
28．55
【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形
外角的性质可求∠BED．
解：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE与△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠A＝100°，
∵∠B＝45°，
∴∠BED＝∠CDE﹣∠B＝100°﹣45°＝55°．
故答案为：55．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100°
29．70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED
∵∠A=40°∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点拨】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
30．1或2/2或1
【分析】先根据 证出 ，从而得到 ，再证明 得到 ，
再分两种情况列方程列出方程求解即可．
解：当线段 经过点C时，如图：
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，当点 从点 出发，沿 方向以 的速度运动，点Q从点D出发，沿 方向以 的
速度运动，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ；
当点 从点 出发，沿 方向以 的速度运动，点Q从点D出发，沿 方向以 的
速度运动，
∴ ， ， ，
∴ ，解得 ；
综上：当 或 时，线段 经过点 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及动点问题，解题的关键是熟练掌握全等三角三
角形全等的判定方法，并且理解动点的运动过程．
31．
【分析】根据题意，直接根据 证明 ，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全
等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有 ．
32．(1)见分析；(2)45°
【分析】（1）根据平行线的性质得 ，即可根据SAS判断三角形全等．
（2）由（1） 可得 ，在由三角形外角和定理即可解答．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形全等的判断与性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握其性质
是解题的关键．
33．①或③证明见分析
【分析】选择条件后证明 ，得出 ，即可证明
解：选择条件①或③，
选择条件①：在 和 中，
．
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
选择条件③：在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解
题的关键．
34．见分析
【分析】证明 ，得到 ，推出 ，即可得出结论．解：证明：∵ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明 ．
35．证明见分析
【分析】在 的延长线上取点K，使得 ，连接 ，根据四边形内角和，证明
，得到 ， ，再证明 ，得到 ，
进而推出 ，然后结合 ，即可证明结论．
解：证明：如图，在 的延长线上取点K，使得 ，连接 ，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
36．(1) ；(2)存在，1
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，据此列出方程求解即可；（2）分情况讨论：当 时， ≌ ， ， 时， ≌ ．
解：（1）由题意得 ， ，
点 位于线段 的垂直平分线上，
，
，
解得 ；
（2） ，
，
又 ，
当 时， ≌ ，
， 为 的中点，
，
，
解得 ；
当 ， 时， ≌ ，
，此方程组无解，
不存在 ≌ 这种情况，
综上所述，当 时， ≌ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平
分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
