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秘籍 10 圆锥曲线大题归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 定点、定值类和设点设线类问题
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一
般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，
这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
【题型一】 求根型
求根型有以下几种：
1.知道一根求另一根
2.求根公式型
3.韦达定理型
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 分别为 上两个
不同的动点， 为坐标原点，当 为等边三角形时， .
(1)求 的标准方程；
(2)抛物线 在第一象限的部分是否存在点 ，使得点 满足 ，且点 到直线 的距离为
2？若存在，求出点 的坐标及直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点 ，直线 的方程为 .【详解】（1）由对称性可知当 为等边三角形时， 两点关于 轴对称，
当 为等边三角形时， 的高为 ，
由题意知点 在 上，代入 ，得 ，解得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由（1）知 ，根据题意可知直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，即 ，且 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又点 在 上，所以 ，即 ，①
所以 ，解得 ，
又点 在第一象限，所以 ，所以 .
又点 到直线 的距离 ，化简得 ，②
联立①②解得 ，或 （舍去），或 （舍去）.此时点 ，直线 的方程为 .
2．（2023·陕西西安·统考一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影
响深远.在双曲线 中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是
双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线
的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设点 关于坐标原点的对称点为 ，不过点 且斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，直线
与 交于点 ，求直线 的斜率值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意知，双曲线 的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 的标准方程为： .
（2）解：设 ，直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
因为直线 与 相交于 两点，
所以 ，且 ，
由点 ，当直线 的斜率均存在时，，
所以直线 的方程为 ，
直线 的方程为
两方程联立方程组，可得 ，
显然 ，可得 ，
所以 ，
当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，所以 .
当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则
，所以 ，即
综上可得：直线 的斜率值 .
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知抛物线 上一点 的横坐标为4，且 到焦点 的
距离为5，
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 是抛物线 上异于原点 的不同的两点，且满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由抛物线 ，可得准线方程为 ，
因为点 到拋物线的准线的距离为 ，且点 的横坐标为 ，
根据抛物线的定义，可得 ，解得 ，所以抛物线的方程为 .
（2）解：根据题意，设 ，联立方程组 ，解得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，即 ，
可设 ，联立方程组 ，
整理得到 ，则 ，
所以 ， ，即 ，
所以 ，
设 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
所以当 时， 取最小值为 ．
1．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在双曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ， 为 上一点， 为圆 上一点（ ， 均不在 轴上）．直线 ， 的斜
率分别记为 ， ，且 ，判断：直线 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定
点，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 恒过定点
【详解】（1）由双曲线离心率为 ，得 ，
所以双曲线方程为 ，
又点 在双曲线上，
即 ，
解得 ， ，
所以双曲线的方程为 ；
（2）由已知得 ， ，
设直线 ，点 ，
由 得 ， ，则 ，即 ， ，
所以
由 ，得 ，
所以
设直线 ，联立直线与圆 ，
得 ， ，
则 ，即 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又点 在圆 上，设圆 与 轴的另一个交点为 ，
则 ，且 ，即直线 与 重合，
所以直线 恒过点 .
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 ， 在椭圆 上运动，
且 的最小值为 ；当点 不在 轴上时点 与椭圆 的左、右顶点连线的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与椭圆 在第一象限交于点 ，若 的内角平分线的斜率不存在.探究：直线
的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线 的斜率为定值 ，理由见解析
【详解】（1）设 ，椭圆 的左、右顶点坐标分别为 ， ，
故 ，
即 ，则 ，
又 ，即 ，解得 ，所以 ，
即椭圆 的方程为 .
（2）联立 ，解得 或 ，又 在第一象限，所以 ，
由题意知 的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与 轴垂直，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
设 ， ，直线 的方程为 ，即 ，由 消去 得 ，
因为 、 为直线 与椭圆的交点，所以 ，即 ，
把 换为 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的斜率 ，即直线 的斜率为定值 .
3．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M
是椭圆上异于A，B的动点，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线 上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点 ；
②椭圆的左焦点为 ，求 的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②定值为8.
【详解】（1）由已知得： ， ， ，
设 ，因为M在椭圆上，所以 ①
因为 ，
将①式代入，得 ，得 ，
所以椭圆 ．
（2）①证明：设 ，则 ， ，
同理可得 ， ，
联立方程 ，得 ， ，
则 ．
同理联立方程 ，可得 ， ，则 .
又椭圆的右焦点为 ，
所以 ， ，
因为 ，
说明C，D， 三点共线， 即直线CD恒过 点．
②周长为定值．因为直线CD恒过 点，
根据椭圆的定义，所以 的周长为 ．
【题型二】 最值型
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图
形、几何性质来解决；
2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，
此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．
比较多的是分式型，以下几种求最值的基本方法：
（1）
（2） 与 型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求
解。
（3） 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解1.已知椭圆C: 的离心率为 ,且过
(1)求C的方程.
(2)若 为 上不与 重合的两点, 为原点,且 , ,
①求直线 的斜率;
②与 平行的直线 与 交于 , 两点,求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)① ;②
【详解】（1）由题意可得 解得 , .所以, 的方程为 .
（2）①设 ,因为 ,所以点 的坐标为 ,
又因为点 在椭圆 上,所以 ,化简可得 ,
因为 且 ,所以 ,因为 为 上不与 重合的两点,所以 ,
,
即直线 的斜率 .
