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2022年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题（文）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．若集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．设复数z满足 ，则复数z的虚部是（ ）．
A．－5 B．5 C． D．
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．
A． B． C． D．
4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（
）．
A． B． C． D．
5．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校
内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对
100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照 、 、 、
、 、 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结
论不正确的是（ ）．A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%
B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%
C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15
D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间
6． ， ，条件 ，条件 ，则条件p是条件q的（
）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．角A等于（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）=0，f（－x－1）=f（－x＋1），当 时， ，
则 （ ）．
A． B． C． D．
9．已知 ，该函数在x=－1时有极值0，则a＋b=（ ）．
A．4 B．7 C．11 D，4或11
10．已知函数 在 上单调递增，且有 恒成立，则 的
值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
11．已知过坐标原点O的直线l交双曲线 的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若 ，则△ABF的面积为（ ）．
A．3 B． C．6 D．
12．已知 ， ， ，则大小关系正确的为（ ）．
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影是______．
14．已知函数 是偶函数，则 ______．
15，过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且 ，则直线AB的斜截式方程
为______．
16．在菱形ABCD中， ，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．則得到的四面体ABCD的外接球
的表面积为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃
圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如
下：
得分
男性人
22 43 60 67 53 30 15
数
女性人
12 23 40 54 51 20 10
数
（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60
分）两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随
机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，
附： ，其中 ．临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（本题满分12分）
已知数列 是各项均为正数的等差数列， 是其前n项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的最大项．
19，（本题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD= BC=1，
设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明： ；
（2）证明：l平面PAB；
（3）求点B到平面PCD的距离．
20．（本题满分12分）
已知椭圆 （a>b>0），离心率为 ，其左右焦点分别为 ， ，P为椭圆上一个动点，且
的最小值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若 ，求直线MN的方程．
21．（本题满分12分）
已知函数 ．（ ）
（1）当a=1时，求证： ；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按
所做的第一个题目计分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），
（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的极坐标方程；
（2）若点A，B为曲线C上的两个点OA⊥OB，求证： 为定值．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知存在 ，使得 ，a， ．
（1）求a＋2b的取值范围；（2）求 的最小值．
2022年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题（文）参考答案
一、1—5 ACBAC 6—10 BBDCA 11—12 BA
12．
， ，令 ， ，
易证 （当且仅当x=1时等号成立）
∴ ，即a>b∴a>b>c
二、13．－1 14． 15． 或 16．
三、17．解：（1）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解 总计
男性 125 165 290
女性 75 135 210
总计 200 300 500
计算得因为2.771>2.706，所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关；
（2）由题意可知，抽到的女性有 人，抽到的男性有 人，
记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为（a，c，d）、（a，b，d），（a，b，e），
（a，c，d）（a，c，e），（a，d，e）（b，c，d），（b，c，e）、（b，d，e）、（c，d，e），共10种，
抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是 ．
18．解：（1）当n=1时， ，解得： 或 ，因为 ，故 ．
方法一：因为 ，所以 ，
又 ，即可得 ．
方二：当n=2时， ，易得： ．
因为数列 是等差数列，故 ．
（2）由（1）知， ，故 ．
∵ ，当n<7时， ；当n=7时， ；当n>7时， ；
故数列 的最大项为 ．
19，证明：（1）由题意可知 ，BC 平面PAD，AD 面PAD，故， 平面PAD，
又∵BC 面PBC且面PBC 面PAD=l，∴ ．
（2）因为PB⊥底面ABCD，所以PB⊥BC．
又底面ABCD为直角梯形，且 ，所以AB⊥BC．
且 ，∴BC⊥面PAB，又 ，∴l⊥面PAB．（3）易求得， ， ， ， ．
因为 ，△PDC所以为直角三角形．
设B到平面PCD的距离为h，因为 ，所以 ，故可得， ．
20．解：（1）由题意知： ，即a=2c且a－c=1，可得：a=2， ，c=1．
椭圆C：的方程为： ．
（2）方法一：不妨设直线MN交x轴于Q点，由 ，易得， ，故 ．
设直线MN的方程为x=my＋3， ， ，
显然， ， ．
由 得， ，∴ ① ②
又∵ ，得 ③，由①②③得， ．
所以，直线MN的方程为： ，即 ．
方法二：延长 交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知， ，得 ．
设 ， ， ．显然， ．
设直线PM的方程为x=my－1，联立 得， ，
∴ ① ②
又∵ ，得 ③由①②③得， ．
故 ，则 ，
因此，直线MN的斜率 ．
不妨设直线MN交x轴于Q点，由 ，易得， ，故 ，
所以，直线MN的方程为： ．
21．解：（1） ，
故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在 上是单调减少的，
所以 ，即 ．
（2）当a=0时， ，不存在零点，当a≠0，由f（x）=0得， ， ．
设 ，则 ，令 ，
易知h（x）在 上是单调减少的，且h（1）=0．
故g（x）在（0，1）上是单调增加的，在 上是单调减少的．
由于 ，g（1）=1，且当x>1时，g（x）>0，
故若函数f（x）有且只有一个零点，则只须 或 ．
即当 时，函数f（x）有且只有一个零点．22．解：（1）因为 ，所以面线C的直角坐标方程为 ．
因为 ， ，所以，曲线C的极坐标方程为： ．
（2）由于OA⊥OB，故可设 ， ， ， ，
所以 ．即 为定值 ．
23．解：（1）由题知： ，
因为存在 ，使得 ，所以只需 ，即a＋2b的取值范是 ．
（2）方法一：由（1）知 ，因为a， ，不妨设 ，当 时， ，
当0
