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专题21.11 因式分解法（分层练习）
一、单选题
1．方程 的解是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．实数 满足方程 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．若 是一次函数，则 的值等于（）
A． B． C． 或 D．
4．若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
5．关于 的方程 的解是 （ 均为常数， ），则方程
的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．方程 的两个根是（ ）
A． B． C． D．
7．若x为实数，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．无法确定8．已知等腰 的边是方程 的根，则 的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
9．实数 满足方程 ，则 的值等于（ ）
A． B．-1 C． 或-1 D． 或-1
10．如图，A点坐标为 ，直线 与坐标轴交于点B、C，连 ，如果 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
11．方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
12．已知 ，则 等于（ ）
A． 或 B．6或1 C． 或1 D．2或3
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（
）
A．x＝﹣1，x＝3 B．x＝﹣1，x＝﹣3
1 2 1 2
C．x＝1，x＝3 D．x＝1，x＝﹣3
1 2 1 2
14．如图：一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行 1个点，第二行2个点 ……第 行有 个
点……，若10 是前4行之和，则465是前（ ）行之和.A．20 B．25 C．28 D．30
15．下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）.
A． ，∴ x-3=10,x-5=2，∴ ;
B． ，∴ ，∴ ；
C． ，∴ ；
D． 两边同除以x，得x＝1.
二、填空题
16．方程 的解为__________．
17．已知 ，则 __________．
18．如图，数轴上点 代表的数字为 ，点 代表的数字为 ，已知 ，且点 在数轴的负半
轴上，则 的值为 _____．
19．解分式方程 时，设 ，则原方程化为关于 的整式方程是__________.
20．如图， ， 平分 交 于 ，若 ， ，则 ______．21．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 的两个实数根，那么这个三角形的第
三边的长可能是20吗？__________．（填“可能”或“不可能”）
22．写出一个以 为未知数，以 和4为根的一元二次方程________．
23．如图，四边形 为正方形，点E是 的中点，将正方形 沿 折叠，得到点B的对应点为
点F，延长 交线段 于点P，若 ，则正方形的边长为________．
24．已知方程 的根为 ， ，则方程 的根是________．
25．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程
，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于 的一元二
次方程，解出 ，再求 ，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：
．方程的解为 _____．
26．已知方程x2＋x﹣ ＝2，则2x2＋2x＝_____．
27．已知关于 的方程 的解都是整数，则整数 的值为______．
28．等腰（非等边）三角形的边长都是方程 的根，则此三角形的面积为__________．29．若 ，则 的值为___________.
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线
AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为______．
三、解答题
31．解下列方程：
(1) ； (2) ．
】
32． ．
33．已知 的一边长为4，另外两边长是关于x的方程 的两根，当k为何值时，
是等腰三角形？34．用适当的方法解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
35．解方程：
(1) ； (2) ；
(3)
36．如图，四边形 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点 与坐标原点重合，点
、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， 的坐标为 ，现将纸片沿过 点的直线
折叠，使顶点 落在线段 上的点 处，折痕与 轴的交点记为 ．(1) 求点 的坐标和 的大小；
(2) 在 轴正半轴上是否存在点 ，满足 ，若存在，求出 点坐标，若不存在请说明理由；
(3) 点 在直线 上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
参考答案
1．C
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴方程 的解是 或 ．
故选：C．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解
法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
2．B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设 ，则原式变形得 ，
因式分解法解一元二次方程得， ，
∴ ， ，
当 时， ，变形得， ，根据判别式 ，无实根；
当 时， ，变形得， ，根据判别式 ，方程有两
个实根；
∴ ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是
解题的关键．
3．B
【分析】根据一次函数的定义可得 ，且 ，再求解即得答案.
【详解】解：∵ 是一次函数，
∴ ，且 ，
即 ，且 ，解得 ；
故选：B.