②设 的方程为 ,由 ,消去 ,可得 ,
由 ,可得 ,且 , , ,
, 到直线 的距离 ,
所以 面积为 ,令
,
.令 ,解得 ,当 ,解得 ;当 ,解得 或 ,
所以 在 上单调递增,在 , 上单调递减,所以 的最大值为 ,
所以 ,即 面积的最大值为 .
2．（2021·山西大同·校考模拟预测）已知P是椭圆 上的动点，P到坐标原点的距离
的最值之比为 ，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若D为椭圆C的弦AB的中点， ，证明： 的面积为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】（1）由P到坐标原点的距离的最值之比为 ，得 ，
所以 .
由P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2，
得 ，
所以 .
又 ，所以 .
所以椭圆C的方程为 .
（2）证明：当直线AB与x轴不垂直时，
设其方程为y=kx+m，易知m≠0.
联立得方程组 ，消去y并整理，得 .
由题意可知 .
设 ，
则 ，
所以 .
由 可知 .
设 ，则有 ，
.
因为点P在椭圆 上，
所以 .
整理，得 .
所以 ，
且符合 .
点 到直线y=kx+m的距离 ，
所以△PAB的面积 .
由 ，即 ，
得 .
当直线AB与x轴垂直时，由于 ，不妨设 ，则 ，
所以 ， ,
所以 的面积 .
综上可知，△PAB的面积为定值 .
3．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线 的中心在坐标原点，左焦点 与右焦点 都在 轴上，离心
率为 ，过点 的动直线 与双曲线 交于点 、 ．设 ．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若点 、 都在双曲线 的右支上，求 的最大值以及 取最大值时 的正切值；（关于求 的最
值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 为 ，建立相应数量
关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点 在双曲线 的左支上（点 不是该双曲线的顶点，且 ，求证： 是等腰三角形．且
边的长等于双曲线 的实轴长的2倍．
【答案】(1)(2) ，
(3)证明见解析
【详解】（1）设双曲线方程为 ，焦距为 ，
由 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
（2）由（1）可得 ， ，所以双曲线 的方程为 ，
设 ， ，因为点 、 都在双曲线 的右支上，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，
当 时 ，所以 ，
所以 轴且 ，
又双曲线 的方程为 ，即 ，由 ，解得 ，
可知 ，又 ，所以 ，
.（3）设直线 的方程为 ，将它代入 ，可得 ，
设 ， ，
可得 ， ，
由 ，可得 ，
故 ，
又 、 同号，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
此时直线 的斜率的绝对值为 ，可知直线 与双曲线的两支都相交，
又 ，所以 ，
则 ，它等于双曲线实轴长的 倍，此时 ，
所以 是等腰三角形.1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，且F与圆M：
上点的距离的最小值为3．
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．
【答案】(1)
(2) PAB面积的最大值为 ，最小值为 .
【详解】（1）由点 到圆M上的点的距离的最小值为
解得 ．
（2）由（1）知，抛物线的方程为 ，即 ，则 ．
设切点 ， ，则易得直线PA： ，直线PB： ，
从而得到 ．
设直线AB： ，联立抛物线方程，消去y并整理，得 ，
则 ，即 ，且 ， ，故 ．因为 ，
点P到直线AB的距离 ，所以 ，①
又点 在圆M： 上，
故 ，代入①得， ，
而 ，故当 时， ,
故当 时， .
2．（2023春·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）已知焦点在 轴上的椭圆 ，
离心率为 ，且过点 ，不过椭圆顶点的动直线 与椭圆 交于 、 两点，求：
（1）椭圆 的标准方程；
（2）求三角形 面积的最大值，并求取得最值时直线 、 的斜率之积.
【答案】（1） ；（2）面积最大值为1，斜率之积为－4．
【详解】因为椭圆 离心率为 ，可设方程为 ，
过点 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，
联立 ，得 ，①
，
∴ ，
又点O到直线AB的距离为 ，
∴
故当 ，即 时，三角形 的面积有最大值1，此时满足①，
所以 ，
∴三角形 面积的最大值为1，此时直线 、 的斜率之积为－4．
3．（2012·全国·统考一模）已知双曲线C ： (a>0)，抛物线C 的顶点在原点O，C 的焦点是
1 2 2
C 的左焦点F．
1 1
（1）求证：C ，C 总有两个不同的交点；
1 2
（2）问：是否存在过C 的焦点F 的弦AB，使 AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的
2 1
方程与S AOB的最值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析．
（2）详见解析.
【详解】解：（1）由双曲线方程得 ，
所以F( ,0)，抛物线焦点到准线的距离 ，
1
所以抛物线： ①把①代入C 方程得： ②
1
Δ=64a2>0，所以方程②必有两个不同实根，
设为x,x,由韦达定理得xx=-a2<0，
1 2 1 2
所以②必有一个负根设为x,把x 代入①得y2= ,
1 1
所以 （因为x≠0），所以C ，C 总有两个不同交点．
1 1 2
（2）设过F( ,0)的直线AB为my=(x+ a),
1
由 得y2+4 may-12a2=0，
因为Δ=48m2a2+48a2>0，设y,y 分别为A，B的纵坐标，
1 2
则y+y= ,yy=-12a2.
