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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 典例分析
【典例1】在矩形ABCD中， AB=8，BC=16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时
出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
15
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
则t的值是 ．
③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形PGQH周长的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）根据条件证明四边形EMFN是平行四边形，连接MN，求出t的值即可；
（2）①连接 ， ，根据菱形的性质和题中条件证出 ，从而得到 即可
GH CH AH=HC AH2=64+(16−AH) 2
求解；
②连接AQ，根据题中条件和①中结论证明△APG≌△CQH(SAS)，从而得到GQHP是平行四边形，即可
求出答案；
③根据求最小路径的方法作出点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，再
根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠MAE=∠NCF，
∵M、N分别是AB、CD中点，
∴AM=CN，
∵E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴AE=CF=2t，
∴△AME≌△CNF(SAS)，
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN，
∴∠MEF=∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、CD中点，、，
∴四边形MBCN是矩形，
∵AB=8，BC=16，∴ ， ，
MN=BC=16 AC=❑√82+162=8❑√5
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF=MN=16时，四边形EMFN是矩形，
∴8❑√5−4t=16或4t−8❑√5=16，
解得t=2❑√5−4或2❑√5+4；
（2）解：①由（1）知：AF=CE，
∴AF+EF=AE，CE+EF=CF，
∴AE=CF，
如图2，连接GH，CH，
∵四边形EGFH菱形，
∴AC⊥GH，OE=OF，
∴OA=OC，
∴AH=HC，
∵HC2=CD2+DH2，AB=8，BC=16，
∴ ，
AH2=64+(16−AH) 2
∴AH=HC=10，
∴DH=6，
∴CD+DH=6+8=14，
14
∴t= =7；
2
②如图3，连接AQ，如图所示，由①同理得：AQ=CQ=10，BQ=6，
由①知：AP=10，
∴AP=CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG=CH，
又∵∠GAP=∠QCH=90°，
∴△APG≌△CQH(SAS)，
∴GP=QH，
同理可证PH=GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
15
∵四边形GQHP的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
15
∴S = S ，
▭GQHP 32 矩形ABCD
15 15
∴2S = S = ×8×16=60，
△PGQ 32 矩形ABCD 32
∴S =30，
△PGQ
1
∴S +S = ×8×16−30=34，
△AGP △GBQ 2
1 1
∴ ×AG×10+ ×6×(8−AG)=34，
2 2
∴AG=5，
5
∴t= ；
2
5
故答案为： ；
2
③如图4，作点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，则BG=BG'=CK，
QG=G'Q，∵AG=CH，
∴HK=CH+CK=AG+BG=8，
∵G'K=16，
∴ ，
G'H=❑√82+162=8❑√5
由②知：四边形PGQH是平行四边形，
∴四边形PGQH的周长=2QH+2GQ=2QH+2QG'≥2G'H，
当G'，Q，H三点共线时，四边形PGQH周长有最小值，且最小值是2G'H=16❑√5．
故答案为：16❑√5．
◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D
从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度
向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒
(00）．（1）CB的长为______；
（2）用含t的代数式表示线段QB的长；
（3）连接PQ，
①是否存在t的值，使得PQ与AC互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
19．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在 ▱ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，连接BD，恰有
∠ABD=90°，过点D作DE⊥BC于点E．动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时
点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动
的时间为t s．（1）分别求BD和BE的长度；
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（2）连接PQ，当t= 时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由；
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（3）试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P，Q之间的距离．
20．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在△ABC中，BA=BC=10，BC边上高为8，点D为
边BC的中点点P从点B出发，沿折线BA－AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长
度和每秒2❑√5个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的
运动时间为t秒(t>0)．（1）①线段AC的长为______；
②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当 ▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连结B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
