文档内容
专题 2.4 整式的乘法与因式分解全章压轴八类必考点
【人教版】
【考点1 巧用幂的运算】..........................................................................................................................................1
【考点2 幂的运算新定义问题】..............................................................................................................................2
【考点3 不含某一项求参问题】..............................................................................................................................3
【考点4 恒成立问题】..............................................................................................................................................4
【考点5 巧用乘法公式求值】..................................................................................................................................5
【考点6 巧用配方法求值】......................................................................................................................................6
【考点7 乘法公式的几何背景】..............................................................................................................................6
【考点8 因式分解的应用】....................................................................................................................................11
【考点1 巧用幂的运算】
1．（2024秋•郑州期中）如果m＝3a+1，n＝2+9a，那么用含m的代数式表示n为（ ）
A．n＝2+3m B．n＝m2
C．n＝（m﹣1）2+2 D．n＝m2+2
2．（2024秋•闵行区期中）如果x+2y﹣6＝0，那么4y•2x﹣2的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．32
3．（2024秋•官渡区校级期中）已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．（2024春•成华区校级期中）若9x＝27÷3y，则4x•2y+1＝ ．
5．（2023秋•青浦区校级期中）已知27＝9y﹣1，16y＝8x+4，则x﹣y＝ ．
6．（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝ ．
7．（2024春•龙华区校级月考）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值；
（2）若26＝a2＝4b，求a+b值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【考点2 幂的运算新定义问题】
1．（2024•东港区校级一模）对数的定义：一般地，若 ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的
对数，记作：x＝log N．比如指数式24＝16可以转化为4＝log 16，对数式2＝log 25，可以转化为52＝
a 2 5
25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N
e a a
＞0）．理由如下：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得
a e
m+n＝log （M•N），又∵m+n＝log M+log N，∴log （M•N）＝log M+log N，类似还可以证明对数的
a a a a a a
M
另一个性质：log =log M−logN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．请利用以上内容计算
a N a
log 54+log 2﹣log 4＝ ．
3 3 3
2．（2024秋•鲤城区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝
2．
（1）（2，32]＝ ；若（﹣2，k]＝3，则k＝ ；
（2）已知（4，13]＝a，（2，3]＝b，（2，78]＝c，试求a，b，c满足的数量关系．
3．（2023秋•衡阳期末）对于整数a、b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如
3※2＝（32）m+（23）n．
（1）填空：当m＝1，n＝2023时，2※1＝ ；
（2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n﹣1的值．
4．（2024春•贺州期末）定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b．如：3 32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝
36，请利用这种运算规则解决下列问题： ⊕ ⊕
（1）求22 23的值；
（2）2p＝3⊕，2q＝5，3q＝6，求2p 2q的值．
5．（2023秋•蓬江区校级期中）新定⊕义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝
2．
（1）填空：（2，4）＝ ；（﹣3，81）＝ ；
（2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c；
（3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系．
6．（2023秋•攸县期末）一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为
，即 ．譬如：34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．根据对数
logb logb=n log81 log81=4)
a a 3 3的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
； ； ．
log4= log16= log64=
2 2 2
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出 ； ；
log4 log16
2 2
满足的等量关系式．
log64
2
（3）由（2）猜想一般性结论： （a＞0且a≠1，m＞0，n＞0），并根据幂的运算法
logm+logn=
a a
则：ab•ac＝ab+c以及对数的含义证明你的猜想．
7．（2023春•工业园区校级月考）定义一种幕的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列
问题： ⊕
（1）求22 23的值；
（2）若2p⊕＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
（3）若运算9 9t的结果为810，则⊕t的值是多少？
【考点3 不含某⊕一项求参问题】
1．（2024秋•梁平区期中）已知（5﹣3x+mx2﹣6x3）（1﹣2x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（
）
1
A．3 B．﹣3 C．− D．0
2
2．（2024秋•南关区期中）若（x2+px）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2项和x3项，则p、q的值为（ ）
A．p＝3，q＝9 B．p＝3，q＝﹣9 C．p＝﹣3，q＝9 D．p＝0，q＝0
3．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x
＝﹣4时，A的值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．2
4．（2024秋•沙坪坝区校级期中）关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣
1）+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说
法有几个正确（ ）
①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②若二次三项式B＝x2+ex+f能分解成（x﹣3）（x+5），则ef＝﹣30；
③当多项式A与B的乘积中不含x4项时，则e＝6；④a﹣b+c＝﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024秋•椒江区校级期中）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，
且常数项为﹣6，求m+n的值．
6．（2024秋•衡南县校级月考）在（ax2+bx+1）（2x2﹣3x﹣1）的计算结果中，不含x的一次和三次项，
求a，b的值．
1