1 2 1 2
所以(y-y)2=48a2(m2+1).
1 2
所以S AOB= |y-y|•|OF|= a• a• ，
1 2 1
当且仅当m=0时，S AOB的面积取最小值；
当m→+∞时，S AOB→+∞，无最大值．
所以存在过F 的直线x= 使 AOB面积有最小值6a2．
1
【题型三】 多斜率计算型
1．（2023·安徽·校联考二模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，短轴长为
，点 上的点 满足直线 、 的斜率之积为 ．
(1)求 的方程；(2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ．探究：点 是
否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 在定直线 上
【详解】（1）解：设 ，则 ，且 ，所以， ，
则 ，
故 ①，又 ②，
联立①②，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
（2）解：结论：点 在定直线上 ．
由（1）得， 、 ，设 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，
，
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以， ，可得
，解得 ，
因此，点 在直线 上.
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C： ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点 为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为 ，
试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若 ．过点O作 ，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)直线l过定点 ；
(2)
【详解】（1）直线 过定点 ，下面证明：
设 ， ， ，
又 ， ，∴ ，
∴直线 过原点满足 ．
又当PA两点固定时 为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为 ，
则直线 重合，则 重合，∴直线l过定点 ．
（2）设 ， ， ，不妨设 ，
∴ ， ，又点A，B在椭圆上，
∴ ， ，
∴ ， ，两式相加得 ，
由 ，
得 ，
∴点Q的轨迹是以点O为圆心以 为半径的圆，
∴点Q的轨迹方程为 ．
3．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的右顶点为A，О为原点，点
在 的渐近线上， 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)过点Р作直线 交 于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直
线AH的斜率为定值.【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点 在 的渐近线 上，所以 ，
，则 ，所以 ，故 ，
所以 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 与双曲线只有一个交点，不符题意，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，解得 且 ，
，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
因为H为NG的中点，所以 ，
所以 ，
因为，
所以 ，
所以直线AH的斜率为定值.
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点A在C上，
当 轴时， ；当 时， .
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线 交于点Q，且点M，N在直线 的两侧，
点 ．若 ，是否存在到直线l的距离 的P点？若存在，求t的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）当 轴时， ，即 ①，当 时， ，
在 中， ，由余弦定理可知，
，
即 ，
整理，可得 ，即 ②，
由①②，解得 ， ．
所以C的方程为 ．
（2）
设直线l： ，点 ， ，
令 ，则 ， ，
由点M，N在直线 的两侧，可得 ，
联立 ，消去x，可得 ，
则 恒成立，
所以 ， ．
因为 ，所以 ，由正弦定理，得 ，
而 ，即 ，
所以 ，而 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
即 ，
整理，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
令 ，
结合 ，解得 ，则 ．
所以 时，点P到直线l的距离 ．
2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的左焦点为 ，左、
右顶点分别为 、 ，上顶点为 ，且 的外接圆半径大小为 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)设斜率存在的直线 交椭圆 于 两点（ 位于 轴的两侧），记直线 、 、 、 的斜
率分别为 、 、 、 ，若 ，求 面积的取值范围．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据椭圆C的离心率为 知 ，所以 ，如图，则
则在 中，可得 ， ，
由正弦定理得 ，
解得 ，所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）由条件知直线 的斜率不为0，
设直线 ， ， ，
联立 ，得 ， 得
于是 ， ，因为 ， ， 代入椭圆方程得 ，
所以 ，
同理 ，于是 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ．
又直线l的斜率存在，所以 ，于是 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
化简整理得 ，
又P、Q位于x轴的两侧，所以 ，解得 ，
所以 ，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，
于是直线l恒过定点 ．
当 时， ， ，的面积
，
令 ，因为直线l的斜率存在，则 ， ，
于是 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 面积的取值范围为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）设椭圆方程为 ， ， 分别是椭圆的左、
右顶点，直线 过点 ，当直线 经过点 时，直线 与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线 与椭圆交于 ， （异于 ， ）两点．
（i）求直线 与 的斜率之积；
（ii）若直线 与 的斜率之和为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【详解】（1）依题意可得 ，
当直线 经过点 时， 的方程为 ，
代入 ，整理得 ，，
解得 ，所以椭圆的方程为 ．
（2）（i）依题意可得直线 的斜率不为0，
设 ， ， ．
由 得 ，
则
则
；
（ii）因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，与 联立得 ．
所以 的方程为 ，即 ．【题型四】 韦达定理复杂转化型
复杂型的韦达定理转化，比较多的是与角度，面积等有关，可以借助公式转化为两两交点坐标韦达定理形
式，需要多积累多观察多总结。
1.已知 分别为椭圆 的左、右焦点，B为椭圆C短轴的端点，若 的
面积为 ，且 .（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线 与椭圆C交于 ，M为线段 的中点，且M在曲线
上，设O为坐标原点.求 的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由 ， ，
，故椭圆C的方程为 ；
（2）联立 .
