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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 典例分析
【典例1】在矩形ABCD中， AB=8，BC=16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时
出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
15
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
则t的值是 ．
③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形PGQH周长的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）根据条件证明四边形EMFN是平行四边形，连接MN，求出t的值即可；
（2）①连接 ， ，根据菱形的性质和题中条件证出 ，从而得到 即可
GH CH AH=HC AH2=64+(16−AH) 2
求解；
②连接AQ，根据题中条件和①中结论证明△APG≌△CQH(SAS)，从而得到GQHP是平行四边形，即可
求出答案；
③根据求最小路径的方法作出点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，再
根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠MAE=∠NCF，
∵M、N分别是AB、CD中点，
∴AM=CN，
∵E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴AE=CF=2t，
∴△AME≌△CNF(SAS)，
∴ME=NF，∠AEM=∠CFN，
∴∠MEF=∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、CD中点，、，
∴四边形MBCN是矩形，
∵AB=8，BC=16，∴ ， ，
MN=BC=16 AC=❑√82+162=8❑√5
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF=MN=16时，四边形EMFN是矩形，
∴8❑√5−4t=16或4t−8❑√5=16，
解得t=2❑√5−4或2❑√5+4；
（2）解：①由（1）知：AF=CE，
∴AF+EF=AE，CE+EF=CF，
∴AE=CF，
如图2，连接GH，CH，
∵四边形EGFH菱形，
∴AC⊥GH，OE=OF，
∴OA=OC，
∴AH=HC，
∵HC2=CD2+DH2，AB=8，BC=16，
∴ ，
AH2=64+(16−AH) 2
∴AH=HC=10，
∴DH=6，
∴CD+DH=6+8=14，
14
∴t= =7；
2
②如图3，连接AQ，如图所示，由①同理得：AQ=CQ=10，BQ=6，
由①知：AP=10，
∴AP=CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG=CH，
又∵∠GAP=∠QCH=90°，
∴△APG≌△CQH(SAS)，
∴GP=QH，
同理可证PH=GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
15
∵四边形GQHP的面积是矩形ABCD面积的 ，
32
15
∴S = S ，
▭GQHP 32 矩形ABCD
15 15
∴2S = S = ×8×16=60，
△PGQ 32 矩形ABCD 32
∴S =30，
△PGQ
1
∴S +S = ×8×16−30=34，
△AGP △GBQ 2
1 1
∴ ×AG×10+ ×6×(8−AG)=34，
2 2
∴AG=5，
5
∴t= ；
2
5
故答案为： ；
2
③如图4，作点G关于BC的对称点G'，过点G'作G'K⊥DC于K，连接G'H，QG'，则BG=BG'=CK，
QG=G'Q，∵AG=CH，
∴HK=CH+CK=AG+BG=8，
∵G'K=16，
∴ ，
G'H=❑√82+162=8❑√5
由②知：四边形PGQH是平行四边形，
∴四边形PGQH的周长=2QH+2GQ=2QH+2QG'≥2G'H，
当G'，Q，H三点共线时，四边形PGQH周长有最小值，且最小值是2G'H=16❑√5．
故答案为：16❑√5．
◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D
从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度
向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒
(0<t≤10)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF，当△≝¿为直角三角形时，t的值为
（ ）
20 20
A．5 B． C．5或8 D．5或8或
3 3
2．（2023·河北·二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D
出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到
达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3s D．当CD=PM时，t=3s或5s
3．（22-23八年级下·全国·期末）如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运
动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC的
度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
4．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠B=120°，P为对角线AC上的一个动
点，过点P作AC的垂线，交AD或CD于点E，交AB或BC于点F，点P从点A出发以❑√3cm/s的速度向终
点C运动，设运动时间为t(s)，以EF为折线将菱形ABCD向右折叠，若重合部分面积为4❑√3cm2，求t的
值，对于其答案，甲答：t=2，乙答：t=3，丙答：t=4，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整
5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=24cm，BC=26cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时
PQ=CD，则运动时间t的值是 s．6．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，
AE=5cm，BE=13cm，∠EBD=∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿
AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，
点N也同时停止运动，当点P运动 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形．
7．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿
B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的
速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第
秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．
8．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图1，在平行四边形ABCD中，AD⊥CD，AB=8，
AD=4，M是一动点，从点D出发，沿D−A−B−C运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N
是从点C出发的另一动点，沿C−D运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，
运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．（1）若M、N出发t秒后，四边形MBCN为平行四边形，求t；
（2）若△AMC的面积为8，请求出t的值；
（3）如图2，点F是线段AD中点，E是直线CD上另一动点（位于N点右边），且线段NE在移动过程中
始终保持长度为2不变，请探究并直接写出FN+NE+BE的最小值．
9．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
BC=14，DC=8，AD=20．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点
Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当
点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t=2时，求△BPQ的面积；
（2）当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
（3）（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？10．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，
C(0,4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的
运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，
并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（23-24九年级上·广东茂名·期中）如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，△AEF是等边三角形．
（1）如图1，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．求证：BE=CF；
（2）如图2，点E是CB延长线上一点，连BF．
①求证：BF=AB+BE；
②若AD=6，BE=2，求EF的长．12．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E．
F同时从A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点
F的速度为2cm/s．
（1）经过多少秒△≝¿为等边三角形？
（2）经过多少秒四边形BEDF的面积为3❑√3．13．（2023·陕西西安·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=60°，G是CD的
中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE=______时，四边形CEDF是矩形；
②AE=______时，四边形CEDF是菱形．14．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，
AB=18cm，BC=13cm，CD=23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从
点B出发，以2cm/s的速度沿折线B−C−D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之
停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？15．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=24cm，BC=30cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t
秒．
（1）当t=6s时，请判定四边形PQCD的形状 （直接填空）
（2）当PQ=CD时，求t的值．
（3）连接DQ，是否存在△QDC为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由．
16．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=10,BC=40,BC边上的高为8．点P从点A出发，沿AD以每秒5个单位长度的速度运动．点Q从点B出发沿B−C−B以每秒8个单位长度的
速度运动．P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．设点运动的时间为t
（秒）(t≠0)，连结PQ．
（1）直接写出点Q与点C重合时t的值．
（2）当点Q沿B−C运动时，求QC的长（用含t的代数式表示）．
（3）当PQ⊥BC时，求t的值．
（4）当PQ=10时，直接写出t的值．
17．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=12cm，
BC=27cm，CD=15cm，点P从点B开始沿BC向点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA以
每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒，连接PQ．（1）线段AD的长度是__________cm；
（2）当t=________时，线段BQ平分∠B；
（3）当t=________时，PQ⊥BC；
（4）当t为何值时，四边形QPCD的面积是60cm2；（请说明理由）
（5）当t为何值时，Q在PC的中垂线上．（请说明理由）
18．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在 ▱ABCD中，∠DCA=90°，AB=6，AC=8，动点P从点
A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射线CB运动，当点P
到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）．（1）CB的长为______；
（2）用含t的代数式表示线段QB的长；
（3）连接PQ，
①是否存在t的值，使得PQ与AC互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
19．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在 ▱ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，连接BD，恰有
∠ABD=90°，过点D作DE⊥BC于点E．动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时
点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动
的时间为t s．（1）分别求BD和BE的长度；
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（2）连接PQ，当t= 时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由；
5
（3）试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P，Q之间的距离．
20．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在△ABC中，BA=BC=10，BC边上高为8，点D为
边BC的中点点P从点B出发，沿折线BA－AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长
度和每秒2❑√5个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的
运动时间为t秒(t>0)．（1）①线段AC的长为______；
②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当 ▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连结B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
