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专题 12.7 全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜
边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt 中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据
“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ，
， ，
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证 ，再证 即可；
（2）根据 可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解．
（1）证明： ， ，
和 是直角三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【变式1】如图，已知 ， ，若用 判定 和 全等，则需要添加的条件
是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图示可知 为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
. ，符合两直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意；
. ， ，不是两直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；
. ，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
. ， ，不是两直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【点拨】此题考查了对全等三角形判定定理 的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图， ， 于点D， 于点
E， ，若 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】证 得 ，即可求解；
解：∵ ， ，
∴ 是直角三角形，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图 为 的高， 为 上一点， 交 于
且有 ， ．
（1）问 与 的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．
（2）直接写出 的度数．
【答案】(1) ， ，见解析； (2)
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和等知识，证明 是解题的关键．
（1）由已知得 ，由 ， ， ，根据“ ”证明
，得 ，所以 ，则 ；
（2）由全等三角形的性质得 ，而 ，所以 ．
解：（1） ， ，
理由：由已知得 ，
为 的高，
于点 ，
，
在 和 中，
，，
，
，
．
（2） 的度数是 ，
理由：由（1）得 ，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图， 中， ， 于点D，
于点F，交 于点E， ，连接 交 于点G．下列结论：① ；② ；
③ ．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据 ， ，
证明 ，得到 ， ， ，结合 ， ，继
而得到 ，得 ，判断即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵
∴ ，
故①②③都正确．
故选D．
【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在 中，M为边 的中点， 于点E ，
于点F，且 ．若 ，则 °．
【答案】50
【分析】证明 ，可得 ，利用三角形内角和计算即可得答案．此题
考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明 是解题的
关键．
解：∵M为边 的中点， 于点E ， 于点F，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图， 中， ，D是 延长线上一点，点
E是 的平分线上一点，过点E作 于F， 于G．（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解； (2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用 即可证明；
（2）先利用 证明 ，得到 ，继而得到 ，而 ，则
，即可求解．
（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
在 和 中：
， ， ，
∴ ．
（2）解：∵ 平分 且 ， ，
∴ ．
∵
∴ ，
∵
∴
∴
即
在 和 中
， ，
∴ ．
∴ ．又∵ ， ，
即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图， 交 于点 ，交 于点 ， ，
， ，给出下列结论： ；② ；③ ； ，其中
正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明 得出 ，
即可判断①②；证明 即可判断③；证明 得出 ，即可
判断④，从而得出答案．
解： ， ， ，
，
， ，故②正确，符合题意；
，即 ，故①正确，符合题意；
，
，
， ，，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
， ，
，
，
和 不一定相等，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中， ， 平分 ，
， ，以下四个结论：
① ，
② ，
③ ，
④ ．正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由
即可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明 ，可判断
②；不能证明 与 不一定全等，即可判断③；根据 和 互余， 和 互余，
而 ，可得 ，即可判断④．
解：∵ ，
∴ ，故①正确；∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，而 与 不一定垂直，
∴ 与 不一定全等，
故 与 不一定相等，故③错误；
∵ ，
∴ 和 互余， 和 互余，而 ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①②④．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ．过点 作 ，垂足为
，延长 至点 ．使 ．在边 上截取 ，连接 ．求证： ．
【分析】利用三角形内角和定理得 的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
证明：在 中， ， ，
．
．
．
，
．在 和 中，
，
∴ ．
．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点
均在小正方形方格的顶点上，线段 交于点 ，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
解：如图，
由图可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线 ， ，点A，B分别在射线 ，
上，点C为平面内一点，连接 ， ，有 ．
（1）如图1，若 ，则 和 的位置关系是______；
（2）如图2，若 ， ，请求出 和 的度数的等量关系式；
（3）在（2）的条件下，过点C作 交射线 于点D，当 时，求 的度
数．
【答案】(1) ； (2) ；(3)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质、
三角形的外角性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到 ，结合题意判定 ，根据全等三角形的性质得出
，即可判定 ；
（2）根据全等三角形的性质及题意得到 ，再利用三角形内角和定理及三角形外角性
质即可得解 ；
（3）根据三角形外角性质、平行线的性质及题意即可得解．
（1）证明： ，过程如下
，，
在 和 中，
，
，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
；
（3）解： ， ，
，
，
，
，
由（2）得， ，
，．
【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形 中， ，
，且 ，求证： ．
（2）如图2，若在四边形 中， ， ， 分别是 上的点，且
，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论 仍然成立；理由见解析
【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三
角形是解此题的关键．
（1）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证明 可得 ，再证明
，可得 ，即可得出结论；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证明 可得 ，再证明
，可得 ，即可得出结论．
证明：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
则 ，
又 ，
∴ ，
在 和 中，，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）结论 仍然成立，理由如下：
如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