.且 ， ；
设 ， 依题意， ，即
化简得： ；所以在 中
因为 ，所以 ， 所以 的范围为
．
2.已知椭圆 ： ，圆 ： 的圆心 在椭圆 上，点
到椭圆 的右焦点的距离为2． （1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） （2） 或 ．
试题解析：（1）因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ，因为 在椭圆 上，所以
，
由 ，得 ， ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）由 得： ，即 ，可得
，
①当 垂直 轴时， ，此时满足，所以此时直线 的方
程为 ；②当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，由 消去 得 ，
设 ， ，所以 ， ，代入 可得：
，代入 ， ，得 ，
代入化简得： ，解得 ，经检验满足题意，则直线 的方程为
，
综上所述直线 的方程为 或 ．
3．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为 的抛物线 经过点 ．
(1)设 为坐标原点，求抛物线 的准线方程及 的面积；
△
(2)设斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆与抛物线 的准线相切，
求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)准线为 ，
(2)证明见解析，定点 ．
【详解】（1）因为抛物线 过点 ，所以 ，即 ．
故抛物线 的方程为 ，焦点 ，准线方程为 .
所以
（2）设直线 的方程为 ．
由 得： ，又 有 ．
设 则 ， ．
设 的中点为 ，则 .
所以 到准线的距离 ，
，
依题意有 ，即 ，
整理得 ，解得 ，满足 ．
所以直线 过定点 ．
1．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与 轴交于点 ，过 作直线 交 于 两点， 交 于 两点.已知直线
交 于点 ，直线 交 于点 .试探究 是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【答案】(1)(2)是，1
【详解】（1）由题意， ，解得 ，
代入点 得 ，解得 ，
的方程为： ；
（2）
由题意， ，当 斜率都不为0时，设 ，
，
当 时，由对称性得 ，
当 时，联立方程 ，得
恒成立， ，
同理可得： ，
直线 方程： ，
令 ，得 ，同理： ，
，
，
当 斜率之一为0时，不妨设 斜率为0，则 ，
直线 方程： ，直线 方程： ，
令 ，得 ，
，
综上： .
2．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ;双曲线
的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， ．过点 作不垂直于y轴的直线l交
曲线 于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线 于P、Q两点．(1)求 、 的方程；
(2)若 ，求直线PQ的方程；
(3)求四边形APBQ面积的最小值.
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)2
【详解】（1）由题意可知： ，
所以 ，
解得： ，
所以椭圆方程为 ，双曲线方程为： .
（2）由（1）知 ，因为直线 不垂直与 轴，设直线 的方程为： ，设点
，则 ，
由 ，则 ，即 ，
联立： ，可得： ， ，由韦达定理可得： ，
将 代入得： 解得 ，
当 时，弦 的中点 ，此时直线 的方程为： ；
当 时，弦 的中点 ，此时直线 的方程为： .
所以直线 的方程为 或 .
（3）设 的中点 ，由（2）可得 ，
且 ，点 ，
，直线 的方程为： ，
联立 可得： ， ，且 ，
由双曲线的对称性，不妨取点 、 ，
所以点 到直线 的距离为： ，
点 到直线 的距离为： ，，
所以四边形 的面积为
，因为 ，
所以当 ，即 时，四边形 的面积取最小值2.
3．（2023·河北张家口·统考二模）已知双曲线 的一条渐近线为 ，右焦点为
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 作直线 交双曲线 的右支于 两点，点 满足 ，求证：存在两个定点 ，使
得 为定值，并求出这个定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意可得 ，即 .
又右焦点为 ，所以 ，即 ，可得 .
因此双曲线 的方程为 .（2）设点 ，
设直线 的方程为 ，与双曲线 的方程 联立，
整理得 ，
则 ，整理得 .
由根与系数的关系得 ，于是 ，
注意到 ，于是 ，解得 .
又点 满足 ，即 整理得
两式消除得 ，代入消去 得 .
因此点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
由双曲线的定义可知，存在两个定点 ，使得 .
【题型五】 线段（向量）定比型
对于形如
的线段或者向量定比分点型：
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
1．（2023·山东泰安·统考二模）已知点 和点 之间的距离为2，抛物线
经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线， 上，且 ， （O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1） ， ， ， ，
将 代入 ，解得 ，
抛物线C的方程为 ，
直线l过点 ，且与抛物线C有两个不同的交点，
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 ，
由 得， ，
且 ，即 ，
且 ，
， ，
， ， 点E，F均在y轴上，
， 均与y轴相交， 直线l不过点 ， ，
k的取值范围为 且 且 ，直线l的倾斜角的取值范围为 ；
（2）设 ，
M，A，B三点共线， ， ，
， ， ， ，
由（1）知， ， 且 ，
直线 的方程为 ，
令 得 ，同理可得， ，
.
2．（2023·广东·统考二模）已知A，B是抛物线E： 上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足 ，其中λ是常数，且 ．
(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
(2)若点P为半圆 上的动点，且 ，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以 ，
所以直线AB和直线CD的斜率相等，即 ，
设 ， ， ， ，
则点M的横坐标 ，点N的横坐标 ，
由 ，得 ，
因式分解得 ，约分得 ，
所以 ，即 ，
所以MN垂直于x轴．
（2）设 ，则 ，且 ，
当 时，C为PA中点，则 ， ，
因为C在抛物线上，所以 ，整理得 ，
当 时，D为PB中点，同理得 ，所以 是方程 的两个根，
因为 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，所以PM也垂直于x轴，
所以 ，
因为 ，
所以
， ，
当 时， 取得最大值 ，
所以 ，
所以四边形ABDC面积的最大值为 ．
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，点 ，且
．(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q作直线l交C于A，B两点，O为原点，过点A作x轴的垂线，分别与直线 ， 交于点D，
E，从下面①②两个问题中选择一个作答．
①问： 是否为定值，并说明理由；
②问：在直线 上是否存在点M，使四边形 为平行四边形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① 为定值，理由见解析；②存在 ，只需保证 为 的中点.
