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专题 20.1 数据的分析（全章知识梳理与方法分类讲解）
【要点一】算术平均数和加权平均数
1.算术平均数 一般地，对于 个数 ，我们把 叫做这 个数的
算术平均数，简称平均数，记作 .计算公式为 .
2.加权平均数 若 个数 的权分别是 ，则 叫做这
个数的加权平均数.
【要点二】中位数和众数
1.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中
位数.
2.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
【要点三】平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中
有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排
列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据
多次重复出现时，可用众数来描述.
【要点四】极差、方差和标准差
1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的
差称为极差，极差＝最大值－最小值.
2.方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差 的计算公式是：
1
S2 = [(x −¯x) 2 +(x −¯x) 2 +...+(x −¯x) 2]
n 1 2 n
3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.
【要点五】极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均
值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的
波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
【要点六】用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总
体的平均水平或方差.
【考点目录】
【考点1】平均数与加权平均数；
【考点2】中位数与众数；
【考点3】利用平均数、中位数、众数解决问题；
【考点4】利用方差解决实际问题.
【考点1】平均数与加权平均数；
【例1】（2024·福建三明·二模）某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成
的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下表是宁婧和李唐两位同学的成绩记录：
完成作业 半期检测 期末考试
宁
90 76 80
婧
李
82 70
唐
（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算宁婧的期末评价成绩；
（2）若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩．李唐在期末考
试中至少考多少分才能达到优秀？（成绩为整数）【答案】(1) 分； (2) 分
【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的定义计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
（1）解：宁婧的期末评价成绩为： 分，
答：宁婧的期末评价成绩为 分．
（2）解：设李唐在期末考试成绩为 分，列不等式为：
，
解得 ，
∵x为整数，
∴x至少为 ，
答：李唐在期末考试中至少考 分才能达到优秀．
【变式1】（21-22九年级下·湖北黄石·开学考试）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，
其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，
则他的总成绩为（ ）
A．77分 B．78分 C．79分 D．80分
【答案】A
【分析】根据加权平均数的计算公式即可完成．
总成绩=
故选：A
【变式2】（2022·广东·二模）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区
100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，
各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约
为 千克．【答案】62.5
【分析】求出样本中这100户家庭中投放有害垃圾质量的平均数，再乘以500可得答案．
解：估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约
（千克），
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，利用样本估计总体，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形
的大小表示各部分数量占总数的百分数．
【考点 2】中位数与众数；
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）2022年4月国家颁布了《义务教育劳动课程标准》，课程颁布两
年以来各校开展了丰富多彩的劳动教育课，学生的劳动能力得到大幅提升．某校利用教学楼楼顶为学生开
辟了“学生种植园”，春天来了，万物复苏，经过一个冬天的劳作种植园里硕果累累，小明想了解种植园
中的小西红柿生长情况，于是随机采摘了16个小西红柿并称重，得到了如下的数据（单位：g）：18、
16、17、21、25、28、21、18、17、15、16、21、21、18、25、23．
小明根据以上数据制作了统计表
质量 15 16 17 18 21 23 25 28
次数 1 2 2 b a 1 2 1
（1）表格中的 _____； _____；
（2）这16个小西红柿质量的中位数是_____；众数是_____；
（3）经了解当小西红柿的平均质量达到 时就可以采摘食用，此时的口感和营养价值最佳，请问种植园
里小西红柿是否符合采摘食用的要求．
【答案】(1)4，3 (2)19.5，21 (3)种植园里小西红柿符合采摘食用的要求
【分析】本题考查频数、中位数、众数等统计量，用平均数进行决策．
（1）分别统计数据中21和18出现的次数，即可解答；
（2）根据中位数与众数的定义即可解答；
（3）求出这16个小西红柿质量的平均数，判断是否达到 ，从而解答．
（1）解：根据给出的数据得到：质量为21的出现4次，质量为18的出现3次．
∴ ， ．故答案为：4，3
（2）解：把这些数据从小到大排列，第8个数据是18，第9个数据是21，故中位数是这两个数的平均数，
即 ，
由表格可得，21出现的次数最多，故众数是21；
故答案为：19.5，21；
（3）解：这些小西红柿的平均质量为
，
∵小西红柿的平均质量达到 时就可以采摘食用，
∴种植园里小西红柿符合采摘食用的要求．
【变式1】（2024·山东青岛·一模）我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：
气温（单位： ） 3 4 6 7 8
天数 3 2 2 2 1
则最高气温（单位： ）的中位数和众数分别是（ ）
A．4，3 B．5，2 C．5，3 D．4，2
【答案】C
【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数和中位数的定义就可以求解．
在这一组数据中气温 是出现次数最多的，故众数是3；
把气温从小到大排列，10天中处于这组数据中间位置的两个数分别是4和6，那么由中位数的定义可知，
这组数据的中位数是 ；
故这组数据的中位数与众数分别是5，3．
故选：C．
【变式2】（18-19八年级下·全国·单元测试）10位学生分别购买如下尺码的鞋子：20，20，21，22，22，22，22，23，
23，24(单位：cm)．这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最喜欢的是 ．
【答案】众数
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，∴鞋店老板最喜欢的是众数．
故答案为众数
【考点3】利用平均数、中位数与众数解决实际问题；
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）为弘扬宪法精神，增强学生的法律意识，铁一曲江开展了一次以
“宪法在心中”为主题的知识竞答题，共20道题赛后，学校团委为了解学生的成绩，分别从七、八年级中
各随机抽取了10名学生，并对他们答对的题量进行整理，描述和分析部分信息如下：
抽取的七年级学生答对的题量：
9 15 12 20 14 13 15 15 17 18
抽取的八年级学生答对的题量的频数分布直方图如下：
（数据分成四组： ）：
其中在 这一组的数据为15，14，12．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的八年级学生答对的题量的中位数为___________；
