文档内容
第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 模拟真题练......................................................................................................................................2
题型一：单调性的定义及判断....................................................................................................................................2
题型二：复合函数单调性的判断................................................................................................................................2
题型三：分段函数的单调性........................................................................................................................................3
题型四：利用函数单调性求函数最值........................................................................................................................4
题型五：利用函数单调性求参数的范围....................................................................................................................4
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小............................................................................................................5
题型七：函数的奇偶性的判断与证明........................................................................................................................5
题型八：已知函数的奇偶性求参数............................................................................................................................6
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值............................................................................................................6
题型十：奇函数的中值模型........................................................................................................................................7
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式....................................................................................................7
题型十二：函数对称性的应用....................................................................................................................................8
题型十三：函数周期性的应用....................................................................................................................................9
题型十四：对称性与周期性的综合应用....................................................................................................................9
题型十五：类周期与倍增函数..................................................................................................................................10
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................11
03 真题实战练....................................................................................................................................13题型一：单调性的定义及判断
1．下列函数在 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是偶函数，且在 上单调递增 D．是奇函数，且在 上单调递减
3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数 ，且 .
(1)求 的值，并指出函数 的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数 在 上是增函数.
题型二：复合函数单调性的判断
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．6．已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：分段函数的单调性
7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 满足对于任意实数 ，都有 成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知 ，且 ，函数 在 上单调，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．题型四：利用函数单调性求函数最值
11．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则
实数 的取值范围是 .
12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数
①若 ，则 的最小值为 .
②若 有最小值，则实数 的取值范围是 .
13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
14．函数 的最大值为 .
题型五：利用函数单调性求参数的范围
15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
19．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ,若
，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
21．已知偶函数 在区间 上单调递增，且 则 的大
小关系为
A． B．
C． D．
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
22．设函数 的定义域为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D． 是奇函数
23．（2024·重庆·三模）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·高三·江西·期中）设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则
（ ）
A． 是偶函数
B． 是偶函数
C． 是奇函数D． 是奇函数
25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
26．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) .
题型八：已知函数的奇偶性求参数
27．设函数 ，若 为奇函数，则
28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 为奇函数，则 .
29．（2024·四川内江·三模）若函数 是奇函数，则 .
30．设奇函数 ，则 的值为 .
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 ， 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
，则 ．
32．已知偶函数 和奇函数 均定义在 上，且满足 ，则
．33．已知 ， 是分别定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则
.
34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
题型十：奇函数的中值模型
35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数 为奇函数，且最大值为1，则函数 的最大值和
最小值的和为 .
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 且 ， ，
，则 和 的值一定不会是（ ）
A． 和 B．-3和4
C．3和-1 D． 和
37．已知函数 ，正实数 满足 ，则 的最小值为
.
38．已知函数 ，则 是 （填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
函数；若 ，则 .
39．（2024·安徽安庆·三模）若 ，都有 成立，则函数
在 上的最大值与最小值的和为 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
40．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．41．（2024·辽宁大连·一模）设函数 则满足 的x的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上是增函数，且
，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
43．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型十二：函数对称性的应用
44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 对称的函数的解析式 ．
45．（2024·四川泸州·一模）函数 的对称中心为 ．
46．已知函数 ，函数 满足 ，若 与 的图象有6个交点，则所
有交点横坐标之和等于 .
47．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数 满足 为奇函数，若函数 与
的图象的交点为 ， ，…， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．题型十三：函数周期性的应用
49．已知函数 的定义域是 ， ， ，当 时，
，则 ．
50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在 上的函数 满足 是奇函数， ，
，则 ．
51．（2024·山东枣庄·一模）已知 为偶函数，且 ，则 ．
52．（多选题）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则下列关于 的说法正确的有（ ）
A． 的一个周期为4 B．点 是函数的一个对称中心
C． 时， D．
题型十四：对称性与周期性的综合应用
53．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
54．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函数且 ，
，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点 中心
对称，若 ，则 .
56．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 且 ，则
（ ）A． B． C． D．
57．（2024·山东日照·二模）已知 是定义域为 的偶函数， ， ，若
是偶函数，则 （ ）
A． B． C．4 D．6
58．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 均为偶函数，
且当 时， ，则 .
题型十五：类周期与倍增函数
59．（2024·江西上饶·一模）已知函数 ,若函数 在区间
[－2，4]内有3个零点，则实数 的取值范围是．
A． B．
C． D．
60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
， ，若任给 ，存在 ，使得 ，则实
数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
61．已知定义在 上的函数 满足： ．
(1)判断 的奇偶性并证明；(2)若 ，求 ；
(3)若 ，判断并证明 的单调性．
62．已知定义在 上的函数 满足 ， ， ，且
．
(1)求 ， ， 的值；
(2)判断 的奇偶性，并证明．
63．已知函数 对任意 ， ，总有 ，且当 时， ， ．
(1)求证： 是 上的奇函数；
(2)求证： 是 上的减函数；
(3)若 ，求实数 的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数 的四个结论中错误的是（ ）
A． 的图象关于原点对称 B． 的图象关于点 对称C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递增
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
3．（2024·河北保定·二模）若函数 是定义在R上的奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
4．（2024·山东泰安·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，
当 时， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的图象在x轴上方，对 ，都有 ，若
的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成
立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在 上的连续函数 满足对任意的实数 都有
且 ，则下列判断正确的有（ ）
A．函数 的图象关于原点对称B． 在定义域上单调递增
C．当 时，
D．
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数B． C． D．
11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数 的定义域为R，
， ，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为
3
12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若
，则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ．
① ；② 至少有两个零点；③ 有最小值．
14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数 的图象关于点 对称，函数 的图象
关于直线 对称．若 ，则 ．
15．（2024·四川雅安·三模）已知函数 是偶函数，则实数 .
16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 的图象关于点 中心对称，也关于点 中心对称，则
的中位数为 .1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则 ．
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 是偶函数，则 .
16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若 是奇函数，则 ， ．