【详解】（1）由题设 ，则 ， ，
又 ，故 ，整理得 ，
由 ，则 ，即 .
所以抛物线C的方程 .
（2）显然直线 斜率存在且不为0，令 为 ，又 ，即 在抛物线上，
联立抛物线有： ，且 ，即 或 ，
所以 ，
直线 为 ，直线 为 ，又过A作x轴的垂线为 ， ，
所以 ， ，
选①： 为定值.选②：由① 知： 为 的中点，
当 ， ，且 ，即 为 的中点，
此时，四边形 为平行四边形，所以存在点M，使四边形 为平行四边形.
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 是双曲线 的左､右顶点， 为双曲线上与 ，
不重合的点.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 是定值；
(2)设直线 与直线 交于点 ， 与 轴交于点 ，点 满足 ，直线 与双曲线 交于点
（与 ， ， 不重合）.判断直线 是否过定点，若直线 过定点，求出该定点坐标；若直线
不过定点，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)直线MN过定点
【详解】（1）设 ，由题意 ，且 ，
所以（2）设 ， ， ，BN的斜率为 ，由 知：
，由(1)知： 所以
设MN： ，与双曲线 联立，
得： ，
所以 ，
所以 ，
即 ﹐
则
整理得 ，解得 或 （舍），
故直线MN过定点 .
2．（2023·福建莆田·统考二模）如图，正六边形 的边长为2．已知双曲线 的焦点为A，D，两
条渐近线分别为直线 ．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求 的方程；
(2)过A的直线l与 交于M，N两点， ，若点P满足 ，证明：P在一条定直
线上．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形 中， 为正三角形， ， ，
设双曲线 的方程为 ，
由已知得 的渐近线方程为 ，所以 ，
又焦距 ，所以 ，
又由 ，则 ，从而 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意，设 ，
当直线 为 轴时，不失一般性，则 ，
又由（1）知 ，故 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ；
当直线 不为 轴时，设 的方程为 ，由 可知 ，联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上，
所以点 在定直线 上.
3．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知直线 ： 和直线 ： ，过动点E作平行 的直线交 于
点A，过动点E作平行 的直线交 于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线 ，若过点 的直线m与曲线 交于P，Q两点，
且与y轴交于点N，若 ， ，求证： 为定值.
【答案】(1) 或 ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设 ，过 且平行 的直线方程为 ，
由 得交点 的横坐标为 ，所以 ，
点到直线 的距离为 ，
所以四边形OAEB的面积为 ，
即 或 ，
故动点E的轨迹方程为 或 .
（2）由题知 的方程为 ，
设 ，、
当直线 的斜率为0时， ，
若 ，由 ， ，知 ，
所以 ；
若 ，由 ， ，知 ，
所以 ；
当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为 (显然 )，
则 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得
由 消 并整理得 ，因为直线m与曲线 有两个交点，
则在 且判别式 时有 且
所以 ，
即证得 为定值 .
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 代入 .
1．（2023·江苏常州·校考二模）已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别交于 、
两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.当直线 变化时，
恒为一定值，求点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时，显然符合题意，当 时，设直线 的方程为 ，其中 ，设 、 ，
与双曲线方程联立可得 ，
因为直线 与双曲线交于不同的两支，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，即 ，所以 且 ，解得 或 ，
综上可得 ；
（2）由（1）知，因为 ，
所以 ，
设 ，则直线 的方程为： ，设 ，
直线 与双曲线方程联立可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ，当 时，
即 时， 为定值 ，
所以 或 ，又因为 ，
所以点 的轨迹方程为 .
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 为C的左右焦点.
点 为椭圆上一点，且 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足 ，求M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
把 代入 ，得 ，所以 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）由题意，直线AB斜率存在，不妨设其方程为 ，
设点 ，
联立椭圆方程 ，得 ，
其中 ，则 ，
所以 ，
因为直线 、 的倾斜角互补，所以 ，
所以 ，化简得 ，
即 ，
所以 ，若 ，此时直线AB过点P，不合题意舍去；
故 ，所以 ，所以直线AB方程为 ，
设 ，因为 ，所以M为AB的中点，
所以 ，则 ，
消去m得 ，又 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以点M的轨迹方程为 .3．（2023·四川宜宾·统考三模）已知点 在 轴右侧，点 、点 的坐标分别为 、 ，直线 、
的斜率之积是 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若抛物线 与点 的轨迹 交于 、 两点，判断直线 是否过定点？若过定点，求出
定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 过定点，定点为
【详解】（1）解：设点 ， ，
因为直线 、 的斜率之积是 ，所以， ．
整理可得 ，因此，点 的轨迹 的方程为 .