【点拨】本题考查了一次函数的定义和一元二次方程的解法，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．C
【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得， ，
解得 或 （舍去），
∴这个多边形是八边形，
∴这个多边形的内角和为 ，
故选C．
【点拨】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键．
5．C
【分析】根据关于 的方程 的解是 ，可知 或 ，进一步求解
即可．
【详解】解：∵关于 的方程 的解是 （ 均为常数， ），
∴在方程 中，可有 或 ，
解得 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
6．D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．【点拨】本题考查了解一元二次方程，利用方程的特点选择简便的方法是解题的关键．
7．B
【分析】设 ，方程变形后，求出 的值，即为 的值．
【详解】解：设 ，方程变形为 ，
即 ，
解得： 或 ，
当 时，化简得， ，方程无解，
则
故选：B
【点拨】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方
程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
8．D
【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行
分类讨论即可．
【详解】解：∵
∴
解得： ， ，
∵等腰 的边为：2和5，
∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理，
当腰长为5，底边为2时， 的周长为： ，
当边长都为2时， 的周长为： ，
当边长都为5时， 的周长为： ，
故选：D．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的
方法和三角形的三边关系是解题的关键．
9．A【分析】设 ，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即 的值．
【详解】设 ，则由原方程，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
即 的值等于 或 ．
∵x为实数，
当 时，即 ，
此时 ，
方程 没有实数根；
∴ 不符合题意，舍去．
当 时，即 ，
此时 ，
方程 有两个不相等的实数根；
∴ 符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是注意x的值为实数．算出的结果要在实数范围
内有意义．
10．C
【分析】根据函数解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理列出方程，解出n即可．
【详解】∵直线 与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为 ，C点的坐标为 ，
∴ ， ，
∵A点的坐标为 ，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
即 ．
解得 或 （舍去）．
故选：C．
【点拨】本题考查直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，方程思想的应用，能够掌握数形结合思想是
解决本题的关键．
11．B
【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．
【详解】．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键．
12．A
【分析】先把 左边进行因式分解，得 ，从而可得x，y的关系式，即可
求y：x的值.
【详解】∵
∴
∴
∴ = 或 .故选A.
【点拨】本题实际是考查运用换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，把二元二次变成一
元二次方程.
13．C
【分析】由根的情况，依据根的判别式得出m的范围，结合m为正整数得出m的值，代入方程求解可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1，
则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1，x＝3，
1 2
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．D
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个
点，然后求它们的和，前n行共有 个点，则 ＝465，然后解方程得到n的值；
【详解】设三角点阵中前n行的点数的和为465，则有 n（n+1）＝465，
整理这个方程，得：n2+n﹣930＝0
解方程得：n＝30，n＝﹣31，
1 2
根据问题中未知数的意义确定n＝30，即三角点阵中前30行的点数的和是465．
故选D．
15．B
【详解】A 的方程解法是错误的，应该为：(x－3)(x－5)=10×2，化简可得 －8x－5＝0，然后利用求根公
式进行解答；
C的方程的解法也是错误的，应该为：整理为 +4=0，即： ＝－4，由于任何数的平方都是非负数，故
方程无解；D的解法也是错误的，应改为： －x＝0，解得：x＝0或x＝1.
故选：B.
