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专题19 乘法公式六种常考题型分类训练（原卷版）
题型一 乘法公式的基本运算
典例1（2023春•东昌府区期末）计算：
（1）（2a+3b）（2a﹣3b）； （2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）； （3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣
（7x2+30）．
典例2 （2023春•莲湖区校级月考）计算．
（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）； （2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2．
题型二 利用乘法公式进行简便运算
典例3（2023秋•榆树市期中）利用乘法公式计算：
（1）20192﹣2018×2020． （2）99.82．
典例4 （2023秋•南关区校级期中）用简便方法计算：
（1）20232﹣2022×2024； （2）982+4×98+4．
典例5（2023•定远县校级模拟）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）； （2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．典例6（2023春•新泰市期末）计算：
（1）20232﹣2022×2024； （2）112+13×66+392．
题型三 完全平方式和配方法
典例7 （2023秋•渝中区校级月考）若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1
变式训练
1．如果x2+16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是 ．
2．已知m为整数，多项式x2+mx+4是完全平方式，则m＝ ．
3．（2022秋•宝山区校级期中）如果4x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，那么k的值是 ．
4．（2019秋•镇原县期末）如果多项式1+9x2加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加
上的单项式可以是 （填上两个你认为正确的答案即可）．
典例8 5﹣（a﹣b）2的最大值是 ，当5﹣（a﹣b）2取最大值时，a与b的关系是 ．
典例9 （2023秋•天心区期中）阅读材料，解决后面的问题：
若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m﹣n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，
即：（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，
解得：m＝﹣3，n＝3，∴m﹣n＝﹣3﹣3＝﹣6．
（1）若x2+y2+6x﹣8y+25＝0，求x+2y的值；
（2）已知等腰△ABC的两边长a，b，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求该△ABC的周长；
（3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，求a+b﹣c的值．变式训练
1．（1）多项式9x2+1加上单项式 后．能成为一个含x的二项式的完全平方式．
（2）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．
题型四 乘法公式在几何背景下的运用
典例10（2022春•莲池区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方
形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个
图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x
变式训练
1．（2023春•和平区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影
部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab题型五 利用乘法公式变形求代数式的值
典例11（2023春•宝应县期中）已知a+b＝3，（a+3）（b+3）＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+5ab+b2：
（3）a﹣b．
变式训练
1．（2022秋•渝中区校级期中）若n满足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣n）＝
．
题型六 乘法公式的综合运用
典例12（2021秋•赣县区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2
所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．变式训练
21．（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab
(a+b) 2−(a2+b2 )
= 等．根据以上变形解决下列问题：
2
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC
＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
