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【重难点突破】2022年暑假高二高效提升讲义（新人教A版2019）
用几何法求解二面角的平面角
【考点梳理】
三垂线型
三垂线模型是根据三垂线定理或其逆定理，在已知（或已证）直线垂直于平面的前提下，通过作棱的垂线得
到二面角的平面角，是一种非常重要且常见的方法，其建构方法可总结为"两垂一连"。
如图：三棱锥P-ABC中，已知PA 平面ABC，如下图，这是"一垂"，即已知（或已证）的线面垂直；过点A作
AH BC，垂直为H，这是"二垂"，即过垂足作棱的垂线；联结 PH，这是"一连"，则 PHA为二面角P-BC-A的
平面角。
具体细分为两种类型：（1）题目出现直线垂直半平面（2）题目出现的面的垂线落在半平面内
【典例剖析】
典例1．如图，在三棱锥 中， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司典例2．已知矩形 ，E，F分别是线段 中点， 底面 ．
(1)若棱 上一点G满足 ，求证： 面 ；
(2)若 ，求二面角 的正切值．
典例3．如图，四棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求平面 和平面 夹角的余弦值的大小．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司典例4．如图，AB是 的直径，PA垂直于 所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且 .求
证：
(1)平面 平面PBC；
(2)当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与 所在的平面所成二面角大小的范围.
【双基达标】
5．如图，四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， ，平面 平面
，平面 平面 .
(1)求证： ;
(2)求二面 的余弦值.
6．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ，且 的中点为 .
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，指出点 在 上的位置并给以证明；若不存
在，请说明理由；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
7．如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形， ，侧面SAB⊥侧面SBC，M为
AD的中点．
(1)求证：平面SMC⊥平面SBC；
(2)若AB与平面SBC成 角时，求二面角 的大小，
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E
为棱PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为 ，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．已知四棱锥 的底面 为矩形， ， ， 平面 ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为45°，求二面角 的正切值.
10．已知在四棱锥 中， 平面 ， ， ∥ ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
11．在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面 ， ， 分
别为 ， 的中点.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证：平面 面 ；
(2)若 ，求二面角 的大小.
12．已知直三棱柱 中， 为正方形， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值．
13．如图，正方形 与直角梯形 所在平面互相垂直， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求四面体 的体积；
(3)求平面 与平面 的夹角的正切值.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理可证 平面 ，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）过点 分别作 的垂线，即找到二面角 的平面角，即可求出答案.
（1）∵ ，∴ ，又 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，又
平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，
由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．又 平面
.所以 .作 ，垂足为点 ，连接 ，因为 , 平面 .所以 平面
.又 平面 则 ，则 为二面角 的平面角．设 ，则
．由题意得 ， 中， ，
∴二面角 的平面角的正弦值为 .
2．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作 为 的中点，在 上取 点，使点 满足 ，连接 、 、 、 ，依题意可得
且 ，即可得到四边形 为平行四边形，从而 ，即可得证；
（2）依题意可得 ，再由 底面 ，即可得到 ，从而得到 为二面角 的
平面角，再由锐角三角函数计算可得.
（1）证明：作 为 的中点，在 上取 点，使点 满足 ，连接 、 、 、 ； 是 的
中点， 在梯形 中， ， ， ， ， ， ，
第 7 页在 中， ， ， 且 ， 四边形 为平行四边形， ， 面
， 面 ， 面 ．
（2）解：因为 ， ，所以 ，又 为 的中点，所以 ，又 为矩
形，所以 、 为等腰直角三角形，所以 ， ，所以
，即 ，又 底面 ， 底面 ，所以 ，又 ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的
平面角，所以 ，即二面角 的正切值为 .
3．(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的性质即得；
（2）利用锥体的体积公式即得；
（3）利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，进而可得 是平面 和平面 的夹角，结合条件
即得.
（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ；
（2）因为 平面 ， ．四边形 是矩形，所以 ， 是三棱锥
的高，∴ ；
（3）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面
，因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 是平面 和平面 的夹角，
第 8 页由于 ， ，所以 ，所以 ，所以平面 与平面 的夹角余弦值
为 .
4．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得 ，根据圆的性质，可得 ，根据线面垂直的判定定理，即可
得证.
（2）由（1）可得 ， ，所以 即为平面PBC与 所在的平面所成二面角的平面角，设
，圆O的半径为R，根据三角函数的定义，可得 的表达式，根据 的范围，计算求
解，即可得答案.
（1）因为PA垂直于 所在的平面ABC， 平面ABC，所以 ， ，因为AB是 的直径，
所以 ，因为 平面PAC，所以 平面PAC，因为 平面PBC，所以平面 平面PBC
（2）因为 平面PAC， 平面PAC，所以 ，又 ，所以 即为平面PBC与 所在的
平面所成二面角的平面角，设 ，圆O的半径为R，则 ，又 ，所以
，因为 ，所以 ，所以 ，因为
所以 ，所以平面PBC与 所在的平面所成二面角大小的范围为
5．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作 ，垂足为 ，由平面 平面 ，可得 平面 ，进一步可证得 平面
，从而可证得 ，
（2）由 ∥平面 ，平面 平面 ，可得 ∥ ，结合（1）可得 平面 ，则 为二
面 的平面角，然后在 中利用余弦定理可求得结果
（1）证明：作 ，垂足为 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为
平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，所以 平面 ，因
第 9 页为 平面 ，所以
（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以 ∥ ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面
，因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ∥ ，由（1）可知 平面 ，所以 平
面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 为二面 的平面角，在 中，
,由余弦定理可得 ，所以二面 的余弦值
为 .