（2）解：设 、 ，
由 得 ， ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，因为 ， ，所以， ，
因为 ，
所以，直线 的方程为 ，
即 ，
所以，直线 过定点 .
1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点 与定点 的距离和它到定直线 的
距离之比是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 分别交轨迹 于点 和 ，求四边形 面积 的最小值.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）设 ，由题意有 且 ，
化简得 ，即 ．
（2）当其中一条直线的斜率不存在时，则 、 一条为长轴长、另一条为过 的通径长，
令 ，则 ，可得 ，故通径长为 ，而长轴长为 ，易得 ．
当 直线的斜率存在且不为0时，设直线 的斜率为 ，则直线 为 ，
，化简整理得 ，
设 ，则 ，
，
，则直线 的斜率为 ，同理 ，
，
令 ，则 ，当 ，即
时等号成立，而 ，则四边形 面积 的最小值为 .
2．（2023·广东·统考模拟预测）已知圆O的方程为 ，P为圆上动点，点F坐标为 ，连
OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．
(1)求点A的轨迹方程；
(2)记点A的轨迹为曲线C，过点 作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线 与直
线n交于点H，记 ． ，问： 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1；理由见解析
【详解】（1）记 ， 则 为 的中点， 为 中点，
所以 ，
，
，
所以点 的轨迹是长轴长为4，焦距为2的椭圆，
所以点 的轨迹方程为 ；（2）设 到直线 的距离为 ，设 ， ， ,
， ，
，
设直线 ，令 ， ，
进而 ，
联立 ，消去 ，得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 是定值为1.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点 是圆 ： 上的任意一点，点 ，线
段 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；(2)设 ， ，过点 的直线 与轨迹 交于 ， 两点（不与 轴重合），直线 与直
线 交于点 .求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）圆 ： 的圆心 ，半径 ，
依题意， ，
因此动点 的轨迹 是以点 ， 为左右焦点且长轴长为4的椭圆，
长半轴长 ，半焦距 ，则短半轴长 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题意，设直线 的方程为 ，由 消去x得： ，设 ， ，
则 ， ，显然有 ，
直线 的斜率 ，直线 的方程为 ， ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
，
于是 ， ， 三点共线，所以 .
【题型七】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再
表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
1．（2023·河北邯郸·统考二模）已知双曲线 （ ， ）过 ， ，
， 四个点中的三个点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，求证：直线 经过一个不在双曲线 上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【详解】（1）根据双曲线的对称性可知 ， 关于 轴对称，
所以 ， 必同时在双曲线上，而 不可能在双曲线 上.
则双曲线还经过点 ，则 ，
将点 代入，可得 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）(ⅰ)当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得， .
由 得 （*），
且 ， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
化简得 ，即 ，
所以 或 ，且均满足（*），
当 时，直线 的方程为 ，
直线 过定点 ，即点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，
直线 过定点 ，符合题意.
(ⅱ)当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，
由 ，解得 ，
依题意，因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 （舍）或 ，
所以直线 的方程为 ，直线 过点 ，
综上所述，直线 经过一个不在双曲线 上的定点，定点的坐标为 .
2．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线 ，点 是双曲线 的左顶点，点 坐标为 .
(1)过点 作 的两条渐近线的平行线分别交双曲线 于 ， 两点.求直线 的方程；(2)过点 作直线 与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 与双曲线 的另一个交点分别是点 ，
.试问：直线 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线 过定点
【详解】（1）由题意，得双曲线 的渐近线方程为 ，
过 与 平行的直线方程为 ，由 ，解得 ，
过 与 平行的直线方程为 ，由 ，解得 ，
∴直线 的方程为 .
（2）直线 过定点.
由已知，易知过 的直线斜率存在且不为 ，直线 ， 斜率存在且不为 ，
设直线 ， 的直线方程分别为 和 ， .
由 ，得 ，解得 ，则 .同理 ，则 .
又 ， ， 三点共线，而 ，
故 ，解得 .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
即
化简整理，得 （*），
易知直线 斜率存在，设直线 的方程 ，
由 ，消去 整理，得 ，
∴当 且 时，
有 ， ，
代入（*）化简，解得 ，
即 ，故 或 .
当 时， ，经过点 ，不合题意，
当 时， ，经过点 ，满足题意.
因此直线 过定点 .3．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于点B，C，BC
中点为D，过 中点E且平行于 的直线交 于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于 ， 的对称点分别为 ， ，点 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，过
的直线 与Γ交于点M，N，直线 ， 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予
证明.
① 的面积是定值；② 的面积是定值：③ 的面积是定值.
【答案】(1)
(2)结论③正确，证明见解析
【详解】（1）由题意得， ， .
因为D为BC中点，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以点P的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设 ，其中 ， .
则 ， ， ， .
故 .
（2）解法一：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得 ，
，解得 .
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .
解法二：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，
得，
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .
解法三：结论③正确.下证： 的面积是定值.
由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0.
（i）当直线 垂直于x轴时， ，由 ，得 或 .
不妨设 ， ，
则直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得 ，所以 ，
故Q到 的距离 ，此时 的面积是 .（ii）当直线 不垂直于x轴时，设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 ，得
.
下证： .
即证 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
上式显然成立，
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
此时 的面积是定值，为 .
