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专题 15.3 分式的加法和减法之八大考点
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【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 同分母分式加减法】........................................................................................................................1
【考点二 异分母分式加减法】........................................................................................................................2
【考点三 整式与分式相加减】........................................................................................................................4
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】............................................................................................5
【考点五 分式加减混合运算】........................................................................................................................6
【考点六 分式加减的实际应用】....................................................................................................................9
【考点七 分式加减乘除混合运算】..............................................................................................................11
【考点八 分式化简求值】..............................................................................................................................13
【过关检测】...........................................................................................................................................15
【典型例题】
【考点一 同分母分式加减法】
例题：（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）计算： ．
【答案】1
【分析】根据分母不变，把分子相加减可得答案．
【详解】解： ；
故答案为：1
【点睛】本题考查的是同分母分式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式训练】1．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）化简 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】先进行分式加减运算，然后利用完全平方公式对分子部分进行变形后约分即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练运用分式加减法则以及完全平方公式．
2．（2023春·吉林长春·八年级统考阶段练习）化简： 的结果为 ．
【答案】
【分析】根据分式的减法运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【考点二 异分母分式加减法】
例题：（2023·内蒙古包头·统考二模）计算： _______．
【答案】2
【分析】根据分式的加减法则，即可解答．
【详解】解： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的加减法法则是：同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不
变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算，熟知上述法则是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）计算 的结果是______．【答案】 /
【分析】根据异分母分式减法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．熟练掌握其运算法则是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） _____________；
（2） ___________．
【答案】
【分析】（1）（2）根据异分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：（1），
故答案为： ；
（2）
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，正确计算是解题的关键．
【考点三 整式与分式相加减】
例题：（2023春·江苏·八年级期中）化简 的结果为_________．
【答案】
【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算 的结果是_________．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 的结果是___________．
【答案】
【分析】先通分再化简即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，
最后结果能约分的要约分．
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若 ，则 _________， _________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，则 _________________．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即 ，
然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
①+②得： ；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得 ，
∴
∴A-B＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解．
【考点五 分式加减混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
【详解】（1）解： ，
=
=
=1；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算
(1) ； (2) ； (3) ．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）分式 的分母相同，直接相减进行计算；
（2）分式 的公分母为 ，先通分，在进行计算；
（3）直接进行通分，在进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进
行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把 看成是一项，为 ，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减
混合运算法则及因式分解是解题的关键．
【考点六 分式加减的实际应用】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为
800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比
原来少分摊车费______元．
【答案】【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可．
【详解】解：实际每个同学比原来少分摊车费：
（元）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，
准确计算．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在
静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，轮船往返两个港口一次共需______小时.
【答案】
【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
【详解】解： 轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，
顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计
划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
【答案】
【分析】平均每天比原计划要多读的页数=新工作效率-原工作效率．
【详解】解：按原计划每天读 页，实际每天读 页，
故每天比原计划多读的页数是： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．
【考点七 分式加减乘除混合运算】
例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简： ．
【答案】
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及到因式分解、通分、约分及运算顺序，熟记相关运算法则及运算顺
序是解决问题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到
结果．
【详解】解：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算；
（2）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算．
【详解】（1）解：
；
（2）．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【考点八 分式化简求值】
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．
【答案】 ，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形 得， ，代入计算即可求
解．
【详解】解：，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等
知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
【答案】 ；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．
【详解】解：
；
当 时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·海南海口·八年级校考阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式 ，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异分母分式加法和同分母分式加减法等计算法则求解即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法和同分母分式加减法，正确计算是解题的关键．3．（2023秋·浙江杭州·八年级统考开学考试）已知分式 ， ，其中 ，则A
与B的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将B通分后变为同分母分式相加，再观察A、B关系即可得答案．
【详解】解：
，
而 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加减，解题的关键是将B通分变为同分母分式相加．
4．（2023春·河南郑州·八年级校考期末）试卷上一个正确的式子 被莹
莹不小心滴上墨汁．被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是 ，再根据分式的运算法则进行
计算即可．
【详解】解：由题意可得：
被墨汁遮住部分的代数式是 ，故选D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
5．（2023春·浙江湖州·七年级校考期末）新定义：若两个分式 与 的差为 （ 为正整数），则称 是
的“ 分式”．例如： ，则称分式 是分式 的“1 分式”．根据以上定义，
下列选项中说法错误的是（ ）
A． 是 的“3 分式”
B．若 的值为 ，则 是 的“2 分式”
C．若 是 的“1 分式”，则
D．若 与 互为倒数，则 是 的“5 分式”
【答案】C
【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．
【详解】A、 ，A说法正确；
B、 ，B说法正确；
C、由已知条件得： ，化简得： ，C说法错误；
D、由已知得： ， ，
D说法正确．故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．
二、填空题
6．（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）计算： = ．
【答案】
【分析】先通分，化为同分母分式，再计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键．
7．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）若 ，则代数式 的
值为 ．
【答案】
【分析】先将分式化简，即可求解．
【详解】解： ，
∵
∴代数式 的值
故答案为：
【点睛】本题考查分式的化简求值．注意化简的准确性．
8．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）若 ，则 ，
．
【答案】 4【分析】将等式左边通分，结合右边列式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4， .