16．
【分析】先移项，然后利用完全平方公式将方程的左边转化为两个因式的积的形式即可．
【详解】解： ，
，
，
，
解得：
故答案为： ．
【点拨】本题考查解一元二次方程—因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
17．3或 / 或3
【分析】根据因式分解法得出 ，即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为：3或 ．
【点拨】本题考查因式分解法解方程，正确计算是解题的关键．
18．
【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到 ，再把方程化为一般式 ，
接着再用因式分解法把方程转化为 或 ，然后再解两个一次方程．
【详解】解：根据题意得 ，
整理得 ，，
或 ，
所以 ， ，
将 代入 中，得出 为9，
因点 在数轴的负半轴上，故 （舍去）；
将 ，代入 中，得出 为 ，
点 在数轴的负半轴上，故 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，
也考查了数轴．
19．
【分析】根据换元法，可得答案．
【详解】解：设 ，则原方程化为 ，
两边都乘以y，得： ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
20．6
【分析】延长 交于点F，利用 可得 ， ，然后在 、
中，利用勾股定理表示出 ，得到关于x的一元二次方程，求解后得结论．
【详解】解：如图，延长 交于点F，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ．
故答案为：6
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的
判定和性质，勾股定理是解题的关键．
21．不可能
【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可得到答案．
【详解】解： ，
，
或 ，
即三边为6、11、20，
，不符合三角形三边关系定理，
这个三角形的第三边的长不可能是20，故答案为：不可能．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的
关键．
22． （答案不唯一）
【分析】利用因式分解的方法判断确定出满足题意的方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，即 ，
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．
【分析】连接 ，根据正方形的性质可得 ， ，再由翻折的性质可得
， , ，从而可证 ，即可得 ，设 ，则
， ， ，利用勾股定理可得 ，即可求出结果．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，，
∴ ，
由翻折的性质可得： ， , ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （舍）或 ，
∴ ，
故答案为：6．【点拨】本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程，
综合运用相关知识是解题的关键．
24． ，
【分析】设 ，可得 ，根据 的根为 ， ，可得 或
，即可得到答案；
【详解】解：设 ，可得 ，
∵ 的根为 ， ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
故答案为 ， ；
【点拨】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设 ，得到 ，结合方程
的根为 ， ．
25． ，
【分析】设 ，则原方程化为 ，求出 的值，当 时， ，根据
算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当 时， ，求出 ，最后进行检验即可．
【详解】解： ，
设 ，则原方程化为：，
，
解得： ， ，
当 时， ，
算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当 时， ，
方程两边平方，得 ，
解得： ， ，
经检验 ， 都是原方程的解．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，
注意：解无理方程一定要进行检验．
26．6．
【分析】利用换元法，设x2＋x＝y，解分式方程，解得y后，再求得x．
【详解】设x2＋x＝y，
则原方程变为y﹣ ＝2，
整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y＋1）＝0，
则y﹣3＝0，y＋1＝0，
解得：y＝3，y＝﹣1，
1 2
经检验：y＝3，y＝﹣1是原分式方程的根，
1 2
所以x2＋x＝3或﹣1，
因为x2＋x＝﹣1无解，
故2x2＋2x＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查复杂分式方程的解法，通常采用换元法使分式方程简化，需要注意的是换元得到的根也需要验根．
27．0或1或
【分析】分 和 两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）当 时，
方程为 ，解得 ，满足解是整数；
（2）当 时，
方程 为一元二次方程，
因式分解，得 ，
解得 ，
方程的解都是整数，k也是整数，
一定是整数，
整数 或 ；
综上，整数 的值为0或1或 ，
故答案为：0或1或 ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
28．
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三角
形的三边长，然后利用勾股定理、等腰三角形的性质求出AD的长，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解得
由题意得：这个三角形的三边长分别为 或
（1）当这个三角形的三边长分别为 时
不满足三角形的三边关系定理，舍去（2）当这个三角形的三边长分别为 时
满足三角形的三边关系定理
如图，设这个三角形为等腰 ，其中
过点A作 于点D
则 （等腰三角形的三线合一）
即此三角形的面积为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理、勾股定理等知识点，
依据题意，正确求出等腰三角形的三边长是解题关键．
29．2.
【分析】因为 ，所以 ，即可转化为 ，解方程即可.
【详解】解：∵
∴
∴ ,
解得： (舍去)
故x=2.【点拨】本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础.
