文档内容
专题 19.1 变量与函数之七大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 对函数概念的理解】........................................................................................................................1
【考点二 求自变量的值或函数值】................................................................................................................3
【考点三 用表格表示变量之间的关系】........................................................................................................4
【考点四 用表达式表示变量之间的关系】....................................................................................................5
【考点五 用图象表示变量之间的关系】........................................................................................................7
【考点六 用描点法画函数图象】..................................................................................................................11
【考点七 动点问题的函数图象】..................................................................................................................14
【过关检测】............................................................................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 对函数概念的理解】
例题：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022下·广东广州·八年级广州市第七十五中学校考期中）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（
）
A． B． C． D．2．（2023上·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点二 求自变量的值或函数值】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为 ，当 时，y的
值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练】
1．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）当 时，函数 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在函数关系式 中，当因变量 时，自变量x的值
为（ ）
A． B． C．6 D．
【考点三 用表格表示变量之间的关系】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下
面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系．
时间/s 5 10 15 20 25 30
读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
(2)根据表格中的数据，大致估计 时温度计的读数．
【变式训练】1.（2024下·全国·八年级假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（
）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm
2．（2024下·全国·八年级假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小
明出示了下面的表格：
距离地面的高度 0 1 2 3 4 5
2
温度 14 8 2
0
根据表格回答下列问题：
(1)距离地面 ， 的温度分别是多少？
(2)在这个变化过程中变量是什么？
(3)如果用 表示距离地面的高度，用 表示温度，那么在一定范围内，随着 的变化， 是怎么变化的？
【考点四 用表达式表示变量之间的关系】
例题：（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通
话费每分钟 元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟 元）两种，设A套餐每月话费为 （元），
B套餐每月话费 （元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出 与x， 与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
【变式训练】
1．（2024下·全国·八年级假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）．
(1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出行驶路程 与剩余油量 的关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当 时，求剩余油量Q的值．
2．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）东明一中门口有甲乙两个图书超市，他们都经营同一种练习本，
两个超市的标价都是1元．
甲超市的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；
乙超市的优惠条件是：从第1本开始就按标价的 折卖．
(1)请分别求出购买的数量x（本）与所花的钱数 （元）， （元）之间的函数表达式；
(2)小明要买22的练习本，到哪家超市购买较省钱？
【考点五 用图象表示变量之间的关系】
例题：（2023下·山东威海·六年级统考期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一
天生产零件的个数y与生产时间t(时)的关系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时；
②当 时，甲、乙生产的零件个数相等；
(2)试求出甲在 时内每小时生产零件的个数．【变式训练】
1．（2023下·吉林·八年级统考期末）已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过
程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示
时间，y表示张强离家的距离．
根据图象回答下列问题：
(1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min；
(2)体育场离文具店__________km；
(3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min；
(4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？
2．（2023下·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v
（千米/时）随时间t（分钟）的变化示意图，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车匀速行驶了______分钟，时速是______千米/时；
(2)汽车在行驶途中在哪段时间停车休息？休息了多长时间？
(3)若司机从第28分钟开始先匀速行驶8分钟后，立即减速行驶2分钟，至停止．请你按照以上叙述在途中
补画出从第28分钟以后汽车的速度与行驶时间的关系图．【考点六 用描点法画函数图象】
例题：（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）如图1，在长方形 中， ， ，点 以每秒1
个单位的速度从点 出发，沿 运动到点 后停止．连接 ， ．设点 的运动时间为x，
的面积为 ．
(1)求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围．
(2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质．
【变式训练】
1．（2024上·北京西城·九年级北京市回民学校校考阶段练习）小朋在学习过程中遇到一个函数 ．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …(1)观察这个函数的解析式可知， 的取值范围是________，函数值 的取值范围是________；
(2)进一步研究， 与 的几组对应值如表，请补充完整
(3)结合上表，画出函数图像：
(4)结合函数图像，写出两条性质________．
【考点七 动点问题的函数图象】
