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专题 15.4 分式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①a
=
a2 ，②a
=
ab，③a
=
ac，④a
=
a(−1−m2) 中，从左到
b ab b b2 b bc b b(−1−m2)
右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
A．3+x B．3 y C． 3 y2 D．3 y3
x−y x2 (x−y) 2 2x2
3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当m = 1时，代数式( 2 + 1 ) ×(m2−n2) 的值为
n 3 m2−mn m2+mn
（ ）
A．-6 B．6 C．-12 D．12
A 3 6x+B
4．（2024·山东·一模）已知 + = ，则A,B的值分别为（ ）
x−2 x−3 (x−2)(x−3)
A．3,−15 B．−15,3 C．−3,15 D．15,−3
k−1 x
5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于x的分式方程 =2− 的解为正数，则k的取值
x−5 5−x
范围是（ ）
A．k>−9 B．k<−9
C．k>−9且k≠6 D．k>6且k≠9
1
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，则x3−5x+
的值为（ ）
x2A．4 B．5 C．±4 D．±5
7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(m>1)的正方形
去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)的正方形，
两块试验田的小麦都收获了nkg．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为
Pkg/m2和Qkg/m2．则下列说法正确的是（ ）
m+1
A．P>Q B．P=Q C．P<Q D．P是Q的 倍
m−1
8．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则
2a−3ab+2b 1 1 1
=− ；②若a=3，则b+c=6；③若c≠0，则(1−a)(1−b)= + ；④若c=4，则
5a+7ab+5b 12 a b
a2+b2=8．其中正确个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
a b−x
9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若a=3b且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解
2x+3 x−5
为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
3x+5 x+3
{ ≤ )
4 2
10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组 无解，且关于y的分式方程
1 x+a
x+ >
2 2
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ）
2−y y−2
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）2 mx 5
11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为
x−2 x2−4 x+2
．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，
且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ．
13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则
(a−b b−c c−a)( c a b )
+ + + + = ．
c a b a−b b−c c−a
2b−1 2a−1
14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a、b、 、 都是整数，且a>1,b>1，则a+b=
a b
．
1 1 1
15．（2023·湖北荆门·一模）已知a>0,S = ,S =−S −1,S = ,S =−S −1,S = ,…．即当n为
1 a 2 1 3 S 4 3 5 S
2 4
1
于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =−S −1．计算S +S +S +⋯+S 的结果为
n S n n−1 1 2 3 2022
n−1
．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算：
2x y
（1） + ；
2x−y y−2x
（2）−m2n −6xy；
⋅
3x 5mn2
（3）a+3 a2+3a ；
÷
1−a a2−2a+1
（4）( 2x ) x2−x ．
−1 ÷
x+1 x2+2x+117．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程：
x−2 16
（1） −1= ；
x+2 x2−4
1 1 1 1 1
（2） + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
( 8 ) a2+2a+1 a
18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值： +a−3 ÷ − ，
a+3 a+3 a+1
{a−1≤−2
)
其中a为不等式组 a 1 的整数解．
−2≤ −
2 4
19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天
比原计划多生产50个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线
共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总
数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
a2−1 ( a )
20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若 A= ⋅ 1− .
b+1 a+1
（1）化简A；
（2）若 b=a+2，且 b≥2，求A的最小值；6b+4
（3）若a， b为正整数， 且 B= ，当A，B均为正整数时，求a−b的值．
2a+3
21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
1 1
同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
x x
( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ，( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ．
x x2 x x2
用数学的思维思考并解决如下问题：
( 1) 2 ( 1) 2
（1）填空： a+ − a− =______；
a a
（2）计算：
( 1) 2 1
①若 a+ =20，求a− 的值；
a a
1
②若a2+a−1=0，求a+ 的值；
a
|1) |1)
③已知 −a=1，求 +a的值．
a a22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变
甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
b
（1）若a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ，若再加入m克（m>0）糖，此时糖水的
a
甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示）
请用分式的相关知识验证所得不等式；
【数学思考】（2）若b>a>0，m>0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子．
【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v 、v ，水
1 2
流速度为 ，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为 、 ，请
v (v >v >v >0) t t
0 1 2 0 1 2
利用（1）（2）中探究的结论，比较t 、t 的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
1 223．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即
1 1 1 1 1
A−B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 − =
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1 1 1 1
， × = ．所以 是 的“可存异分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
1 1
（1）填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
x+2 x+3
x
（2）分式 的“可存异分式”是________；
x−4
2x+3
（3）已知分式 是分式A的“可存异分式”．
3x+3
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
n+2 m−1
（4）若关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，求6n2+19n+534的值．
mx+m2+n mx+n224．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程
a 1 a
+1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一
x a+b x
个“关联数对”．
2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不
x
是，打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
（2）若数对[n2−3,−n2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
（3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的
x−2m
方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
