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专题 13.5 等腰三角形（精选精练）（专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）等腰三角形的一个外角是 ，则顶角是（ ）
A． B． 或 C． D．
2．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，在 中， ， ，垂足为点 ，
，交 于点 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图， 中， ，且 ， 垂直平分 ，交
于点 ，交 于点 ，若 周长为16， ，则 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 中， 平分 交 于点D，过点D作
交 于点E，若 ， ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡．如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形 是边 上的一点． 下列条件不能说明 是
的角平分线的是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·吉林长春·一模）如图，在 中，若 ， ，根据图中尺规作图的痕迹推断，
以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形 中，过点B，A作 ， ， ， 交于
点F，若 ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图， 平分 ， 于点A， ， ．小明
用长度为3的线段 搭出了一个 ，它的一个外角 ，他必然还能搭成另一个 （
在 上），则 （ ）A． B． C． D．
9．（2024八年级·全国·竞赛）长方形纸片 中，长 ，宽 ．现将长方形纸片按
图1所示的方式折叠，使得 与 重合；再将 向右折叠，使得点 落在 的延长线上，如图2
所示，此时 与 相交于点 ．则 的面积是（ ）．
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图， 中， ，点E，F分别为边 ， 上的点，
将 沿 折叠得 ，连接 ， ，过点P作 于点D，点D恰好是 的中点．若
， 平分 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 ，点E在边 上，
且 ．若 ，则 的大小为 ．12．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ． 是 边的中线，
是 的平分线， 与 交于点O，则 的度数为 °．
13．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形 中， ， ， ， ．以点
为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别
与 ， 相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在
的内部相交于点 ，作射线 ，与 相交于点 ，则 的长为 （用含 的代数式表示）．
14．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，O是 内一点， ．若 ，则
度．15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， ， ，连接 ；若 ，
则 的面积为 ．
16．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，为测量一斜坡的坡角的大小，将一块等腰直角三角板的斜
边 置于斜坡上，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点C处，量得 ，则坡角
．
17．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在 中， ， ， 是 上的中线，作
，交 于点E，作 ，交 于点F，再作 ，交 于点G，如此作下去……
设 ， ， ，…， ， ，…，则 ．
18．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图，在 中， 于点 ，将 沿着
翻折得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，设 ，以下四个结论：（1）点 是 的中点；
（2）直线 是 的垂直平分线；
（3） ；
（4） ；
其中一定正确的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·湖南·模拟预测）如图， ，点P在 的内部，且满足 ．
求证： (1) ；(2) ．
20．（8分）（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 和 ， ， ，
， 与 交于点P，点C在 上．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．21．（10分）（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在 中，点 在 上，点 在 上，
， ， 与 相交于点 ，
（1）证明： ；
（2）求证： 为等腰三角形．
22．（10分）（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在 中， ，点 在线段 上，连接
并延长到 ，使得 ，过点 作 分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．
23．（10分）（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，
连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在 边上，且 ．（1）求证： ．
（2）求证： ．
（3）连接 ， 垂直平分 吗？说明理由．
24．（12分）（23-24八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】
如图①， 的内角 ， 的平分线 交于点D．
【建立模型】
如图①， 的内角 ， 的平分线 ， 交于点 ．
【建立模型】
（1）如图②，过点 作 的平行线分别交 ， 于点 ， ．请你写出 与 ， 的数量关系
并证明．
（2）如图③，在图①的基础上，过点 作直线 ，延长 和 ，分别交 于点 ， ，若 ，
，请你直接写出 的长度（不需要证明）．
【类比探究】
如图④， 的内角 的平分线 ，与它的外角 的平分线 交于点 ，过点 作 的
平行线分别交 ， 于点 ， ．请你写出 与 ， 的数量关系并证明．参考答案：
1．A
【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解，掌握知识点
的应用是解题的关键．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是 ，
∴相邻的内角为 ，
∴顶角是 ，
故选： ．
2．D
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线
合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质解答．
【详解】解： ， ，
，A正确，不符合题意；
，B正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，C正确，不符合题意；
与 的关系不确定，D错误，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出
，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，结合图形
计算，得到答案．
【详解】解： 周长为16，
，
，
，
垂直平分 ，，
， ，
，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行
线的性质得 ，则可得 ，再根据 即可求解，熟练掌握相关
的判定及性质是解题的关键．
【详解】解： 平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
故选A．
5．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ， ，
，即 是 的高线，
是等腰三角形， ，
是 的角平分线，故A选项不符合题意；
B、 是等腰三角形， ，
是 的角平分线，故B选项不符合题意；
C、若 ，不能说明 是 的角平分线，故C选项符合题意；
D、 ，，
∴ 是 的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】由图知， 平分 ， 垂直平分 运用垂直平分线性质，三角形内角和定理等角对等
边性质求解即可．
【详解】由图知， 平分 ， 垂直平分