（2）求抽取的七年级学生答对的题量的平均数和众数；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，请你估计学校七、八年级学生答对的题量不低于15道
的学生总人数？
【答案】(1) ； (2)平均数为14.8；众数为15； (3)600
【分析】（1）将数据从小到大排列，即可求出中位数；（2）根据平均数以及众数的定义即可求解；
（3）先得到样本中七、八年级学生答对的题量不低于15道的学生比例，即可得到答案．
（1）解：根据题可知，八年级的处于第五、六位的数为14、15，
故中位数为 ；
（2）解：由七年级的数据可知，众数为 ；
平均数 ；（3）解：样本中七、八年级答对题量不低于15道的学生比例 ，
总体中七、八年级答对题量不低于15道的学生人数 ．
【变式1】（2024·云南曲靖·二模）某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平
均每天的锻炼时间，统计结果如图：
这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．9， 7 B．9， 9 C．1， 1 D．1， 1.5
【答案】C
【分析】本题主要考查众数和中位数，熟记一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据从小到大
或从大到小依次排列，最中间的一个数据或最中间两个数据和的一半叫做中位数是解题的关键．
解：由折线图可知锻炼 小时的人数最多，即众数为 ；
由图可知共调查学生数为 人，
从小到大排列后第 个与 个数据的平均数是中位数，且第 个与 个数据为 小时，
∴中位数为 ，
故答案为：C．
【变式2】（2019·福建厦门·一模）某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售
目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、
中位数，分别为22，15，18（单位：万元）．若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额
定为 万元较为合适．
【答案】18
【分析】根据中位数的意义进行解答，即可得出答案．
解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，则月销售额定为18万合适．
因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，
所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标；
故答案为18．【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对
消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整
理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：
81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
班
平均数 众数 中位数 方差
级
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出： _____分， ______分；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是 ，其中在计算乙班这组
数据的方差时，公式中的 ______， ______；
（3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
【答案】（1）93，87；（2）15，90；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了方差，求平均数和中位数，熟练掌握方差，平均数和中位数的意义是解题的关键．
（1）根据平均数和中位数的意义求出a，b的值，即可求解；（2）根据方差公式，即可求解；（3）从平
均数或方差两方面分析，即可求解．
（1）解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为
78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100，
位于正中间的数为93分，
∴ ，
乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多，
∴乙班的众数 ，故答案为：93，87；
（2）解：根据题意得： ， ；
故答案为：15，90；
（3）解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班，
所以甲班整体平均成绩大于乙班；
从方差看，甲班成绩的方差大于乙班，
所以乙班成绩更稳定．
【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）若样本 …， 的平均数是5，方差是2，则
样本 ，…， 的平均数、方差分别是（ ）
A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的变化规律即可得到答案．
解：∵样本 …， 的平均数是5，方差是2，
∴ ，…， 的平均数是 ，方差是 ，
故选：D．
【变式2】（21-22八年级下·湖北孝感·期末）已知一组数据的方差计算如下：
，则这组数据的和是 ．
【答案】21
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得
答案．
解：由方差的计算算式可知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，
所以这组数据的和为 ．
故答案为：21．
【考点4】利用方差解决实际问题；
【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了
部分信息．
【收集数据】
甲班10名学中竞赛成绩：
70，71，72，78，79，79，85，86，89，91
乙班10名学生竞赛成绩：
73，74，75，77，80，80，81，85，85，90
【分析数据】
平均
班级 中位数 众数 方差
数
甲班 80 51.4
乙班 80 80 80，85
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ______， ______；
（2）求出 的值，并说明哪个班的成绩更稳定；
（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这
两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】(1)79；79 ； (2)27；乙班成绩更稳定 ；(3)42人
【分析】本题考查方差、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）用总人数分别乘以各班样本中获奖人数所占比例即可．
（1）解：甲班成绩从低到高排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，
故中位数 ，众数 ，
故答案为：79；79．
（2）解：
，∵ ，乙班方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，
∴乙班成绩更稳定．
（3）解：根据题意得： （人 ，
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．
【变式1】（23-24九年级下·四川乐山·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下
某组数据的方差计算式： ．你不能得到的有效信息是
（ ）．
A．这组数据的中位数是 B．这组数据的平均数是
C．这组数据的众数是 D．这组数据的方差是
【答案】D
【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为 ， ， ， ， ，
再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键．
根据方差公式可得这一组数据为 ， ， ， ， ，
、这组数据的中位数是 ，原选项不符合题意；
、这组数据的平均数是 ，原选项不符合题意；
、由于 出现次数最多，则这组数据的众数是 ，原选项不符合题意；
、∵这组数据的平均数是 ，
∴ ，
∴原选项符合题意；
故选： ．
【变式2】（2022九年级·浙江杭州·专题练习）若一组数据 的平均数为6，众数为5，则这组
数据的方差为 ．
【答案】
【分析】先根据这组数的平均数及众数求出 中一个是5，另一个是6，再利用方差公式计算即可．
∵一组数据 的平均数为6，众数为5，
∴ 中至少有一个是5，∵一组数据 的平均数为6，
∴ ，
∴ ，
∴ 中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为 ；
故答案为：．