6．(1)在线段 上存在中点 ，使得 平面 ，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，可证 平面 ；
（2）过 作 于点 ，过 作 于点 ，证明 为二面角 的平面角，在直角三
角形中解之可得．
（1）在线段 上存在 且为 中点，使得 平面 .证明如下：如图所示，设 的中点为 ，连接
， 因为 ，所以 ，所以
四边形 为平行四边形，则 又 平面 平面 平面 .
（2）过 作 于点 ，过 作 于点 ，连接 .连接 平面 ， 平面
，所以 ， ， 为 的中点，所以 为 中点， ，所以 平面 而
平面 .又 ， 平面 ，所以 平面 平
面 ， 为二面角 的平面角. ，
第 10 页.
7．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理求解即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，由题意可得 ，取 的中点 ，连接 ，可证明 是二面角
的平面角，求出角 的大小即可求解
（1）因为 ，又M为AD的中点，所以 ，又 ，所以 ，又M为AD的中点，底
面 为菱形， ，所以 ，所以 ，因为 ， ，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面
平面 ，
（2）取 的中点 ，连接 ，又 ，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面
， 平面 ，所以 平面 ，又 与平面 所成的角为 ，所以 ，又
，所以 ，由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，取 的中点 ，连接 ，因为 ，所
以 ，所以 是二面角 的平面角，又 ，所以
，又 ，所以 ，即
，所以二面角 的大小为 ，
8．(1)证明见解析
(2)
第 11 页【解析】
【分析】
（1）依题意可得 ，再由面面垂直的性质得到 平面 ，即可得到 ，从而得证；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，可证 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角，
即可求出 ，取 的中点 ，连接 ， ，即可得到 为侧面 与侧面 所成的角，从而
得解．
（1）证明：在 中， ， 为 的中点，所以 ，因为平面 平面 ．平面
平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ．因为 平面 ，所以
．因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ． 在 中， ，所以
．因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以
平面 ．所以 为直线 与平面 所成的角．在 中， ，所以
，在 中， ，所以 ，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．设平面 平面 ， 平面 ， ．所以 ．取 的中点 ，连
接 ， ．在 中， ，所以 ，所以 ．所以 为侧面 与侧面 所成
的角，在 中， ，所以 ．所以侧面 与侧面 所成的角为 ．
9．(1)详见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判断定理，证明 ，即可证明线面垂直；
（2）首先判断 ，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可计算正切值.
（1）由条件可知 ， ，满足 ，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 ，且 ，所以 平面 ；
（2）因为 是 与平面 所成的角，所以 ， ，
第 12 页因为 ， ， ，所以 平面 ，取 的中点 ，
，垂足为点 ，连结 ，因为 ，所以 平面 ，所以 ， ，所以
平面 ，所以 ，即 是二面角 的平面角， , ，
，所以 ，所以二面角 的正切值为 .
10．(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连接 ，则由三角形的中位线定理可得 ∥ ， ，再结合已知条件
可得四边形 为平行四边形，从而得 ∥ ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，可得 ∥ ， ∥ ， ，则结合已知可
得 平面 ，从而可得 为二面角 的平面角，然后在 中求解即可
(1)
证明：取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，
所以 ∥ ， ，
因为 ∥ ， ，
所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
(2)
解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ∥ ， ，
第 13 页因为 ，所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ∥ ， ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为
11．(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由题设可得 ，正弦定理可得 ，即 ，再由线面垂直的性质有 ，根据线面
垂直的判定可得 面 ，中位线性质有 ，则 面 ，最后由面面垂直的判定证结论.
（2）根据线面垂直的性质及二面角的定义找到锐二面角 的平面角，根据其与所求二面角 的
关系，即可求角的大小.
(1)
由题设，在 中 ， ， ，
所以 ，
第 14 页在 中 ， ，则 ，可得 ，
又 ，故 ，
所以 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 面 ，故 面 ，
由 ， 分别为 ， 的中点，故 ，则 面 ，
面 ，所以平面 面 ；
(2)
若 为 中点， 为 的中点，则 ，
由 平面 ，则 面 ，
若 为 中点，则 ，由（1）知： ，
所以 ，
又 面 ，故 ，
， 面 ，故 面 ，
而 面 ，则 ，
综上， ， ，故 为锐二面角 的平面角，
由 知： ，由（1） ，则 ，
，故 ，
由图知：钝二面角 为 .
12．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
（2）根据等腰三角形的三线合一定理及直棱柱的定义，再利用线面垂直的性质定理及二面角的平面角的定义，结
合锐角三角形即可求解.
(1)
第 15 页连接 ， ，则 交 于点P，
因为 分别为 ， 的中点，
所以在 中, ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(2)
取 中点 ，连接MC， ，如图所示
因为 是边长为2的正三角形，点 是 中点，所以 ，
在直三棱柱 中
平面ABC， 平面 ，所以 ，
而 ， 平面
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
因为 是边长为2的正三角形， 为正方形，所以 ，
在 中， ,
所以 .
所以二面角 的正弦值为 ．
13．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理即可证明 平面 ；
第 16 页（2）根据三棱锥的体积公式即可求得答案.
（3）作辅助线，根据面面角的定义找到平面 与平面 的二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
(1)
证明： 由题意， 可得， ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
在正方形 中， ，
又 ，则 平面 .
(2)
因为 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 ，
故 ， .
(3)
记 交 于 ，连接 ，过 作 ，交 于 ，连接 ，
由题意知， ,O为BD中点，故 ，
∵ 平面 ，∴ ，则 ，则 平面 ,
则 为平面 与平面 的夹角.
∵ ，∴ 平面 ，则 ,四边形AOGF为平行四边形，
故 ,由于 ,故 平面BDE，
故 平面BDE， 平面BDE，故 ，
中, ，
， ，
则在 中， ，
故平面 与平面 的夹角的正切值为 .
第 17 页第 18 页
