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专题 17.4 勾股定理逆定理的应用
◆ 典例分析
【典例1】如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，
AD=14m，DC=48m，AB=40m，CB=30m．
（1）求小路AC的长；
（2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿
B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的
距离最近？
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明∠ABC=90°，再运用面积法，得出BH=24，根据勾股定理列式计算得出
，最后结合运动速度，即可作答．
HC=❑√BC2−HB2=18m
【解题过程】
（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48m，
∴在 中， ，
Rt△ADC AC=❑√AD2+DC2=50(m)
∴小路AC的长为50m；
（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，
依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．∵AB=40m，CB=30m．AC=50m，
∴AC2=2500,AB2+BC2=2500，
即AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
1 1
则S = AB×BC= AC×BH，
△ABC 2 2
AB×BC 40×30
即BH= = =24(m)，
AC 50
∴
HC=❑√BC2−HB2=18m
∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，
∴HC+BC=18+30=48(m)，
则48÷2=24(s)
∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30
海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定
2．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边
形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25m，
BC=9m，CD=12m，DA=20m，∠C=90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶
需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得
AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（ ）A．48m2 B．114m2 C．12m2 D．158m2
4．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东38°方
向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向
上．
5．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中
AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，
H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线
AC＝ 千米．
6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固
定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AB=29cm，AD=13cm，
BC=20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB=13cm，CQ=20cm．当伸缩杆PQ
打开最大时，如图2所示，∠ADC成180°，此时PQ=❑√449cm，则可变定长钢架CD的长度为 cm
．当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，则此时床高（CD与AB之间的距离）为 cm．
7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）如图，某学校在美化校园施工过程中留下了一块空地，现计划在空
地上铺草坪，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，已知草坪每平方米100
元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？8．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成
四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，
∠EDC＝90°,DC=3,DE=4,DB=7,AB=8,AE=1，求四边形ABDE的面积．
9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，CD=CB=13米，BD=10米，
AB=6米，AD=8米．求这块四边形空地ABCD的面积．
10．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从A点
到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．已知AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方
120米处，点D在点C的正北方60米处．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由：
（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：❑√5≈2.2）11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，
AD=17m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE，垂足为E．点E恰好是BC的中点，且AE=12m．
（1）求BC的长；
（2）连接AC，判断△ADC的形状并说明理由．
12．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B
，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BD=240米，CD=320米，BC=400
米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
13．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地ABC，计划将这块空地种上三种不
同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB=15米，AC=13米，AD=12米，
BD=9米．
（1）求DC的长；
（2）若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元．
14．（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政
策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八
（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；
（2）如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求
出该实验基地的面积．
15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和
CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知
∠B=90°,AB=12米，BC=16米，AE=15米，CE=25米．
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散
步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度．
16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中AC=BC=26，AB=20，点E
为AB的中点．现需要开辟一块△AEF的空地用于堆肥，已知AF=8，EF=6．（1）你能确定△AEF的形状吗，请说明理由．
（2）计算阴影部分的面积．
17．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，小区计
划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB=CD=4m，BC=9m
，AD=7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
18．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造
更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科
学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部
分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°
．（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地
中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展
的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示是该校开垦的一块作为学生劳
动实践基地的四边形荒地．经测量∠B=90°，AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这片荒地的面积．
20．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展
的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实
践基地的四边形荒地．经测量，AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且BD=10m．该校计划在此空地
（阴影部分）上种植花卉，
（1）求证：△BCD是直角三角形．
（2）若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？21．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定
性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，
且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且AB=100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G
信号．
（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
（2）若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
22．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，
现已测得支架AC=64cm，BC=48cm，两轮轮轴的距离AB=80cm（购物车车轮半径忽略不计），DG
、EH均与地面平行．
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由：
（2）若FG的长度为72cm，∠EHG=60°，求购物车把手F到AB的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：❑√2≈1.41,❑√3≈1.73）
