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专题 12.9 角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】角的平分线的性质
(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)符号语言：
OC平分∠ADB，
又 PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
PE=PF
【知识点二】角的平分线的判定
(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
又 PE=PF
OC平分∠ADB，
【知识点三】角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明
【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在 中， ， 于点 ，
平分 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图， 平分 ，点P是射线 上一点，
交于点M，点N是射线 上的一个动点，连接 ．若 ，则 的长度不可能是
（ ）
A．18 B． C．6 D．
【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在 中， ， 的平分线交于点O，
点O到 边的距离为3，且 的周长为20，则 的面积为 ．【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明
【例2】如图， 于 于F，若 ，
（1）求证： 平分 ； （2）已知 ，求 的长．
【变式1】如图，在 中， ， ， ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， ，三角形的外角
和 的平分线交于点E，则 ．
【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值
【例3】如图， 和 中， ，连接 与
交于点M， 与 交于点N．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）连接 ，有以下两个结论：① 平分 ；② 平分 ，其中正确的一个是
（请写序号），并给出证明过程．【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， ，M是 的中点， 平分
，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在 中， ， ，
的平分线与 的外角平分线交于点 ，连接 ，则 的大小等于 ．
【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明
【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：
（1）如图1，已知 ，利用直尺和圆规，作 的平分线 交 于点 （保留作图痕迹，不要
求写作法）；（2）如图2所示， 是 的角平分线 分别是 上的点，且 ，求
证： ．
【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半径画
弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点O，作
射线 ，交 于点E．已知 ， ， 的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上
分别截取线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，
两弧交于点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
（所在圆的半径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为
（ ）A． B． C． D．
【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过
证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根
据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则
的 边上的中线长 的取值范围是
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在 中， 为 边上的高， 是
的角平分线，点 为 上一点，连接 ， ．
（1）求证： 平分
（2）如图2，连接 交 于点 ，若 与 的面积相等，求证：
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：思考如图12.3-3，任意作一个角 ，作出 的平分线 ．在 上任取一点P，过点P画出
， 的垂线，分别记垂足为D、E，测量 、 并作比较，你得到什么结论？在 上再取几个点
试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请
你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是 的平分线 上一点，过点P作 于点D， 于点E．求证：
．
【知识应用】（2）如图2， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点O，过点O作
于点D， 于点E，连接 ．
①证明： 平分 ；
②若 ，则 ________．