由（i）（ii）可知， 的面积为定值.
解法四：结论③正确.下证： 的面积是定值.由题意得， ， ， ， ，且直线 的斜率不为0，
可设直线 ， ， ，且 ， .
由 ，得 ，
所以 ， .
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
因为 ，所以 ，
故直线 的方程为： .
由 ，得
，
解得 .
故点Q在直线 ，所以Q到 的距离 ，
因此 的面积是定值，为 .【点睛】方法点睛：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则
称点P( ， )和直线l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实
上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应
的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线
，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应
的极线方程为 .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ：
与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.
(1)当 时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求 的周长；
(2)当 且直线 过点 时，设 ， ，求证： 为定值，并求出该值；
(3)若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大值.
【答案】(1)(2)证明见解析，
(3) ；
【详解】（1）当 时，椭圆 ： ， 的周长为 ；
（2）当 且直线 过点 时，椭圆 ： ，直线斜率存在， ，
联立 ，消去 得： ，
恒成立，
设 ， ，则 ，
由 ，点 的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到 ， ， 从而 ，
，所以 为定值3；（3） ，解得 ，故椭圆方程 ，联立 ，
消元得 ，
，即 ，
设 ， ，则 ， ，
则
，
当 为定值时，即与 无关，故 ，得 ，
此时 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
经检验，此时 成立，所以 面积的最大值为1 .
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，
且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 两点，证明：在 轴上存在定点 ，使得直线 ， 关于
轴对称.【答案】(1)椭圆 的方程为 ；
(2)在 轴上存在点 ，使得直线 ， 关于 轴对称.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）联立 ，消 ，得 ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
设 轴上存在点 ，使得直线 ， 关于 轴对称，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以在 轴上存在点 ，使得直线 ， 关于 轴对称.3．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知椭圆 的离心率是 ，
是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是 ， ，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，
由题意可得 ，解得 ， ，
故椭圆C的标准方程为： .
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ，
， ，
因为 ，所以 ， ，
所以
.
故 为定值，该定值为 .
高考模拟练习
1．（2023·上海奉贤·统考二模）已知椭圆 : ， ， ．椭圆 内部的一点
，过点 作直线 交椭圆于 ，作直线 交椭圆于 ． 、 是不同的两点．
(1)若椭圆 的离心率是 ，求 的值；
(2)设 的面积是 ， 的面积是 ，若 ， 时，求 的值；(3)若点 ， 满足 且 ，则称点 在点 的左上方．求证：当 时，点 在点
的左上方．
【答案】(1) 的值为 或
(2)1
(3)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆 的离心率是 .
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
所以 的值为 或 ；
（2）由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
由图， ，
注意到 ，则 .
又 ，同理可得.则
（3）由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
则
.又在椭圆内部，则 ，故 .
又根据题意知 ，所以 .所以当 时，点 在点 的左上方．
2．（2023·上海闵行·统考二模）已知O为坐标原点，曲线 ： 和曲线 ： 有
公共点，直线 ： 与曲线 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
(1)若曲线 和 有且仅有两个公共点，求曲线 的离心率和渐近线方程；
(2)若直线OM经过曲线 上的点 ，且 为正整数，求a的值；
(3)若直线 ： 与曲线 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为曲线 和 有且仅有两个公共点，
所以曲线 和 的两公共点为左右顶点，
则 ，曲线 的半焦距 ，
所以曲线 的离心率 ，
渐近线方程为 ；（2）联立 ，得 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
故直线OM的方程为 ，依题意直线OM经过点 ，
代入得 ，则 ，所以 ，
因为直线 与曲线 的左支相交于两点，故 ，
得 ，则 ，所以 ，
又曲线 和 有公共点，所以 ，所以 ，
又 为正整数，所以 ，
所以 ；
（3）由（2）可得 ，
同理，联立直线 ： 与曲线 ： ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ．
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
3．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C
的左、右顶点，直线 与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.① ；②
；③ .注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知可得， ， .
因为点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的垂线 的方程为 ，
整理可得， .
设点 ， ，联立直线 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， .
原点 到直线 的距离为 ，
所以， 的面积为 .
（2）
①②为条件，③为结论
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 .
又 ，所以点 的坐标为 ，
所以直线 的斜率为 .
又 ，所以 .
设点 ，因为直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ；
①③为条件，②为结论
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 .
又 ，所以点 的坐标为 ，
又 ，点Q在x轴正半轴上，所以 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
所以， ；
②③为条件，①为结论
令点 ， ，且 ，不妨设 .
因为 三点共线，
所以 ，且 .
因为 ，点Q在x轴正半轴上，所以 .因为 ，所以 .
又 ，
所以， ，且 ，
所以， ，即 .
4．（2023·上海崇明·统考二模）已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交
点（点 在点 的上方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意， ，解得 （负数舍去）.
（2） 的直线经过 ，则直线方程为： ；
，则椭圆的方程为： .
设 联立直线和椭圆方程： ，消去 得到 ，解得 ，则 ，故 ，于是 .
依题意知， 为椭圆的下顶点，即 ，由点到直线的距离， 到 的距离为： .