【点睛】本题考查分式通分，解二元一次方程组，解题的关键是得到二元一次方程组．
9．（2023春·山东青岛·八年级校考阶段练习）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租
金为 元，出发时，乙厂有 名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到 名，如果包车租金不
变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）．
【答案】
【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：由题意可得： （元）；
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了最简分式，分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
10．（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）已知 （ 且 ） ， ，…，
若 的值为2024，则x的值为 .
【答案】2023【分析】把 代入得出 ， ，
，找出规律：以 ， ， 循环，根据 ，得出
，求出x的值即可．
【详解】解：把 代入得：
，
，
，
依次类推，结果以 ， ， 循环，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了分式的运算，规律探究，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，找出式子的
规律．
三、解答题
11．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）化简
(1) (2)
(3) (4)【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据分式的加减法法则计算：异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母
相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
（3）先计算括号里的，通分后根据同分母分式的减法法则计算，再将除法化成乘法，约分即可求出值；
（4）原式先计算乘方，再进行乘除运算，注意符号．
【详解】（1）解：原式 ，
，
，
；
（2）原式 ，
，
；
（3）原式 ，
，
，
；（4）原式 ，
，
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方化简，即可得到答案；
（2）根据分式的混合运算法则化简，即可得到答案；
（3）根据分式的混合运算法则化简以及分式的乘方化简，即可得到答案；
（4）根据分式的混合运算法则化简，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了含乘方的分式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1【分析】先根据分式混合运算的运算法则对原式进行化简计算，然后再代入值计算即可．
【详解】
∵
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14．（2023秋·四川广元·九年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 满足
．
【答案】 ，2
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，将方程变形即可解答．
【详解】解：原式
根据方程 ，得 ，
故原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15．（2023秋·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）先化简 ，然后从的范围内选取一个整数作为 的值代入求值．
【答案】 ， ．
【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把满足分式有意义条件的字
母的值代入运算即可．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
由 中的整数为 ， ， ， ，
∵ 且 且 ，
∴ ，
原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，及分式有意义的条件及除数不为零，解题的关键是熟练掌握分式的
混合运算及运算法则．
16．（2023秋·河北石家庄·八年级校联考阶段练习）下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并
完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步第四步
第五步
任务：
(1)填空：
①上面的化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
(2)请写出正确的化简过程．
(3)当 时，求该分式的值．
【答案】(1)①二，分式的基本性质；②三，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)
(3)
【分析】（1）①根据变形的结果可得答案；由通分的依据是分式的基本性质可得答案；②第三步开始出
现错误，去括号出现错误；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可；
（3）把 代入代简结果求值即可．
【详解】（1）①上面的化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：①二；分式的基本性质；②三；括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
（2）．
（3）当 时，
原式
．
【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则．
17．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）分式化简：
(1) ；
(2)化简： _______；
(3)先化简，再求值； ，然后从 ，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ，当 时，原式= ．
【分析】（1）根据分式乘法法则计算即可；
（2）先算括号里的异分母分式加减，再计算分式除法即可得解；
（3）将式子进行化简，再代数求值．
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
故答案为 ；
（3）解：原式 ，
∵ ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
(1)根据以上式子填空：
① ．
② ．
(2)求分式 的最小值．
(3)已知 为整数，求能使分式 的值为整数的所有 值的和．【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可；
（2）结合所给的规律进行求解即可；
（3）结合所给的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：①
，
故答案为： ；
②
，
故答案为： ；
（2）
，
要求原式的最小值，则 的值最大，当 时， ，
∴ 的最小值为： ；
（3）
，
要使结果为整数，
则 为整数，
的值为： 或 或 或 ，
其和为： ．
【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存
在的规律．
