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专题 15.4 分式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①a
=
a2 ，②a
=
ab，③a
=
ac，④a
=
a(−1−m2) 中，从左到
b ab b b2 b bc b b(−1−m2)
右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
A．3+x B．3 y C． 3 y2 D．3 y3
x−y x2 (x−y) 2 2x2
3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当m = 1时，代数式( 2 + 1 ) ×(m2−n2) 的值为
n 3 m2−mn m2+mn
（ ）
A．-6 B．6 C．-12 D．12
A 3 6x+B
4．（2024·山东·一模）已知 + = ，则A,B的值分别为（ ）
x−2 x−3 (x−2)(x−3)
A．3,−15 B．−15,3 C．−3,15 D．15,−3
k−1 x
5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于x的分式方程 =2− 的解为正数，则k的取值
x−5 5−x
范围是（ ）
A．k>−9 B．k<−9
C．k>−9且k≠6 D．k>6且k≠9
1
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，则x3−5x+
的值为（ ）
x2A．4 B．5 C．±4 D．±5
7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(m>1)的正方形
去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)的正方形，
两块试验田的小麦都收获了nkg．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为
Pkg/m2和Qkg/m2．则下列说法正确的是（ ）
m+1
A．P>Q B．P=Q C．P
2 2 5−ay 3 −1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ） 2−y y−2 A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）2 mx 5 11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 x−2 x2−4 x+2 ． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天， 且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ． 13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则 (a−b b−c c−a)( c a b ) + + + + = ． c a b a−b b−c c−a 2b−1 2a−1 14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a、b、 、 都是整数，且a>1,b>1，则a+b= a b ． 1 1 1 15．（2023·湖北荆门·一模）已知a>0,S = ,S =−S −1,S = ,S =−S −1,S = ,…．即当n为 1 a 2 1 3 S 4 3 5 S 2 4 1 于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =−S −1．计算S +S +S +⋯+S 的结果为 n S n n−1 1 2 3 2022 n−1 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算： 2x y （1） + ； 2x−y y−2x （2）−m2n −6xy； ⋅ 3x 5mn2 （3）a+3 a2+3a ； ÷ 1−a a2−2a+1 （4）( 2x ) x2−x ． −1 ÷ x+1 x2+2x+117．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程： x−2 16 （1） −1= ； x+2 x2−4 1 1 1 1 1 （2） + + + = ． 3x 15x 35x 63x x+1 ( 8 ) a2+2a+1 a 18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值： +a−3 ÷ − ， a+3 a+3 a+1 {a−1≤−2 ) 其中a为不等式组 a 1 的整数解． −2≤ − 2 4 19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天 比原计划多生产50个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线 共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总 数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． a2−1 ( a ) 20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若 A= ⋅ 1− . b+1 a+1 （1）化简A； （2）若 b=a+2，且 b≥2，求A的最小值；6b+4 （3）若a， b为正整数， 且 B= ，当A，B均为正整数时，求a−b的值． 2a+3 21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 1 1 同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式： x x ( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ，( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ． x x2 x x2 用数学的思维思考并解决如下问题： ( 1) 2 ( 1) 2 （1）填空： a+ − a− =______； a a （2）计算： ( 1) 2 1 ①若 a+ =20，求a− 的值； a a 1 ②若a2+a−1=0，求a+ 的值； a |1) |1) ③已知 −a=1，求 +a的值． a a22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变 甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． b （1）若a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ，若再加入m克（m>0）糖，此时糖水的 a 甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若b>a>0，m>0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v 、v ，水 1 2 流速度为 ，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为 、 ，请 v (v >v >v >0) t t 0 1 2 0 1 2 利用（1）（2）中探究的结论，比较t 、t 的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 1 223．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即 1 1 1 1 1 A−B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 − = x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2) 1 1 1 1 1 ， × = ．所以 是 的“可存异分式”． x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1 1 1 （1）填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） x+2 x+3 x （2）分式 的“可存异分式”是________； x−4 2x+3 （3）已知分式 是分式A的“可存异分式”． 3x+3 ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； n+2 m−1 （4）若关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，求6n2+19n+534的值． mx+m2+n mx+n224．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 a 1 a +1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一 x a+b x 个“关联数对”． 2 1 1 例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是 x 2+(−5) 3 a 关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”． x a （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不 x 是，打“×”． ①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）； ③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）； a （2）若数对[n2−3,−n2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值； x a （3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的 x−2m 方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值． m+1