7．（2024春•烟台期末）在学习多项式乘以多项式时，我们知道（ x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一
2
1
个多项式，并且最高次项为 x•2x•3x＝3x3，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是多少呢？
2
1
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是： ×5×（﹣
2
6）+4×2×（﹣6）+4×5×3＝﹣3，即一次项为﹣3x．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数；
（2）如果计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．
【考点4 恒成立问题】
1．（2024春•兴化市期中）若无论x取何值时，关于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4总成立，则
m2+n2的值是（ ）
A．46 B．56 C．72 D．81
2．（2024秋•汝阳县期中）关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．
若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 ．
3．（2024秋•洪雅县校级月考）若x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则（a﹣b）3＝ ．
4．（2024春•崇川区校级月考）对于任意的 x、y，若存在a、b使得8x+y（a﹣2b）＝ax﹣2b（x﹣2y）恒
成立，则a+b＝ ．
5．（2024春•青羊区校级月考）如果等式x2+3x+2＝（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，
B+C＝ ．
6．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的
值．
解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
∵上式为恒等式，1 1 1 1
∴当x=− 时，2⋅(− ) 3−(− ) 2+m=A⋅(− ×2+1)，
2 2 2 2
1 1
即2⋅(− ) 3−(− ) 2+m=0．
2 2
1
解得：m= ．
2
若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝ ．
7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问
题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【考点5 巧用乘法公式求值】
1．（2024秋•罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣
1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的
值是（ ）
−22025+1 −22026+1
A． B．
3 3
C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1
2．（2023秋•德城区期末）设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024春•小店区校级月考）已知（x﹣2025）2+（x﹣2027）2＝34，则（x﹣2026）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2023秋•滨海新区校级期末）（1）已知x+y＝8，xy＝5，则x2+y2的值为 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝30，则（x﹣y）2的值为 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝10，则（x﹣2023）2的值为 ．
5．（2024秋•道里区校级月考）观察：下列等式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，⋯据此规律，当（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝0 时，代数式
x2025+2x2024的值为 ．
6．（2024秋•徐汇区校级期中）已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）a4+b4．
7．（2024秋•上海月考）已知a2﹣4a﹣1＝0．
1
（1）求a2+
的值；
a2
1
（2）求(a−2)( +2)的值．
a
【考点6 巧用配方法求值】
1
1．（2024秋•海淀区校级期中）已知实数a，b满足 (a−2) 2+2=b(a−b)，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1
2
的值是（ ）
A．65 B．105 C．115 D．2025
2．（2024秋•海安市校级月考）若实数a，b，c满足：a2﹣2a﹣b＝0，2a2+b2﹣4a+2b＝2﹣c，则c的最大
值为 ．
3．（2024秋•洛龙区校级月考）已知a2﹣4b＝1，b2+10c＝﹣46，c2﹣6a＝7，则a+b+c的值是 ．
3
4．（2024春•瑶海区校级月考）已知a−b=b−c=c−a= ，a2+b2+c2=1，则 ab+bc+ca的值等于
5
．
5．（2024秋•宝山区校级月考）我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、
简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：
①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；
②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
【考点7 乘法公式的几何背景】
1．（2024秋•广东校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
例如由图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若x+y＝7，xy＝6，求（x﹣y）2的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a2+b2＝130，ab＝63，
请求出阴影部分的面积．
2．（2024秋•麦积区期中）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，
可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图②中阴影部分的
面积能解释的乘法公式为 ．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（2）若a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值．【解决问题】如图④，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，
设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
3．（2024秋•龙华区校级期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位
同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式：
．
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ．
（2）【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
（3）【拓展升华】
如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点M，使BM＝
EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接
21
BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于 ，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： ．
2
4．（2024秋•和平区期中）小天在课外研究代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的关系，做了如下工作：
（Ⅰ）计算：根据表格中所给的字母a和b的值，分别计算代数式（a+b）2和a2+2ab+b2的值，填在表
格空白处．
a＝1，b＝2 a＝3，b＝﹣1
（a+b）2的值
a2+2ab+b2的值
（Ⅱ）猜想：比较两个代数式的计算结果，直接写出（a+b）2与a2+2ab+b2有什么关系？
（Ⅲ）验证：小天发现可以用几何图形说明上述猜想．
如图是用三种不同大小的正方形与长方形，拼成的一个大正方形，用两种方法表示大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ．由以上过程可知，（2）中的猜想成立．
（Ⅳ）应用：利用上面发现的结论，求下列两个式子的值．
①20242+2×2024×976+9762；
②10012﹣2×1001×999+9992．
5．（2024秋•蒸湘区校级月考）在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一
步探讨．
（1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值．
（2）阅读以下解法，并解决相应问题．
“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝
50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）
（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ ．
②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值；
③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以
FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图
中阴影部分的面积．
6．（2024秋•隆昌市校级月考）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝6，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设7﹣x＝a，x﹣2＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13．
请仿照上面的方法解答下列各题．
（1）已知（x﹣5）（x﹣8）＝10，求（x﹣5）2+（x﹣8）2的值；（2）若y满足（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝99，求（y﹣2024）（y﹣2025）的值；
（3）如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形
DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
7．（2023春•盐湖区校级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到
一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按
图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy＝5，求（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，它可以看成是把一个大长方形分割成小长方形或者小正方形，从中可以得到恒等式：
a2+3ab+2b2＝ ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（4）观察图④，它可以看成是把一个大正方体分割成小长方体或小正方体，从中可以得到恒等式：
（a+b）3＝ ．【考点8 因式分解的应用】
1．（2024秋•九龙坡区校级期中）“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．“如果一个
多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去
这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅
可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最
小值．
例如：分解因式：x2+2x﹣3，
解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值为﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：n2+6n﹣7＝ ；
（2）当a、b为何值时，多项式a2+b2﹣6a+10b+38有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a、b为何值时，多项式4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值．
2．（2024秋•杨浦区校级月考）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等
运算，其算法如下：对于多项式x2﹣2x﹣3，令x＝3时，x2﹣2x﹣3＝0，则x2﹣2x﹣3必有一个因式是x
﹣3，且x2﹣2x﹣3可以分解为（x﹣3）（x+1），对于多项式x3﹣2x2﹣4x+8，令x＝2时，x3﹣2x2﹣
4x+8＝0，则x3﹣2x2﹣4x+8必有一个因式是x﹣2，且x3﹣2x2﹣4x+8可以分解为（x+2）（x﹣2）2．
（1）分解因式：x3﹣2x2﹣4x+3（当x＝3时，原式为0）（方法任意）；
（2）已知多项式4x3+9x2+mx+n既能被x+3整除，又能被x﹣1整除，求m、n的值（方法任意）．
3．（2024春•碑林区校级期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如
图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝ ；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝20，则a2+b2+c2＝ ；
（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形
纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值 ；（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正
方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等
式： ．
4．（2024春•建邺区校级期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题
进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b
的大正方形．
利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图 2可以解释整式乘法：
（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，也可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（1）若用4个B类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，观察
图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号） ．
x2−y2 x2+ y2
①a+b＝x；②（x﹣y）2＝2a2；③ab= ；④b2＝a2+xy；⑤a2+b2= ．
4 2
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 3a2+5ab+2b2，在虚框中画
出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为 ．
（3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为4a2+mab+5b2，则m的值
为 ．（直接写出结果）
5．（2024春•济南期中）综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利
用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可
得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，
CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积
为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为
．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
6．（2024春•沈河区期末）【阅读材料】
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有
两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可
以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组．
例如：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．【应用知识】
（1）因式分解：mp﹣mq﹣np+nq＝ ；64﹣a2﹣6ab﹣9b2＝ ．
【拓展应用】
对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．
此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试．
（2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝6a+12b﹣45．求△ABC的周长．
（3）已知a2+b2＝8，m2+n2＝253，求（am+bn）2+（an﹣bm）2的值．
7．（2024秋•杨浦区期中）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b，
a=−1
{
)
比较系数得：
{2a+1=−1
)，解得： b=
1
，∴m 1；
a+2b=0 2 =
2
b=m 1
m=
2
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）；
1 1 1 1
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=− ，2×(− ) 3−(− ) 2+m=0，故m= ．
2 2 2 2
（1）已知多项式x4﹣mx3+2nx﹣16有两个因式分别是（x﹣1）和（x﹣2），求m和n的值；
（2）已知多项式x3+kx2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，求k的值．
