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专题19 乘法公式六种常考题型分类训练（解析版）
题型一 乘法公式的基本运算
典例1（2023春•东昌府区期末）计算：
（1）（2a+3b）（2a﹣3b）；
（2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）；
（3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）．
【思路引领】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）连续利用平方差公式即可得出答案；
（3）根据完全平方公式将原式化为4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（2a）2﹣（3b）2
＝4a2﹣9b2；
（2）原式＝（x2﹣y2）（x2+y2）
＝x4﹣y4；
（3）原式＝4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30
＝﹣4x﹣2．
【总结提升】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确
解答的前提．
典例2 （2023春•莲湖区校级月考）计算．
（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）；
（2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2．
【思路引领】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可；
（2）利用平方差公式或完全平方公式进行求解即可．
【解答】解：（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）
＝[（x﹣2）+3y][（x﹣2）﹣3y]
＝（x﹣2）2﹣3y2
＝x2﹣4x+4﹣3y2；
（2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2
＝（3ab+4+3ab﹣4）[（3ab+4）﹣（3ab﹣4）]
＝6ab（3ab+4﹣3ab+4）
＝6ab×8＝48ab．
【总结提升】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知这两个乘法公式的结构是解题的关键．
题型二 利用乘法公式进行简便运算
典例3（2023秋•榆树市期中）利用乘法公式计算：
（1）20192﹣2018×2020．
（2）99.82．
【思路引领】（1）根据完全平方公式和平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方公式即可求解．
【解答】解：（1）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）
＝20192﹣20192+1
＝1．
（2）原式＝（100﹣0.2）2
＝10000﹣40+0.04
＝9960.04
【总结提升】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是掌握并熟练运用公式．
典例4 （2023秋•南关区校级期中）用简便方法计算：
（1）20232﹣2022×2024；
（2）982+4×98+4．
【思路引领】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
（2）982+4×98+4
＝（98+2）2
＝1002
＝10000．
【总结提升】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，熟记平方差公式及完全平方公式的形式是解题
的关键．典例5（2023•定远县校级模拟）利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【思路引领】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再连续用平方差公式可算出答案；
（2）逆用平方差公式，再求和即可．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
＝256﹣1
＝255；
（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+...+2+1
(100+1)×100
=
2
＝5050．
【总结提升】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握平方差公式．
典例6（2023春•新泰市期末）计算：
（1）20232﹣2022×2024；
（2）112+13×66+392．
【思路引领】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
（2）原式＝112+2×11×39+392
＝（11+39）2
＝502
＝2500．
【总结提升】此题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．题型三 完全平方式和配方法
典例7 （2023秋•渝中区校级月考）若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1
【思路引领】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
【解答】解：∵x2+（k﹣3）xy+4y2＝x2+（k﹣3）xy+（2y）2，
∴（k﹣3）xy＝±2x×2y，
解得k＝7或﹣1．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．
变式训练
1．如果x2+16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是 ± 8 ．
【思路引领】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 m2的值，
进而求得m的值．
【解答】解：∵x2+16x+m2是一个完全平方式，
∴m2＝82，
∴m＝±8，
故答案为：±8．
【总结提升】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方公式的结构．
2．已知m为整数，多项式x2+mx+4是完全平方式，则m＝ ± 4 ．
【思路引领】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+4＝x2+mx+22，
∴mx＝±2×2×x，
解得m＝±4．
故答案为：±4．
【总结提升】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记
完全平方公式对解题非常重要．
3．（2022秋•宝山区校级期中）如果4x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，那么k的值是 3 或﹣ 5 ．
【思路引领】根据完全平方公式得k+1＝4，进行计算即可得．
【解答】解：∵4x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，
∴k+1＝±4k＝3或k＝﹣5，
故答案为：3或﹣5．【总结提升】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
4．（2019秋•镇原县期末）如果多项式1+9x2加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加
81
上的单项式可以是 6 x 或﹣ 6 x 或 x 4 或﹣ 1 或﹣ 9 x 2 ． （填上两个你认为正确的答案即可）．
4
【思路引领】分9x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解．
【解答】解：①当9x2是平方项时，1±6x+9x2＝（1±3x）2，
∴可添加的项是6x或﹣6x，
81 9
②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2+ x4＝（1+ x2）2，
4 2
81
∴可添加的项 x4．
4
③添加﹣1或﹣9x2．
81
故答案为：6x或﹣6x或 x4或﹣1或﹣9x2．
4
【总结提升】本题考查了完全平方式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键，注意要分情况讨论．
典例8 5﹣（a﹣b）2的最大值是 5 ，当5﹣（a﹣b）2取最大值时，a与b的关系是 a ＝ b ．
【思路引领】根据完全平方式的最小值为0，得到代数式最大值为5，此时a﹣b＝0，即可得到a与b的
关系．
【解答】解：∵（a﹣b）2≥0，
∴代数式5﹣（a﹣b）2的最大值为5，此时a﹣b＝0，即a＝b．
故答案为：5；a＝b．
【总结提升】此题考查了非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
典例9 （2023秋•天心区期中）阅读材料，解决后面的问题：
若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m﹣n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，
即：（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，
解得：m＝﹣3，n＝3，∴m﹣n＝﹣3﹣3＝﹣6．
（1）若x2+y2+6x﹣8y+25＝0，求x+2y的值；
（2）已知等腰△ABC的两边长a，b，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求该△ABC的周长；
（3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，求a+b﹣c的值．【思路引领】（1）根据完全平方公式配方得：x2+y2+6x﹣8y+25＝（x+3）2+（y﹣4）2，据此即可求解；
