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★2023 年1月 16日
2022-2023 学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，
在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考
证号填涂在相应位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题
答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第I卷
一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，那么 等于（ ）
A.{-2,0,1} B.{-1,0,2} C.{-2,-1,0} D.{0,1,2}
2.下列命题中，错误的命题有（ ）
A.函数f（x）=x与 不是同一个函数
B.命题“ ， ”的否定为“ ， ”
C.设函数 ，则f(x)在R上单调递增
D.设x， ，则“x<y”是“ ”的必要不充分条件
3.已知角 的终边在直线3x-4y=0上，则 等于（ ）
A. B. C.1 D.
4.在等差数列 中， ， ，则 等于（ ）
A.19 B.18 C.17 D.205.如图所示的程序框图，输入3个数， ， ， 则输出的a为（ ）
A.0 B. C. D.
6.源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条
件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，
其中 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
7.过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A､B两点，且 ，则线段AB的中点到y轴的距离为（
）
A.1 B.4 C.3 D.7
8.已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+6）+f（x）=2f（3）且f（1-x）+f（x-1）=0，则f（2022）等于（
）
A.-3 B.0 C.3 D.6
9.已知函数 在区间 上是增函数，且在区间
上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分
别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工 ”为事件 ，“任取一个零件是次品”为事件
B，则（ ）① ② ④ ④
A.①②④ B.②③④ C.②③ D.①②③④
11.设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点A，B，若点
）满足 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12.已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.
第Ⅱ卷
二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置
13.若复数(1-2 )(a+ )是纯虚数，则实数a的值为______.
14. 的展开式中 的系数为_____________.
15.已知 是 内部（不含边界）一点，若 ， ，则
__________.
16.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径 ，需要剪
去菱形 ，可以经过两次对折､沿 裁剪､展开后得到.若 ，要使镂空的菱形 面积最
大，则菱形的边长 ______cm.
三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求角B的大小；
（2）若 ，a+b=2，求△ABC的面积.
18.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某
研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生､女生各200人，对冰壶运动有兴趣的
人数占总数的 ，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合
计
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶
运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19.在数列 中， ， .
（1）求 ；
（2）设 为 的前n项和，求 的最小值.
20.（本小题满分12分）已知椭圆 长轴的两个端点分别为 ，离心
率为 .
（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，PB分别交直线x=-6于M，N两点，连接NA并延长交椭圆
C于点Q.
（i）求证：直线AP，AN的斜率之积为定值；
（ii）判断M，B，Q三点是否共线，并说明理由.
21.已知函数 .
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）设函数 ，若 ，求 的值.
选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：
（ 为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为
.
（1）写出曲线C的普通方程，并判断点P与曲线C的位置关系；
（2）设直线 与曲线C交于M､N两点，求 的值.
23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知a，b，c为正数
（1）求 的最小值；
（2）求证： .
2022-2023 学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学理科参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C
二、填空题
13. 14.9 15. 16.
三､解答题17.（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，则sinA>0，所以 ，因为 ，所以
（2）因为 ， ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
又a+b=2，解得a=b=1，
所以
18.（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为 人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有 人，
所以 列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
，
有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取 人，抽到的男生人数､女生人数分别为：
（人 ， （人 ，则 的所有可能取值为 ， ， ，
所以 ，
，
，
故 的分布列是：
0 1 2
故 .
19.（1）由题意， ，则 ，两式相减得： .
又 ，则 .于是， ，…是以a 为首项，2为公差的等差数列，
1
，…是以a 为首项，2为公差的等差数列.
2
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， .
于是
（2）当n为偶数时，
，
故当n=22时， 的最小值为-242.当n为奇数时， ，
对应函数的对称轴为n=22，故当n=21或n=23时， 取得最小值 .
于是，当n为偶数时， 取得最小值为-242；当n为奇数时， 取最小值为-243.
综上：最小值为-243.
20.解：（1）由题意得a=2， ，
所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）（i）证明：设 ，
因为P在椭圆C上，所以 .
因为 ， ，
所以直线BP的方程为 .
所以N点的坐标为 .
∴ .
∴ .
（ii）M，B，Q三点共线.
设 ，易得M（-6，-4k）.由（i） ，所以直线AN的方程为 .
联立 ，可得 .
解得Q点的纵坐标为 ，
所以Q点的坐标为
所以， ， .
由于 ，
所以M，B，Q三点共线.
21.（1）由题意知
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 对 恒成立
设 ，则
当 时，
当 时，
所以函数 在 上单调递增
所以
（2）由题知所以 ，
因为 ，所以 ，
即 为 的最小值， 为 的一个极小值点，
所以 ，解得
当 时，
所以
①当 时， （当且仅当 时等号成立）
所以 在 上单调递增
②当 时，若 ， ；
若 ，
所以 在 上单调递减
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增
所以当 时，
22.解：（1） 曲线 的参数方程为： （ 为参数），
∴消去参数 可得， ，
∵点P的极坐标为 ，且 ， ，
∴点P的直角坐标为 ，将 代入曲线 的普通方程的左边得 ，
故 在曲线 内部.
（2） 直线 的极坐标方程对应的普通方程为： ，
∴ 在直线上，
故可设直线 的参数方程为 （ 为参数），
与曲线 的普通方程 联立，
化简整理可得， ， ，设两根为 ， ，
由韦达定理可得， ，
故 .
注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分!
23.（1）解：因为 ，当且仅当“ ”时等号成立，
所以当 时， 的最小值为3.
（2）证明：因为 ，同理 ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立.
