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特训 07 利用导数解决双变量问题（三大题型）
如果两个变量之间不存在具体直观的等量关系，但可以通过适当的代数变形将两个变量化为某种结
构的整体，常见如x₂-x, ，这种通过换元实现双变量合二为一目的，把双变量转化为单变量的手段分别
称为“差值代换”和“比值代换”.
注：如果所给条件能转化为关于变量x₁,x₂的齐次式，常常建立关于 的函数 .
导数中解决双变量问题的步骤：
(1)先根据已知条件确定出两个变量x₁,x₂ 满足的条件；
(2)将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：
① 将所有涉及x₁,x₂的式子转化为关于 的式子，令 ,将问题转化为关于自变量t 的函数问题；
② 令t=x₂-x₁,将问题转化为关于自变量t的函数问题.
注：需要关注新元的范围即为新函数的定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
目录：
01 ：转化为同源函数解决
02 ：整体代换
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
01 ：转化为同源函数解决
例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点 A(x ，f(x))，B(x ，
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f(x))，直线AB的斜率为k，若x＋x＋k＞0恒成立，求a的取值范围.
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感悟提升 此类问题一般是给出含有x ，x ，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结
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构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
训练1 已知函数f(x)＝aln x＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x ，y)，Q(x ，y)(x ＞x)，总能使得＞
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2，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(1，2) D.[1，2]
02 ：整体代换
例2 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)
在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x，x，求证：f′＞0.
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感悟提升 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x ，x 的式子.(2)与极值点x ，x
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有关的双变量问题，一般是根据x ，x 是方程f′(x)＝0的两个根，确定x ，x 的关系，再通过消元转化为只
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含有x 或x 的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为 x ，x 的齐次式，然后转化为关于的函数，
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把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x，x，求证：ln x＋ln x＞2.
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03 ： 构造具体函数解决双变量问题
例3 已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋