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∴ ， ，
中，
∴
∴ ，故B项正确，不符合题意；
∵ ，
∴
∴ ，故C项正确，不符合题意；
∴
∴ ，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查尺规作角平分线和中垂线，三角形内角和定理，中垂线定理，角平分线定义，等角对
等边性质，熟悉相关定理是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，先
证明 ，再证明 ，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，在 与 中
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选C
8．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握等腰三角形两
底角相等，得出 ．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到
进而即可求解
【详解】解：在图2中， ，
∴ 的面积= ，
故选B
10．C【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．延长 交 于
点 ，连接 ，利用等腰三角形的性质求得 ， ，由 ，点D恰好
是 的中点，求得 ，再求得 ，由折叠的性质即可求解．
【详解】解：延长 交 于点 ，连接 ，
∵ ， 平分 ，
∴ 是线段 的垂直平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，点D恰好是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质，得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
11． /20度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，
由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出 ，
，由等腰三角形三线合一的性质得出 ，再根据角的和差
关系即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
12．115
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ， ，根据角平分线的定义可得 ，
再根据三角形的外角性质即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的顶角平分线、底
边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， 是中线， ，
， ，
，
是角平分线，
，
，
故答案为：115
13．
【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的
关键．
利用基本作图得到 ， 平分 ，，接着证明 得到 ，然
后利用 求解．
【详解】解：由作法得 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．63
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．
根据等腰三角形的判定与性质可知 ，再根据三角形内角和
定理解答即可．
【详解】解：∵ ，
是等腰三角形，
，
，
故答案为：63．
15．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构
造全等三角形．
首先作 ，作 交 的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出
，证明 ，得出 的高即为 ，即可求出面积．
【详解】解：过点A作 于E，作 交 的延长线于F，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， 的高即为 ，
∴ .
故答案为：4．
16． /30度
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，延长 交地面于E，由余角的性质可得答案．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， 为斜边，
∴ ，
∵ ，
延长 交地面于E，则 与地面垂直，∴ ，
∵ 地面，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查的是等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键．
17．2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据性质找出规律是解答本题的关键．
根据已知得 ，且 ，即可得到 ，即可解答原式．
【详解】由题意知： ，且 ，
即 ，同理 ，
，
∴ ．
故答案为；2．
18．
【分析①】②本③题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等
腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断 ，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定 ．
【详解】解： ， ， ①② ③④
， ∵
∴即点 是 的中点，故 正确．
将 沿着 翻折得①到 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，且 平分 ，
∴即直线 是 的垂直平分线；故 正确．
②，
∵
，
∴ ，
∴
，故 正确．
∴ ③
，
∵
，
∴
，故 错误．
∴ ④
综上 正确，
故答①案为②：③
19．(1)见解①析②③
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题
的关键；
（1）直接利用 证明两个三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，
；
（2） ，
，
∴点P在等腰 顶角的角平分线上，
．
20．(1)见解析
(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是
掌握全等三角形对应边相等，等边对等角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和．
（1）根据 推出 ，即可得出 ，根据全等三角形的性质，
即可求证；
（2）根据三角形的外角定理得出 ，根据全等三角形的性质得出 ，
最后根据等边对等角，即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定．
（1）利用 证明 可证得答案；
（2）由（1）易得 ，进而可求解 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
为等腰三角形．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明
．
（1）首先由 得到 ，然后证明 即可；
（2）根据等边对等角得到 ，然后结合 求解即可．
【详解】（1）证明：如图， ，
．
在 和 中，
，
．
（2）解：如图， ，
．
，
，．
．
，
．
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3) 垂直平分 ，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识：
（1）根据 ，可得 ，可利用 证明 ，即可；
（2）根据 ，可得 ，再由 ，可得 ，即可；
（3）根据 ，可得 ，再根据等腰三角形的性质解答，即可．
【详解】（1）证明： ，
，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
．
（3）解：结论： 垂直平分线段 ．理由如下：
∵ ，，
，
，
垂直平分线段 ．
24．（1） ，理由见解析；（2） ；（3） ，证明见解析
【分析】（1）先由角平分线定义得 ， ，再由平行线的性质得
， ，则 ， ，证出 ， ，进
而得出结论；
（2）同（1）证出 ， ，进而得出结论；
（3）同（1）证出 ， ，进而得出结论．
【详解】解：（1） ，理由如下：
如图②，
和 的平分线相交于点 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
即 ；
（2） ；理由如下：
如图③，
和 的平分线相交于点 ，， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
；
（3） ，理由如下：
如图④，
的平分线 与 的平分线 交于点 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题
综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考
常考题型．