例题：（2023下·广东佛山·七年级校考期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互
相垂直）按从 的路径匀速运动，相应的 的面积 与时间 的关系图象如图2，
已知 ，设点H的运动时间为 秒．
(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
(2) ______， ______， ______；
(3)当 的面积为 时，求点F的运动时间 的值．【变式训练】
1．（2023下·四川达州·七年级统考期末）如图1， ，点P以每秒1cm的速度从
B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是 的面积S（ ）与点P运动时间x
（秒）两个变量之间的关系．
(1)指出 的长度，并求m的值；
(2)当点P在线段 上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系．
2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图1，四边形 是一个长方形，一动点P在长方形
边上运动，设点P运动的路程为 ， 的面积为 ，S与x的关系图象如图2所示．
(1)动点P从点A出发，沿路线 运动到点D停止，已知点P在 边上运动时的速度为
，在 边上运动时的速度为 ，在 边上运动时的速度为 ．根据图2可知，
___________ ；
(2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间；
(3)如图3，在长方形 的对角线 上取一点M，使得点M到边 的距离 ，到边 的距离 ，若动点P从点A出发，以 的速度沿路线 运动．同时，动点Q从点C出发，
以 的速度沿路线 运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接 ， ，
，设运动时间为 ， 的面积为 ，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023下·海南海口·八年级校考阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）下列各曲线中不能表示 是 的
函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·全国·七年级专题练习）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h
下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（ ）
高度 10 20 30 40 50 …
下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
A．在这个变化中，高度是自变量
B．当 时，t约为
C．随着高度的增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加 ，下滑时间就减少
4．（2023下·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．自行车发生故障时离家距离为1000米 B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟 D．修车时间为15分钟
5．（2023上·江苏南通·九年级校联考阶段练习）如图①，菱形 的对角线相交于点 ， ，点
为 的中点，点 为边 上的一个动点，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，点 从点
出发匀速运动到点 ，设 ， ， 随 变化的图象如图②所示，图中 的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
二、填空题
6．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
7．（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如果函数 ，那么
．
8．（2024下·全国·八年级随堂练习）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是
，自变量x的取值范围是 ．
9．（2022下·陕西西安·七年级统考期末）某水果店每天售出某种水果的数量（单位：千克）与该水果的售
价（单位：元/千克）之间的关系如下表所示，由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出 千
克．
售价（元/千克） 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 …数量（千克） 20 19 18 17 16 15 …
10．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图①，矩形 中，动点P从点B出发，沿 运动，
至点A停止，设点P运动的路程为x， 的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示，则点P运动到
点C时， 的长为 ．
三、解答题
11．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）某电信公司手机的 类收费标准如下：不管通话时间多长，每
部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．
(1)写出每月应缴费用 （元）与通话时间 之间的关系式；
(2)某手机用户这个月通话时间为 ，他应缴费多少元？
(3)如果该手机用户本月预缴了150元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
12．（2023下·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）温度的变化是人们经常谈论的话题，请根据图象分析某天
温度变化的情况．
(1)这一天的最高温度是多少？是在几时到达的？最低温度是多少？是在几时到达的？
(2)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过多长时间？
(3)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？13．（2023上·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）某景区售票处规定：非节假日的票价打a折售票；节假
日根据团队人数 x（人）实行分段售票；若 ，则按原票价购买；若 ，则其中10人按原票价购
买，超过部分的按原价打b折购买．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为 （元），在
节假日的购票款为 （元）， 与x之间的函数图象如图所示．
(1)观察图象可知： ， ；
(2)当 时，求 与x之间的函数表达式；
(3)该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计40人，共付
门票款1950元，求甲团人数．
14．（2023下·山西运城·七年级山西省运城市实验中学校考期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换
水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增
加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为 小时，游泳池的存水量为 立方米，写出 与 的函数关系式．（不要求写自变量范围）
15．（2023下·四川达州·七年级校考期末）下图表示一辆汽车在行驶途中的速度 （千米/时）随时间
（分）的变化示意图；
(1)从点A到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车在什么状态？
(2)分段描述汽车在第 分种到第 分钟的行驶情况；
(3)汽车在点A的速度是多少？在点 呢？
(4)司机在第 分钟开始匀速先行驶了 分钟，之后立即以减速行驶 分钟停止，请你在本图中补上从
分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
(5)请你用语言描述这一过程．
16．（2024下·福建福州·九年级校考开学考试）小强用竹篱笆围一个面积为 平方米的矩形小花园，他考
虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．
1 2 3 4 5
10 6
(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为 米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含 的代数式表
示），若总篱笆长为 米，请写出总篱笆长 （米）关于边长 （米）的函数关系式____；
(2)列表：根据函数的关系式，得到了 与 的几组对应值，如表：表中 ____， ____；
(3)描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系 中，将表中未描出的点 ， 补充完整，
并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：根据以上信息可得，当 _____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米．
