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专题 18.6 三角形的中位线【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用三角形的中位线求角度】...............................................................................................................1
【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】.......................................................................................................2
【题型3 利用三角形的中位线求周长】...............................................................................................................3
【题型4 利用三角形的中位线求面积】...............................................................................................................5
【题型5 利用三角形的中位线求最值】...............................................................................................................6
【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................................................................7
【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................................................................8
【题型8 三角形中位线的实际应用】.................................................................................................................10
【题型9 与三角形中位线有关的证明】.............................................................................................................11
【知识点 三角形的中位线】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
【题型1 利用三角形的中位线求角度】
【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是
AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（ ）
A．36° B．72° C．74° D．37°
【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边
AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A′，则
∠BD A′的度数为（ ）A．58° B．116° C．122° D．148°
【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分
∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为
_____________．
【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知 ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠△F的度数为 _____．
【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】
【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为
（ ）1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在
OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（ ）
A．5 B．2√5 C．3√3 D．6
【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点
AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，
∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长
为（ ）
3 5
A． B． C．3 D．4
2 2【题型3 利用三角形的中位线求周长】
【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC
的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（ ）
A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5
【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线
AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，
BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是
（ ）．
A．14 B．18 C．21 D．24
【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点
O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周
长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【题型4 利用三角形的中位线求面积】
【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，
AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________
【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且
满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1
【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC
方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，
△OBC的面积的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是
BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若 ABC的面积为△18 cm❑ 2，则 DEF的面积是__cm❑ 2
△ △
【题型5 利用三角形的中位线求最值】
【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=2√3，E，F分
别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为
（ ）
√6 √6
A．√3 B． C． D．1
2 3
【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为
A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接
OM，则OM的最小值为（ ）
1 1
A．2√2−1 B．2√2+1 C．√2+ D．√2−
2 2
【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中
点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分
别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5 B．5√3 C．5√2 D．不能确定
【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】
【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边
的中点A ，B ，C ，得△A B C ；再分别取△A B C 三边的中点A ，B ，C ，得△A B C ；这样依
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
次下去，经过第2022次操作后得△A B C ，则△A B C 的面积为__________．
2022 2022 2022 2022 2022 2022
【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A
落在BC边上的A 处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为ℎ；还原纸片后，再将△ADC沿着过
1 1
AD中点D 的直线折叠，使点A落在DE边上的A 处，称为第2次操作，折痕D E 到BC的距离记为ℎ；
1 2 1 1 2
按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D E 到BC的距离记为ℎ ，若ℎ =1，则ℎ 的值
3 3 4 1 4
是（ ）31 17 15 1
A． B． C． D．
16 4 8 8
【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取
AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C ；分别取
1
EF，BE的中点D ，E ，连接D E ，作E F ∥EF，得到四边形E D FF ，它的周长记作C ，…，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
照此规律作下去，则C 等于___________．
2022
【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A A A 中，∠A A A =90°，
1 2 3 1 3 2
∠A =30°，A A =1．A 、A 分别是A A 、A A 的中点，连接A A 、A A ；A 、A 分别是
2 1 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7
A A 、A A 的中点，连接A A 、A A ；……按此规律进行下去，则△A A A 中最短边的长
3 4 4 5 5 6 6 7 2021 2022 2023
度为_______．
【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】
【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，
请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．
（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△≝¿．
【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻
度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．
【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形
ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①
仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；
（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作 ▱GACH，且 ▱GACH的面积等于△ABC的面积．
【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完
成下列解答：
（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）
小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；
(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；
(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；
(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．
【题型8 三角形中位线的实际应用】
【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中
AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成
四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A．40m B．30m C．20m D．10m
【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连
接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为
______m．
【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备
规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是 ▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图
▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．
【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向
A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题
就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在 ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝
6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； △
(2)求 PDE周长的最小值．
【题型△9 与三角形中位线有关的证明】
【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；
(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．
【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段
BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ．
【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交
于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四
边形OEMF是平行四边形．
(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并
写出证明过程．
(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条
线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