（2）将a2+b2＝10a+12b﹣61配凑成（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，分类讨论当a是腰，b是底时和当b是腰，
a是底时，两种情况即可求解；
（3）将已知式配方后可得（2a﹣b）2+3（b﹣4）2+4（c﹣5）2＜4，结合a，b，c是正整数可得c＝5；
分类讨论当b＝4时，当b＝5时，当b＝3时三种情况即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2+6x﹣8y+25＝0，
∴（x+3）2+（y﹣4）2＝0．
∴x+3＝0，y﹣4＝0，
解得：x＝﹣3，y＝4．
∴x+2y＝﹣3+8＝5；
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，
∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
解得a＝5，b＝6．
∵a，b是等腰△ABC的两边长，
当a是腰，b是底时，△ABC的周长＝5+5+6＝16；
当b是腰，a是底时，△ABC的周长＝5+6+6＝17．
（3）∵a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，
∴4a2+4b2+4c2+144＜4ab+24b+40c，
∴（2a﹣b）2+3（b﹣4）2+4（c﹣5）2＜4，
∵a，b，c为正整数，所以c﹣5＝0，即c＝5，
b﹣4＝0或1或﹣1，即b＝4或5或3，
当b＝4时，2a﹣b＝0或1或﹣1，则a＝2或2.5或1.5且a，b，c为正整数，
∴a＝2，b＝4，c＝5，
∴a+b﹣c＝2+4﹣5＝1；
当b＝5时，2a﹣b＝0，即a＝2.5，与题意不符，舍去；
当b＝3时，2a﹣b＝0，即a＝1.5，与题意不符，舍去．
综上所述，a+b﹣c＝2+4﹣5＝1．
【总结提升】本题考查了配方法的应用．熟记完全平方公式的形式是解题关键．
变式训练81
1．（1）多项式9x2+1加上单项式 6 x ，﹣ 6 x 或 x 4 后．能成为一个含x的二项式的完全平方式．
4
（2）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．
【思路引领】（1）利用完全平方公式的结构特征求解即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质判断即可．
【解答】解：（1）如果把9x2和1看作两个平方项，则缺少的项应该是±6x；
81
如果把9x2看作是首尾积的2倍，则缺少的另一个平方项应该是 x4．
4
81
即多项式9x2+1加上单项式6x，﹣6x或 x4后，能成为一个含x的二项式的完全平方式．
4
81
故答案为：6x，﹣6x或 x4；
4
（2）x2+y2+6x﹣4y+15
＝（x2+6x+9）+（y2﹣4y+4）+2
＝（x+3）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+3）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+3）2+（y﹣2）2+2≥2＞0，
则不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．
【总结提升】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解
本题的关键．
题型四 乘法公式在几何背景下的运用
典例10（2022春•莲池区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方
形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个
图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x【思路引领】用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中白色部分的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，
故选：B．
【总结提升】本题考查了平方差公式的几何背景，利用白色部分面积不变列出等式是解决问题的关键．
变式训练
1．（2023春•和平区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影
部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【思路引领】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．
【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，
中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，
∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
【总结提升】此题考查了用数形结合思想解决整式运算能力，关键是能根据图形面积找出整式间的关系
式．
题型五 利用乘法公式变形求代数式的值
典例11（2023春•宝应县期中）已知a+b＝3，（a+3）（b+3）＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+5ab+b2：
（3）a﹣b．【思路引领】（1）根据多项式乘多项式的法则计算，再代入即可求得ab；
（2）根据完全平方公式变形，再代入即可求解：
（3）先求得（a﹣b）2，进一步即可求解．
【解答】解：（1）∵a+b＝3，
∴（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9＝ab+3×3+9＝20，
解得ab＝2；
（2）a2+5ab+b2
＝（a+b）2+3ab
＝32+3×2
＝9+6
＝15；
（3）∵（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1，
∴a﹣b＝±1．
【总结提升】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式是解此题的关键．
此题的关键，注意：完全平方公式有：①a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
变式训练
1．（2022秋•渝中区校级期中）若n满足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣n）＝
﹣ 2 ．
【思路引领】把（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5配成完全平方式得到[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2
（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，然后整理即可得到（n﹣2014）（2019﹣n）＝10．
【解答】解：∵（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，
∴[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，
∴1﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，
∴（n﹣2014）（2019﹣n）＝10．
故答案为10．
【总结提升】本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是关键．
题型六 乘法公式的综合运用典例12（2021秋•赣县区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2
所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【思路引领】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
【总结提升】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确
应用的前提．
变式训练
21．（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab
(a+b) 2−(a2+b2 )
= 等．根据以上变形解决下列问题：
2
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 2 0 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC
＝10，则图中阴影部分的面积为 1 0 ．
【思路引领】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
1 1 1 1
（3）设 AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为 （a+b）（a+b）− a2− b2=
2 2 2 2
1
[（a+b）2﹣（a2+b2）]= ×2ab＝ab＝10．
2
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
(a+b) 2−(a2+b2 ) 48−8
∴ab= = =20，
2 2
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
1 1
则图中阴影部分的面积为 （a+b）（a+b）− （a2+b2）
2 2
1
= [（a+b）2﹣（a2+b2）]
2
1
= ×2ab
2
＝ab
＝10
【总结提升】此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．
