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第 01 讲 数列的基本知识与概念
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”
（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕
草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那
契数列 满足： ， ， ，若 ，则k等于（ ）
A．12 B．13 C．89 D．144
2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列 ： ， ， ， ， ， ， ，满足 ，
，那么 是斐波那契数列中的
（ ）
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列 中， ， ，且 ，
记数列 的前n项积为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠罗汉”的
思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其前 项和记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列 ，若 ，则 （ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是递增数列，且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．已知 ，则数列 是递增数列
B．数列 的通项 ，若 为单调递增数列，则
C．已知正项等比数列 ，则有
D．已知等差数列 的前 项和为 ，则
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，若数列 是递减
数列，则实数k不能取的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的 ，由关系式
得到的数列满足 ，则函数 的图象不可能是（ ）
A． B．C． D．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，则数列
中的项的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．
13．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，记
数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，且 ，则
___________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 ______．
16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设 且 ，已知数列 满足
，且 是递增数列，则a的取值范围是__________．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若存在常数 ，使得对任意的正整数n都
有 ，则 的最小值为______.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 满足 ， 为正整数，若
，则实数 的取值范围是_______.
19．（2023·全国·高三专题练习）知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为第
______项．20．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入
生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年
开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第 年年底企业上缴资金后剩
余资金为 万元.
（1）用 表示 ， ，并写出 与 的关系式；
（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的值.（精确到
0.01）
1．（2015•上海）若无穷等差数列 的首项 ，公差 ， 的前 项和为 ，则
A． 单调递减 B． 单调递增 C． 有最大值 D． 有最小值
2．（2022·全国甲卷·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一
颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国甲卷·统考高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数
列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
7．（2004·江苏·高考真题）设数列 的前n项和为 ， （对于所有 ），且 ，
则 的数值是___________．
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给
出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
9．（2004·浙江·高考真题）如图， 的在个顶点坐标分别为 ，设 为线段BC的中点，
为线段CO的中点， 为线段 的中点，对于每一个正整数n， 为线段 的中点，令 的坐标
为 ， ．
(1)求 及 ；
(2)证明 ；
(3)若记 ，证明 是等比数列．
