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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在 ▱ABCD中，AD=12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发沿A−D−A
运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，当点P、点Q中有一点停止运动，另
一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
（1）当点P从A向D运动时，PD=______，QC=______；
当点P从D向A运动时，PA=______；（用含t的代数式表示）．
（2）当直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积时，求t的值．
（3）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形面积是 ▱ABCD面
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积的 时，直接写出所有满足条件的t的值．
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【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，则AP=CQ，分两
种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：当点P从A向D运动时，PA=5t，BQ=2t，PD=12−5t，QC=12−2t；
当点P从D向A运动时， PA=24−5t；（用含t的代数式表示）．
故答案为：12−5t，12−2t，24−5t；
（2）解：当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，∵ ▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠BCA，
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
∴5t=12−2t或24−5t=12−2t，
12
解得t= 或t=4；
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（3）解：设平行四边形的高为
ℎ
，则平行四边形的面积为12ℎ ，
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当00）．
（1）求CD的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标．17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在 ▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.25cm的速度从
点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，若AB=2cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C出发，在BC 间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以
P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
18．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，CD=12cm，AC=16cm．动点P从点A出发沿AD以1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cm/s速
度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）当点Q在线段CB延长线上时，用含t的代数式表示线段BQ的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=90°，
AB=6cm，AD=10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t=3时，AM=__________；
（2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
20．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
CF平分∠BCD，交AD于点F．（1）若AB=3，AD=6，求BE,EC的长；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形；
（3）若AB=1，AD>AB，∠B=60°，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边
运动，点P沿B→A→E→B运动，点Q沿C→D→F→C运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，
点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为
何值时，四边形BPDQ是平行四边形．
21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿
B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速
度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点
A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和CD的
值．
22．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在 ▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、
BC于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在 ▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和
△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点
Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
23．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒
0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CD=CP，CP平分∠BCD，求∠B的度数．
（2）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，当AE⊥CE，
DF=8时，求AC的长
（3）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，若AB=4cm，求△APF的面积．
（4）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC之间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=6cm，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，
B四点组成的四边形是平行四边形．
24．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形ABCD中，BD是对角线，过点B作AD、CD的垂线，
垂足点E在AD边上，垂足点F在CD延长线上，∠A=45°，AB=6，DF=2．（1）如图1，求△BDF的面积；
（2）如图2，连接EF，点G是EF的中点，求BG的长；
（3）如图3，BF与AD交点为P，∠MBN=45°，∠MBN的两边BM，BN分别与AD，CD所在直线交
于点M、N，∠MBN绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段BN中点H的运动路径长．
