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第 03 讲 平面向量的数量积 (精练）
一、单选题
1．（2022·河北·高一期中）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
由题意得 ，解得
故选：C．
2．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知 ， 在 上的投影为1，则 在 上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
因为 ， 在 上的投影为1，所以 ，即 ；
所以 在 上的投影为 ；
故选：C.
3．（2022·山西太原·三模（理））设非零向量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由 ，平方得 ，
即 ，则 .
故选：B.
4．（2022·山东菏泽·高一期中）已知 ， ， 与 的夹角为 ，那么 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】D
.
故选：D.
5．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知 ， ，且 与 的夹角 为锐角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由 与 的夹角 为锐角知 且 与 不共线，即 且 ，即 且 .
故选：D.
6．（2022·湖南·高一阶段练习）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且 ， ，则
的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
设AC中点为O，连接OB，则OB＝3，
因为 ，所以P点在以B为圆心，1为半径的圆上，
所以 ，
显然，当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，
．
故选：A
二、多选题
7．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． ， 的夹角为
C． 在 上的投影向量为 D． 在 上的投影向量为【答案】AC
由 ， ，可知 ， ，
对于A选项， ，故 ，故A正确；对于B选项，
设 为 ， 的夹角，则 ，故B错误；对于C选项， 在 上的投影向量为
，故C正确；对于D选项， 在 上的投影向量为 ，故D错误.
故选：AC.
8．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相
等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，
阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边
形 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
由题意，分别以 所在的直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形 ，所以
，
作 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；
对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，所以 ，故C正确；
对于D中， ， ， ，
，故D不正确.
故选：ABC.
9．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，点 位于以 为直径的半圆上（含端点 ， ）， 是
边长为2的等边三角形，则 的取值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】BC
如图所示，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ，
.令 ，其中 ，则 ， ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：BC.
10．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法
正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
C．非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为
D．点 ， ，与向量 同方向的单位向量为
【答案】BD
A选项：若 即有 ，
则 或 ，或 ，故A错；
B选项： ， ，则 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，故B正确．
C选项：非零向量 和 满足 ，
以 ， 为边对应的四边形为菱形，且 ， 夹角为
则 与 的夹角为 ，故C错；
D选项：点 ， ， ，
可得与向量 同方向的单位向量为 ，故D正确．
故选：BD．
三、填空题11．（2022·江苏·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 ___________．
【答案】 ##2.5
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为： .
12．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））已知在 中， 为 上一点，且
， 为 上一点，且满足 ，则 取最小值时，向量
的模为__________.
【答案】
∵ ， ，
∴ m 4n ，
又∵ 为 上一点，
所以 ，
∴ ，
当且仅当 即 且 时，取等号，
∴向量 的模为 .
故答案为： ．
四、解答题
13．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，
E为CD中点， ， ．(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
(1)在平行四边形 中， ， ， ，
建立如图坐标系，
则 ， ， ， ，
为 中点，故 ，
，故 ，
， ，
， ，
所以 ，
；(2)由（1）可知， ， ， ，
所以 ， ，
，对称轴为 ．
，当 时， 的最大值为 ，
当 时，最小值为 ，
所以 ．
14．（2022·江苏南京·高一期中）在直角梯形ABCD中，已知 ， ，
，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)2；(2) .
(1)由图知： ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ， ， ，
所以 .
(2)由（1）知： ，
令 且 ，则 ， ，所以
.
则 .
