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专题 22.5 二次函数 y=a(x−h) 2+k 的图象与性质
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
教学目标
2. 掌握 与 之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题
目。
1. 重点
（1） 型二次函数的性质；
（2） 型二次函数的图象；
教学重难点 （3） 与 之间的平移规律；
2. 难点
（1）函数图象的共存问题；
（2）函数图象上的点的特征；
（3） 与 之间的平移。知识点01 y=ax2与y=a(x−ℎ) 2+k的之间的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 左右 平移和 上下 平移；
左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上
进行加减，规律为 上加下减 。
2. 与 之间的平移：
由函数的平移可知：
k
可将 进行 上下 平移 个单位同时再 左右 平移 h 个单位得到函数
。
【即学即练1】
1．把抛物线y＝6x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝6（x﹣2）2+3 B．y＝6（x+2）2﹣3
C．y＝6（x+2）2+3 D．y＝6（x﹣2）2﹣3
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝6x2先向左平移2个单位得到解析式：y＝6（x+2）2，再向上平移3个单位得到
抛物线的解析式为：y＝6（x+2）2+3．
故选：C．
知识点02 y=a(x−ℎ) 2+k的图象与性质
1. 的图象与性质：
k
由函数的平移可知，可将 先向 左右 平移 h 个单位，再向 上下 平移 个
单位得到函数 。由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：开口方向 开口向上 开口向下
的绝对值越大，开口越 小
开口大小
的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ h ， k ） （ h ， k ）
x=
ℎ
x=
ℎ
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
【即学即练1】
2．二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线，
故选：D．
【即学即练2】
3．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致
图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因
为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
【即学即练3】
4．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
1
（1）y＝2（x+3）2− ；
2
（2）y＝﹣（x+1）2﹣5．
1
【答案】（1）二次函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，− ）；
2
（2）二次函数图象开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5）．
1
【解答】解：（1）∵y＝2（x+3）2− ，
2
1
∴二次函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，− ）；
2
（2）∵y＝﹣（x+1）2﹣5，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5）．
【即学即练4】
5．关于抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标为（2，﹣1）
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线开口向上、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，﹣1），故A、B、C说法是正确的；
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
故选：D．
【即学即练5】
6．已知点（﹣2，y ），（3，y ），（7，y ）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y ，y ，y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵三点为（﹣2，y ），（3，y ），（7，y ），
1 2 3
∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5，
∴1＜4＜5，
∴y ＞y ＞y ．
2 1 3
故选：C．
【即学即练6】
7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函
数值y的最大值为﹣5，则h的值为（ ）
A．3−❑√6或1+❑√6 B．3−❑√6或3+❑√6
C．3+❑√6或1−❑√6 D．1−❑√6或1+❑√6
【答案】C
【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1＝﹣5，
解得：h＝1−❑√6或h＝1+❑√6（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1＝﹣5，
解得：h＝3+❑√6或h＝3−❑√6（舍）．
③当1≤h≤3时，最大值为1，不符合题意，
综上，h的值为1−❑√6或3+❑√6，
故选：C．
题型01 y=a(x−h) 2+k的性质【典例1】抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】B
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2+3的解析式可知，抛物线对称轴为直线x＝1，
故选：B．
【变式1】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【答案】A
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点为（1，5），
故选：A．
【变式2】关于抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标为（3，﹣2）
C．图象与y轴交点为（0，7）
D．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣2中，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点为（3，﹣2），
∴当x＝3时，y有最小值﹣2，
当x＝0时，y＝7，
∴图象与y轴的交点为（0，7），
故A、B、C说法正确，不符合题意，
当x＞3时，y随着x的增大而增大，
D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式3】关于抛物线y＝﹣（x+3）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标（﹣3，1） D．与y轴交点坐标（0，1）
【答案】D
【解答】解：y＝﹣（x+3）2+1中，
∵a＝﹣1，h＝﹣3，k＝1
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，1），
∴选项A、B、C均正确．
令x＝0，得y＝﹣8
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣8）．∴选项D错误，
故选：D．
题型02 y=a(x−h) 2+k的图象
【典例1】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
【变式1】二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故B错误；由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选：C．
【变式2】如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
1 1
A．y=− x2 B．y=− (x+1) 2
2 2
1 1
C．y=− (x−1) 2−1 D．y=− (x+1) 2−1
2 2
【答案】D
【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，
只有选项D的顶点符合要求，
故选：D．
【变式3】二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 一 象限．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
