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第 01 讲 计数原理
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人
员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中 两个代表团已经入住甲宾馆且
不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有 种方法，
故选：A
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6
名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李
不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40 B．28 C．20 D．14
【答案】B
【解析】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为 人分布，共有 种方案，
两个路口为 人分布，共有 种方案，
此时共有 种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有 种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
3．（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团
中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，
且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150 B．90 C．48 D．36
【答案】A
【解析】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有 种不同的提问方式；②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有 种不同的提问
方式．
综上，共有 种不同的提问方式，
故选：A
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼
记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊 名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研
读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则 名同学所有可能的选择有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三
种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为 .
故选：D.
5．（2023·河北·校联考三模）在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列
问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在
街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角 处前往最东南角 处，
则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点 到点
的最短距离走法种数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】A
【解析】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2步，
所以共有 种不同的走法，
又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有 种不同的走法，
根据分步计数原理得，从点 到点 的最短距离走法种数共有 种.
故选：A.
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他
总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10 B．9 C．8 D．12
【答案】A
【解析】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.
因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，
每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，
此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；
（2）第1球不是白球.
（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；
（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有3种不同排列；
（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有 种可能的不同过程.
故选：A
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运
会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预
约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种 B．82种 C．86种 D．90种
【答案】D
【解析】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有 种不同的分法，
下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有 种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有 种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有 种 ．
故选：D.
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学从中选3门.若要
求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．32种 B．20种 C．16种 D．14种
【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①若从 类课程中选1门，从 类课程中选2门，有 （种）选法；
②若从 类课程中选2门，从 类课程中选1门，有 （种）选法.
综上，两类课程中都至少选一门的选法有 （种）.
故选：C.
9．（多选题）（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有
6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（ ）
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
【答案】ABC
【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数： ，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法： ，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法： ，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有 种选择，若第一组没有人选，每个人有3种
选择，共有 种选择，
所以不同的选法有： ，故D错误；
故选：ABC.
10．（多选题）（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考二模）如图所示，各小矩形都全等，各条
线段均表示道路.某销售公司王经理从单位 处出发到达 处和 处两个市场调查了解销售情况，行走顺序
可以是 ，也可以是 ，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可
以选择的最近不同路线共有（ ）
A．31条 B．36条 C．210条 D．315条
【答案】CD
【解析】设小矩形的长为 ，宽为 ，则从 的最近路线为 ，从 的最近路线为 ，
若 ，则选择行走顺序为 ，先从 ，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有
种，从 ，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有 种，所以从
的不同路线有 种；若 ，则选择行走顺序为 ，先从 ，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有
种，从 ，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有 种，所以从
的不同路线有 种.
综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.
故选：CD.
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去 地重点高中进行
教学调研.现知 地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有
114种
【答案】ABD
【解析】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，
故不同的调研安排有 种，故A正确；
对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，
分别有 ， 种分组方法，
则不同的调研安排有 种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有 种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有 种，D正确.
故选：ABD.
12．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知
书籍 分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
【答案】180
【解析】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.
则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.
第一类1，1，4情况：
若甲分1本，已分得书籍 ，则另两人一人1本，1人4本，共有 种，
若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有 种，
故第一类情况共有 种；第二类1，2，3情况：
若甲分1本，已分得书籍 ，另两人一人2本，1人3本，共有 种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有 种，
若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有 种，
故第二类情况共有 种；
第三类2，2，2情况：
每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有 种；
所以不同的分发方式种数共 .
故答案为：180.
13．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠
送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人
各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副
春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【解析】4副长联内容不同，赠送方法有 种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有 种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为 ．所以所求方法种数为 ．
故答案为： .
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7
个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 .
【答案】8
【解析】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 个.
故答案为：8.
15．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织
招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
【答案】12
【解析】第一步：先将3名男生分成两组，再分配到 两所高校，共有 种；
第二步：将2名女生分配到 两所高校，共有 种；
所以不同的安排方法有： 种.
故答案为：12.
16．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足 ，在空间内取不同两点
（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
【答案】9
【解析】因为空间中有三个点 ，且 ，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑 三边的轮换对称性，可先
分为两种大情况，即以下两种：
第一种： 为正四棱锥的侧面，如图1，
此时 分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以 为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，
考虑到 三边的轮换对称性，故而总情况有6种；
第二种： 为正四棱锥的对角面，如图2，
此时 分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以 为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，
考虑到 三边的轮换对称性，故而总情况有3种；
综上所述：总共有9种情况.
故答案为：9.
17．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日
在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一
个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种.
【答案】24
【解析】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有 种，当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有 种，
由分类加法原理可知共有 种，
故答案为：24
18．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去
三个小区 参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区 ，
则不同的安排方法种数共有 种．
【答案】100
【解析】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排
1人，
则有 和 两种情况，共有 种情况，
员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有 种情况.
故答案为：100
1．（2012•浙江）若从1，2，3， ，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共
有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有 种结果，
当取得4个奇数时，有 种结果，
当取得2奇2偶时有
共有 种结果，
故选： ．
2．（2011•大纲版）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋
友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册 种，根据分类计数原理知共10种，
故选： ．
3．（2011•大纲版）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共
有
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
恰有2人选修课程甲，共有 种结果，
余下的两个人各有两种选法，共有 种结果，
根据分步计数原理知共有 种结果
故选： ．
4．（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，
不同选法的种数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 每位同学均有5种讲座可选择，
位同学共有 种，
故选： ．
5．（2020•上海）已知 ， ， ，0，1，2， ， 、 ，则 的情况有 种．
【答案】18
【解析】当 ，0种，
当 ，2种，
当 ，4种；
当 ，6种，
当 ，4种；
当 ，2种，
当 ，0种，
故共有： ．
故答案为：18．
6．（2016•上海）4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】24
【解析】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 种，
故答案为：24．7．（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2
位回文数有9个：11，22， ，99.3位回文数有90个：101，111，121， ，191，202， ，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ） 位回文数有 个．
【答案】90；
【解析】 位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位
数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有 个
故答案为 90
第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、 、 、 个数字，共有 种选法，
故 位回文数有 个
故答案为
8．（2011•北京）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有
个．（用数字作答）
【答案】14
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，
首先确定数字中2和3 的个数，
当数字中有1个2，3个3时，共有 种结果，
当数字中有2个2，2个3时，共有 种结果，
当数字中有3个2，1个3时，共有 种结果，
根据分类加法原理知共有 种结果，
故答案为：14
