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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在 ▱ABCD中，AD=12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发沿A−D−A
运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，当点P、点Q中有一点停止运动，另
一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
（1）当点P从A向D运动时，PD=______，QC=______；
当点P从D向A运动时，PA=______；（用含t的代数式表示）．
（2）当直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积时，求t的值．
（3）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形面积是 ▱ABCD面
2
积的 时，直接写出所有满足条件的t的值．
5
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，则AP=CQ，分两
种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：当点P从A向D运动时，PA=5t，BQ=2t，PD=12−5t，QC=12−2t；
当点P从D向A运动时， PA=24−5t；（用含t的代数式表示）．
故答案为：12−5t，12−2t，24−5t；
（2）解：当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，∵ ▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠BCA，
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
∴5t=12−2t或24−5t=12−2t，
12
解得t= 或t=4；
7
（3）解：设平行四边形的高为
ℎ
，则平行四边形的面积为12ℎ ，
6
当0<t≤ 时，PM=6−5t，QN=6−2t，
5
1 2 12
由题意得， (6−5t+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= ；
2 5 35
6 12
当 <t≤ 时，PM=5t−6，QN=6−2t，
5 5
1 2 16
由题意得， (5t−6+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 5
12
当 <t≤3时，PM=18−5t，QN=6−2t，
5
1 2 72
由题意得， (18−5t+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 3518
当3<t≤ 时，PM=18−5t，QN=2t−6，
5
1 2 4
由题意得， (18−5t+2t−6)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 5
18 24
当 <t≤ 时，PM=5t−18，QN=2t−6，
5 5
1 2 24
由题意得， (5t−18+2t−6)ℎ = ×12ℎ，解得t= ；
2 5 5
12 24
综上，t的值为 或 ．
35 5
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形ABC的边长为10cm，射线AG∥BC，点E
从点A出发沿射线：AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设
运动时间为ts，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘，AD=16cm，
BC=21cm，CD=13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，
在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动
时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）37 5 5 37 37
A．2或 秒 B． 秒 C． 或 秒 D． 秒
4 2 2 4 3
3．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=16cm，∠ABC
的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q
同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运
动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
14 14
A．2s B．5s C．2s或 s D．5s或 s
3 3
4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，
动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运
动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的
任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t= ．
5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且
BD=8cm，点 M以点 A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点 P从点 B出发，沿BA方向
匀速运动，速度为1cm/s，过点 P 的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为
t(s)(0<t<2.5)，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，点P从点A开始
沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC，PQ∥AC，分别交AC，BC于R，Q．
（1）四边形PQCR的形状是______；若设AP=xcm，则四边形PQCR的面积可表示为______cm2．
（2）四边形PQCR的面积能为16cm2吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，请说明理由．
7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=8cm，
AB=15cm，CD=21cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿折线B−C−D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，
设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB=______cm；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？8．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，动
点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运
动，同时停止，运动时间为t(s)．
（1）过点P作PD∥AB交BC于点D，连接DF，求证：四边形AFDP是平行四边形．
（2）当t为何值时，△PAF是等边三角形？
（3）当t为何值时，△PAF是直角三角形？请直接写出答案．
9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=12cm，
BC=15cm．点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C出发以2cm/s的速度向点B
运动．规定运动时间为t秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动．
（1）AP= ____cm，BQ=____cm（分别用含有t的式子表示）；
（2）四边形APCQ可能是平行四边形吗？说明理由．
（3）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（4）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．10．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=5cm，BC=9cm，动点P从点A出发，
以每秒2cm的速度沿 ▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3cm的速度沿
( 28)
▱ABCD的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒 0<t< ．
3
（1）当点P在BC上运动时，BP=______cm（用含t的代数式表示）；
（2）当t=______秒时，P，Q两点相遇；
（3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若
不存在，请说明理由．
11．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=18，BC=30，
AB=DC=12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C
出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到
点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒)．
（1）当t=3时，△APQ的面积为______；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以AQ为底的等腰三角形？若存在，直接写出t
的值；若不存在，说明理由．12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD⊥CD，
AB=6cm，BC=10cm．点E从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度匀速运动，到点A时停止运动，连接
EO并延长交BC于点F．设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由；
（2）当t=3s时，求四边形OFCD的面积．
13．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=16cm．
点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右
运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）在点P，Q运动过程中，AP=___________cm，BQ=___________cm；
（2）连接BP，AQ，若BP与AQ互相平分，求此时t的值；
（3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出
此时的运动时间t；若不存在，请说明理由．14．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，
AD=3，AB=❑√10．
（1）如图1，求BC长．
（2）如图2，点E在BC的延长线上，连接DE，若DE=CE，且四边形ABCD的面积为9．求DE的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿AD以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，
动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿EB向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q
到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的
四边形是平行四边形？
15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形ABCD是平行四边形，点P为AD边上一动点，连接
CP并延长交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是 N，连接AN，NP，设点 P 运动时间为t
（s）解答下列问题：
（1）若AD=6cm，CD=2cm，∠B=45°，点 P 从点A 出发沿AD方向运动速度为3cm/s．当t为何
值时，四边形ACDM是平行四边形？
（2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形ANPM是平行四边形？若存在求出相应的t的值；
若不存在请说明理由．16．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图， ▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的
坐标为(3，4)，AD=8．动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B
出发，以3个单位每秒的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动
时间为t秒（t>0）．
（1）求CD的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标．17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在 ▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.25cm的速度从
点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，若AB=2cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C出发，在BC 间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以
P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
18．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，CD=12cm，AC=16cm．动点P从点A出发沿AD以1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cm/s速
度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）当点Q在线段CB延长线上时，用含t的代数式表示线段BQ的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=90°，
AB=6cm，AD=10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t=3时，AM=__________；
（2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
20．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
CF平分∠BCD，交AD于点F．（1）若AB=3，AD=6，求BE,EC的长；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形；
（3）若AB=1，AD>AB，∠B=60°，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边
运动，点P沿B→A→E→B运动，点Q沿C→D→F→C运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，
点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为
何值时，四边形BPDQ是平行四边形．
21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿
B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速
度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点
A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和CD的
值．
22．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在 ▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、
BC于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在 ▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和
△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点
Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
23．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒
0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CD=CP，CP平分∠BCD，求∠B的度数．
（2）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，当AE⊥CE，
DF=8时，求AC的长
（3）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，若AB=4cm，求△APF的面积．
（4）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC之间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=6cm，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，
B四点组成的四边形是平行四边形．
24．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形ABCD中，BD是对角线，过点B作AD、CD的垂线，
垂足点E在AD边上，垂足点F在CD延长线上，∠A=45°，AB=6，DF=2．（1）如图1，求△BDF的面积；
（2）如图2，连接EF，点G是EF的中点，求BG的长；
（3）如图3，BF与AD交点为P，∠MBN=45°，∠MBN的两边BM，BN分别与AD，CD所在直线交
于点M、N，∠MBN绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段BN中点H的运动路径长．