题型03 y=a(x−h) 2+k图象上的点的坐标特征
【典例1】设点A（﹣2，y ）、B（1，y ）、C（2，y ）是抛物线y＝（x+1）2﹣1的图象上三点，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【答案】A
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，点A（﹣2，y ）离对称轴最近，点C（2，y ）离对称轴最远，
1 3
∴y ＜y ＜y ，
1 2 3
故选：A．
2 5
【变式1】抛物线y= (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )，( ，y )三点，则y ，y ，y 的大小关
3 1 2 2 3 1 2 3
系正确的是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【答案】D
2
【解答】解：由抛物线y= (x−1) 2+c可知：开口向上，对称轴为直线x＝1，
3
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
5
∵（﹣2，y ），（0，y ），( ，y )，
1 2 2 3
5 3 3
而1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1， −1= ，1＜ ＜3
2 2 2
∴点（0，y ）离对称轴最近，点（﹣2，y ）离对称轴最远，
2 1
∴y ＞y ＞y ；
1 3 2
故选：D．
【变式2】已知a＜﹣1，点A（a﹣1，y ）、B（a，y ）、C（1﹣a，y ）都在函数y＝（x﹣1）2+6的图象
1 2 3
上，那么（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【答案】C
【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵a＜﹣1，
∴a﹣1＜﹣2＜a，1﹣a＞2，
∴C（1﹣a，y ）关于x＝1的对称点为：C′（a+1，y ），
3 3
∵a﹣1＜a＜a+1＜1，
∴y ＜y ＜y ；
3 2 1
故选：C．
【变式3】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y ），B（m，y ），C（n，y ），且|m﹣3|
1 2 3
＜|n﹣3|＜2，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
【答案】B
【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝3，开口向上，
∵|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，∴点B离对称轴水平距离最近，其次是点C，点A离对称轴最远，
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：B．
题型04 y=ax2与y=a(x−h) 2+k之间的平移
【典例1】将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（
）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
【答案】D
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式
为y＝﹣（x﹣2）2﹣2．
故选：D．
【变式1】将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线
表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4
C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+4
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛
物线表达式为：y＝﹣（x﹣1+1）2+2+2，即y＝﹣x2+4．
故选：B．
【变式 2】将抛物线 y＝2x2+3向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位后得到的抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝2x2+5 B．y＝2（x+1）2+5
C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1
【答案】C
【解答】解：将抛物线y＝2x2+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为：
y＝2（x+1）2+3﹣2，即y＝2（x+1）2+1．
故选：C．
【变式3】将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
【答案】A【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标为（﹣3，
4），
点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点（﹣3，4）．
∴抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
【变式 4】通过平移 y＝﹣2（x﹣1）2+3 的图象，可得到 y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是
（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣2x2的图
象．
故选：C．
1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选：A．
2．抛物线y＝2（x﹣9）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣9）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（9，3），
故选：C．
3．已知抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x＝﹣1时，y取最大值3D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断如下：
A：抛物线y＝﹣（x+1）2+3中，系数a＝﹣1＜0，故开口向下，正确；
B：顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h，此处h＝﹣1，故对称轴为直线x＝﹣1，正确；
C：开口向下时，顶点处y取得最大值，最大值为顶点纵坐标k＝3，当x＝﹣1时y＝3，正确；
D：开口向下时，对称轴直线x＝﹣1右侧（x＞﹣1），y随x增大而减小，而非增大，故错误．
故选：D．
4．对于二次函数 y＝3（x﹣1）2+2，甲、乙各说了一条性质，关于两人的说法，下列判断正确的是
（ ）
甲：图象的开口向下；乙：当x≥1时，y随x的增大而增大．
A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对
C．只有甲的对 D．只有乙的对
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+2．
∴抛物线的图象开口向上，故甲的说法错误；
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故乙的说法正确；
故选：D．
5．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y＝（x﹣2）2+3．
故选：B．
6．二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下，
故选项B正确．
故选：B．
7．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函
数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的
抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1．
故选：A．
8．二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣3）2+c
的图象开口向上，顶点为（3，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故A正确；
B、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，
即a＞0相矛盾，故B错误；
C、二次函数y＝a（x﹣3）2+c的对称轴直线x＝3，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣3）2+c的顶点（3，c）在第
四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：A．9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物