故
（3）设 联立直线和椭圆方程： ，得到 ，由
，得到直线 方程为： ，令 ，解得 ，即
，又 ， ，为说明 三点共线，只用证 ，即证：
，下用作差法说明它们相等：
，而 ，
， ，于是上
式变为： .由韦达定理， ，于是 ，故 ，命题得
证.
5．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线 和圆 ．
(1)若抛物线 的准线与 轴相交于点 ， 是过 焦点 的弦，求 的最小值；
(2)已知 ， ， 是拋物线 上互异的三个点，且 点异于原点．若直线 ， 被圆 截得的弦长都为
2，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）拋物线 的焦点为 ，准线为 ，则 ，
设 方程为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，所以 ， ，
所以 ， ，
则
，当且仅当 时取等号，
即 的最小值为 .（2）设 ， ， ，
则 ， ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，则 ，
同理可得 ，
所以 、 为方程 的两根，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 点坐标为 或 .6．（2023·湖北·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， ， ， 分别是矩形四条
边的中点， ， 分别是线段 ， 上的动点，且满足 ．设直线 与 相交于点 ．
(1)证明：点 始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；
(2)设 ， 为该椭圆上两点， 关于直线 的对称点为 ，设 ，且直线 ， 的倾斜角
互补，证明： 为定值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意 ， ， ，设 ， ， ．
直线 的方程为 ，①
直线 的方程为 ，②
联立①②，得 ，
即 ，整理得 ．
因为 ，所以 ，因此得到 ．
这就证明了点 在椭圆上，椭圆的标准方程为 ．（2）因为 ，所以 在椭圆 上．
记 ．设 ， ，则 ，
故 ．
因为直线 ， 的倾斜角互补，所以 ，③
即 ．④
由 ， ，
得 ，所以 ．⑤
同理，由 ， ，
得 ．⑥
⑤ ⑥，并结合③，可得 ．
整理得 ．⑦
④ ⑦，得 ，
故 ．
所以 ，即 为定值．7．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线 上的所有点构成集合 和
集合 ，坐标平面内任意点 ，直线 称为点
关于双曲线 的“相关直线”．
(1)若 ，判断直线 与双曲线 的位置关系，并说明理由；
(2)若直线 与双曲线 的一支有2个交点，求证： ；
(3)若点 ，点 在直线 上，直线 交双曲线 于 ， ，求证： ．
【答案】(1)直线 与双曲线 相切，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）直线 与双曲线 相切．理由如下：
联立方程组 ，
∴ ①，
∵ ，
∴ ，即 ，代入①得，
，
∴ ，
∴直线 与双曲线 相切．
（2）由（1）知 ，
∵直线 与双曲线 的一支有2个交点，则 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）设 ， ，设 ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
代入双曲线 ，利用 在 上，
即 ，整理得 ，
同理得关于 的方程 ．
即 、 是 的两根，
∴ ，
∴ ．
8．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 ， ，动点 关于 轴的对称点为 ，直线
与 的斜率之积为 .
(1)求点 的轨迹 的方程；(2)设点 是直线 上的动点，直线 ， 分别与曲线 交于不同于 ， 的点 ， ，过点 作
的垂线，垂足为 ，求 最大时点 的纵坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，且 ，
， ，所以 ，
整理得曲线 .
（2）
设 ， ， ，
若直线 平行于 轴，根据双曲线的对称性，可知点 在 轴上，不符合题意，
故设直线 ： ，代入曲线 中，得 ，
则 ， ，则 ，
由 ，A， 三点共线得 ，即 ，
同理，由 ，B， 三点共线得 ，消去 ，得 ，
即 ，
得 ，
得 ，
即对任意 ， ，都有 成立，
故 或 ，
若 ，由 ， 可得：
所以 即 ，矛盾，故 ，
所以 .
所以直线 ： 恒过点 ，
则点 的轨迹是以 为直径的圆，其方程为 ，
当 与 重合时， 最大，此时 轴， ： ， .
所以当 最大时，点 的纵坐标为 .
9．（2023·四川绵阳·统考三模）过点 的直线 与拋物线 交于点 ， （ 在第
一象限），且当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求抛物线的方程；(2)若 ，延长 交抛物线 于点 ，延长 交 轴于点 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意直线l的斜率 ，所以l得方程为 ，
联立方程 ，解得 ， ，
由弦长公式得： ，
，解得 ， 抛物线方程为 ；
（2）由（1）知：抛物线方程为 ，设 ，直线l的方程为
，显然 时存在的，
如图：
联立方程 ，得 ， ， ① ，
直线MB的方程为： ，即 ，
， ②，
直线PN的方程为： ，令 得 ， ，
， ，
由①②得： ；
综上，抛物线方程为 ， .
10．（2023·河北张家口·统考一模）如图，抛物线 与圆 交于A，B，
C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．
(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当 的面积最大时，求抛物线M的方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明：设 ， ，则 ， ．
由 得 ，
则有
解得 ．又 ，所以 ．
由圆与抛物线的对称性可知，点 在 轴上，设 ．直线 的方程为 ，
则 ，所以 ．
又 ，得 ，
所以 ，所以 为定点，坐标为 ．
（2）由题意知 的面积与 的面积相等，设 的面积为 ．
如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为 ，
则
由（1）知 ， ， ，
所以 ，
所以
，
当 时， 的最大值为6，这时抛物线 的方程为 ．