30．（0，-6）
【分析】由直线解析式求得OA=2，OB=4，利用勾股定理求得AB=2 ，作CD⊥AB于D，设OC=m，由勾
股定理得 ，从而得出 ，在Rt BDC中，利用勾股定理求m=6，从而求得
△
C的坐标．
【详解】解：一次函数y=2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．
令y=0，则2x+4=0，解得x=-2；
令x=0，则y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB= ，
作CD⊥AB于D，
∵∠CAD=45°，
∴△CAD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
设
在Rt AOC中，
△
∴
在等腰直角三角形ADC中，∴
在Rt△BDC中，
∴
解得，m=6或 （舍去）
经检验：m=6是方程的解，
∴点C的坐标为（0，-6）．
故答案为：（0，-6）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，求得OC的
长是解题的关键．
31．(1) ， (2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）由 得 ，
即 ，
所以 或
解得： ， ；
（2）由 得 ，
即 ，
所以 或
解得： ， ．
【点拨】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关
键，注意符号的变化．
32． ．【分析】设 ，则原方程变形为 ，可得 ，再分别代入计算，即可求解．
【详解】解： 设 ，则原方程变形为 ，
解得： ，
经检验： 均是方程 的解，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，此方程无解；
所以原方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，利用换元法解答是解题的关键．
33．
【分析】先求出方程两根，再分类讨论即可．
【详解】解：由 ，得 ，
∴ ， ．
显然 ，否则 (不合题意)
∴这两边长不能作为等腰三角形的腰长，
∴4是等腰 的腰长，两解中还有一个腰长
∴ 或 ，
当 即 时， ， ，满足三角形三边关系，
当 时， ， ，不满足三角形三边关系．
∴当 时， 是等腰三角形
【点拨】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是先得到方程两解不相等，再得到4
是腰长，再分类讨论．
34．(1) (2)(3) (4)
【分析】使用直接开平方法、因式分解法求出方程的解．
【详解】（1）解：
① ，② ，
解得： ；
（2）解：
解得： ；
（3）解：整理得：
，
，
解得： ；
（4）∵
∴原方程是一元二次方程，
，
，
解得： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择是解题的关键．
35．(1)
(2) ， ；(3) ， ， ， ．
【分析】（1）移项后两边平方得出 ，求出 ，再方程两边平方得出
，求出 ，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令 ，则 ，代入原方程，得 ，所以 ， ，然
后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）
解：移项得， ，
两边平方得， ，
合并同类项得， ，
∴ ，
两边平方得， ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
经检验， ，不是原方程的解，
∴原方程的解为： ．
（2）
解：方程两边同时乘以 得，
整理得， ，解得， ，
∴ ， ，
经检验， ， 时， ，
∴原方程的根为： ， ．
（3）
解：
令 ，代入原方程得， ，
∴ ，
解得： ， ，
当 时， ，即： ，
∴ ，解得： ， ，
当 时， ，即： ，
∴ ，解得： ， ，
经检验 都为原方程的解
∴原方程的解为： ， ， ， ．
【点拨】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注
意要验根．36．(1) ， ；
(2) ；
(3) ， ， ， ．
【分析】（1）先求解 ， ，可得 ， ，从而可得 ，如图，取 的
中点 ,连接 ,而 ，再证明 为等边三角形，可得答案；
（2）先证明 ， ,可得 ,求解 ，可得
为 ，过 作 交x轴于Q，设 ， 可得 .，从
而可得答案；
（3）由 为 ，设 ，而 ,可得
,再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
如图，取 的中点 ,连接 ,而 ，∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ .
（2）解：∵折叠， ，
∴ ， ，
∴ ， ,
∴ ,
∴ ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 为 ，
过 作 交x轴于Q，
设 ，代入 ，
∴ ，
解得： ，得 .
令 ，则
∴
（3）解：∵ 为 ，设 ，
而 ，
∴ ，
当 时，
，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
解得： ，（ 舍去），
∴ ，
当 时，∴ ，解得： ，
∴ 或 ，
综上： ， ， ， ．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求
解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，
利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.：
