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特训 07 利用导数解决双变量问题（三大题型）
如果两个变量之间不存在具体直观的等量关系，但可以通过适当的代数变形将两个变量化为某种结
构的整体，常见如x₂-x, ，这种通过换元实现双变量合二为一目的，把双变量转化为单变量的手段分别
称为“差值代换”和“比值代换”.
注：如果所给条件能转化为关于变量x₁,x₂的齐次式，常常建立关于 的函数 .
导数中解决双变量问题的步骤：
(1)先根据已知条件确定出两个变量x₁,x₂ 满足的条件；
(2)将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：
① 将所有涉及x₁,x₂的式子转化为关于 的式子，令 ,将问题转化为关于自变量t 的函数问题；
② 令t=x₂-x₁,将问题转化为关于自变量t的函数问题.
注：需要关注新元的范围即为新函数的定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
目录：
01 ：转化为同源函数解决
02 ：整体代换
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
01 ：转化为同源函数解决
例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点 A(x ，f(x))，B(x ，
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f(x))，直线AB的斜率为k，若x＋x＋k＞0恒成立，求a的取值范围.
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感悟提升 此类问题一般是给出含有x ，x ，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结
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构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
训练1 已知函数f(x)＝aln x＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x ，y)，Q(x ，y)(x ＞x)，总能使得＞
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2，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(1，2) D.[1，2]
02 ：整体代换
例2 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)
在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x，x，求证：f′＞0.
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感悟提升 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x ，x 的式子.(2)与极值点x ，x
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有关的双变量问题，一般是根据x ，x 是方程f′(x)＝0的两个根，确定x ，x 的关系，再通过消元转化为只
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含有x 或x 的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为 x ，x 的齐次式，然后转化为关于的函数，
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把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x，x，求证：ln x＋ln x＞2.
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03 ： 构造具体函数解决双变量问题
例3 已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋<e.
答题模板
第一步 分析题意，探究两变量的关系
第二步 合二为一，变为单变量不等式
第三步 构造函数
第四步 判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题
第五步 反思回顾解题过程，规范解题步骤
训练3 已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2ln x(a∈R).当x＞y＞e－1时，求证：exln(y＋1)＞eyln(x＋1).
方法技巧1 极值点偏移
(1)极值点不偏移
已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x ，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x ，即极值点在两根
0 0
的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x 两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).
0
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x)＝f(x)，则x＋x＝2x.
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(2)极值点偏移
若≠x，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x 两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
0 0
图(2)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x)＝f(x)，则x＋x＞2x；
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图(3)
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x)＝f(x)，则x＋x＜2x.
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(3)极值点偏移问题的常见解法
①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x ＋x ＞2x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x －x)；对结论xx ＞x
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型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调
性证明.
例 已知函数f(x)＝xe－x，如果x≠x，且f(x)＝f(x)，求证：x＋x＞2.
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方法技巧1 指数、对数均值不等式
极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值
不等式.
一、对数均值不等式
结论1 对任意的a，b＞0(a≠b)，有＜＜.
证明 不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)
首先，由＜等价于ln a－ln b＜，
即ln ＜.
令x＝＞1，只要证ln x2＜，
即证2xln x－x2＋1＜0.
令f(x)＝2xln x－x2＋1(x＞1)，则f′(x)＝2ln x＋2－2x，f″(x)＝－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减，f′(x)＜f′(1)＝0，f(x)在(1，＋∞)单调递
减，即f(x)＜f(1)＝0.
故＜.
其次，＜等价于ln a－ln b＞，
即ln ＞.
令x＝＞1，只要证ln x＞，
即证(x＋1)ln x－2x＋2＞0.
设g(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2(x＞1)，
同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增，
有g(x)＞g(1)＝0.
故＜.
二、指数均值不等式
结论2 对任意实数m，n(m≠n)，有e＜＜.
证明 在指数均值不等式中，令em＝a、en＝b，则m＝ln a，n＝ln b，从而可得对数均值不等式.需注意的
是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保考试不被扣分，但本文以下的例题
省略该过程.
例 (1)若函数f(x)＝ln x－ax(a为常数)有两个不同的零点x，x，请证明：xx＞e2.
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(2)已知函数f(x)＝x－aex(a为常数)有两个不同的零点x，x，证明：x＋x＞2.
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一、解答题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 为函数 的两个零点，求证： ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 有且仅有一个极值点 ，函数 有且仅有一个极值点 ，且
，则称 与 具有性质 ．
(1)函数 与 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)已知函数 与 具有性质 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 存在零点，求a的取值范围；(2)若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)已知 是函数 的两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ） 是 的导函数．证明： ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有3个极值点 ，其中 是自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： ．
6．（2023·福建龙岩·二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．
7．（2023·新疆·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
8．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值点；(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数 有三个不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
9．（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求 的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)设函数 ，若 恒成立，求 的最小值；
(2)若方程 有两个不相等的实根 、 ，求证： .
11．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
12．（2023·天津河西·模拟预测）已知 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)对 ，有 恒成立，求 的最大整数解；(3)令 ，若 有两个零点分别为 ，且 为 的唯一的极值点，
求 的取值范围，并证明： ．
13．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，其中e为自然对数的底
数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，有 ，求证：对 ，有 ；
(3)若 ，且 ，求实数a的取值范围．
14．（2023·浙江嘉兴·二模）已知 .
(1)若存在实数 ，使得不等式 对任意 恒成立，求 的值；
(2)若 ，设 ，证明：
①存在 ，使得 成立；
② .
15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在三个零点 、 、 （其中 ），证明：
（i）若 ，函数 ，使得 ；（ii）若 ，则 .
16．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线 ，存在圆 满足如下条件：
①圆 与曲线 有公共点 ，且圆心在曲线 凹的一侧；
②圆 与曲线 在点 处有相同的切线；
③曲线 的导函数在点 处的导数（即曲线 的二阶导数）等于圆 在点 处的二阶导数（已知圆
在点 处的二阶导数等于 ）；
则称圆 为曲线 在 点处的曲率圆，其半径 称为曲率半径．
(1)求抛物线 在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线 的曲率半径的最小值；
(3)若曲线 在 和 处有相同的曲率半径，求证： ．