线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E，
∴四边形PMEQ是矩形，
∴ME＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
1 1 1 1
∴PQ＝AD− AC− BD＝21− ×（10+5）− （5+6）＝8，
2 2 2 2
故选：B．
10．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y ），B（a+1，y ），如
1 2
果y ＞y ，那么a的取值范围是（ ）
1 2
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
【答案】C
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立；
当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3，
解得：a＜3，
∴2＜a＜3；
当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立．
综上所述，a的取值范围为a＜3．
故选：C．
11．将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为 y
＝﹣（ x ﹣ 1 ） 2 + 2 ．
【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的解
析式为y＝﹣（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2．
12．已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x ＞ 1 时，y随x的增大而减小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1；
当x＞1时，y随x增大而减小．
故答案为：＞1
13．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 ﹣ 2 9 ＜ y ≤ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由条件可知：函数图象的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3；
∵﹣2＜x＜3，
∴当x＝﹣2时，函数值y＝1，
当x＝3时，函数值y＝﹣29，
∴当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围是：﹣29＜x≤3，
故答案为：﹣29＜x≤3．
14．若A（﹣4，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y （用“＜”表示）．
2 3 2 3 1
【答案】y ＜y ＜y ．
2 3 1
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝3（x+1）2+a，3＞0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣1﹣（﹣2）＝1＜1﹣（﹣1）＝2＜（﹣1）﹣（﹣4）＝3，
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 3 1
{(x−1) 2−1(x≤3))
15．已知函数y= ，则y＝k成立的x值恰好有两个，则k的取值范围是 k ＞ 3 或 k
(x−5) 2−1(x＞3)
＝﹣ 1 ．
【答案】k＞3或k＝﹣1．
{(x−1) 2−1(x≤3))
【解答】解：画函数y= 的图象：
(x−5) 2−1(x＞3)根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x有恰好有2个，
∴k＞3或k＝﹣1．
故答案为：k＞3或k＝﹣1．
16．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）．
（1）求m的值．
（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上．
【答案】（1）m＝2；
（2）点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3），
∴3＝m（1+1）2﹣5，
解得：m＝2，
∴m的值为2；
（2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2+1）2﹣5＝﹣3，
∵﹣3≠﹣1，
∴点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上．
17．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
描点、连线如图；
（2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4．
1
18．如图，抛物线y＝﹣3x2+m与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线y= (x+1) 2 相交
2
于点B、C（点B在点C的左面），若BC＝4，求m的值．【答案】2．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+m，
1
∴A（0，m）， (x+1) 2=m，
2
∴x2+2x+1﹣2m＝0，
设B（x ，m），C（x ，m），
1 2
则x +x ＝﹣2，x x ＝1﹣2m，
1 2 1 2
∴BC=x −x =❑√(x +x ) 2−4x x =❑√(−2) 2−4(1−2m)=4，
2 1 1 2 1 2
∴m＝2．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x ，y ）、B（x ，y ）两
1 1 2 2
点．
（1）对于x ＝﹣1，x ＝3，有y ＝y ，求该抛物线的顶点坐标；
1 2 1 2
（2）对于任意实数m，若m﹣2＜x ＜m﹣1，x ＞m+2，都有y •y ＜0，求a的值．
1 2 1 2
【答案】（1）（1，﹣3）；
3
（2）a= ．
4
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0），
∴对称轴为直线x＝m，顶点为（m，﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，且x ＝﹣1，x ＝3时，y ＝
1 1 2 2 1 2 1
y ，
2
∴A（x ，y ）、B（x ，y ）两点关于直线x＝m对称，
1 1 2 2
−1+3
∴m= =1，
2
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；
（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴B（x ，y ）关于对称轴的对称点为（2m﹣x ，y ），
2 2 2 2
∵m﹣2＜x ＜m﹣1，x ＞m+2，
1 2
∴A（x ，y ）在对称轴的左侧，B（x ，y ）在对称轴的右侧，2m﹣x ＜m﹣2，
1 1 2 2 2∵抛物线开口向上，y •y ＜0，
1 2
∴点（2m﹣x ，y ）在x轴的上方，A（x ，y ）在x轴的下方，
2 2 1 1
∴当x＝m﹣2时，y＝0，
∴a（m﹣2﹣m）2﹣3＝0，
3
∴a= ．
4
20．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k
个单位长度（k＞0），再次经过点A．
（1）若a＝0时，求m的值．
（2）求m与k的关系式．
（3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
【答案】（1）0或3；
（2）k＝2m﹣3．
（3）1≤k≤5．
【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+1，
得0＝﹣（1﹣m）2+m+1，
解得m＝0或m＝3，
故m的值为0或3．
（2）抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0）后得到抛物线的解析式为y＝﹣
（x﹣m+k）2+m+1﹣k，
∵平移后的图象也经过点A（1，a），
{ a=−(1−m) 2+m+1 )
∴ ，
a=−(1−m+k) 2+m+1−k
消去a，得k＝2m﹣3．
（3）对称轴为直线x＝m．
①当m＜2时，
当x＝2时，y取最大值﹣（2﹣m）2+m+1＝﹣m2+5m﹣3，
当x＝m+2时，y取最小值m﹣3，
所以﹣m2+5m﹣3﹣（m﹣3）＝4，解得m ＝m ＝2（舍去）．
1 2
②当m≥2时，
i．当2≤m≤4时，
当 x＝m 时，y取到最大值m+1，
当 x＝m+2时，y取到最小值m﹣3，
所以 m+1﹣（m﹣3）＝4，符合题意．
ⅱi．当m＞4时，当x＝m时，y取到最大值m+1，
当 x＝2 时，y取到最小值﹣m2+5m﹣3
所以m+1﹣（﹣m2+5m﹣3）＝4解得m ＝0，m ＝4（均舍去）．
1 2
综上所述，2≤m≤4．
由2m﹣3＝k，得1≤k≤5．
